教师资格认定考试高级中学数学模拟题25

教师资格认定考试高级中学数学模拟题25一、单项选择题1.

已知曲面方程为x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，则过点(5，-2，1)的切平面方程为______。A.2x+y+2z=0B.2x+y+（江南博哥）2z=10C.x-2y+6z=15D.x-2y+6z=0正确答案：B[解析]曲面x2+y2+z2-2x+8y+6z=10为球面，将其化为标准方程为(x-1)2+(y+4)2+(z+3)2=36，所以球心的坐标为(1，-4，-3)。根据几何性质可知，所求的切平面垂直于过点(5，-2，1)和(1，-4，-3)的直线，即可得切平面的一个法向量n=(4，2，4)，所以所求的切平面的方程为4(x-5)+2(y+2)+4(z-1)=0，化简得2x+y+2z=10。故本题选B。

2.

设f(x)为连续函数，且，则F'(x)=______。

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由变限积分求导公式得，。故本题选A。

3.

有限小数与无限不循环小数的关系是______。A.对立关系B.从属关系C.交叉关系D.矛盾关系正确答案：A[解析]有限小数与无限不循环小数的关系是对立关系，因为它们满足下列三个条件：①属于同一个属概念，即小数；②外延之和小于属概念的外延，即存在既不是有限小数又不是无限不循环小数的小数；③外延没有重合的部分，即不存在既是有限小数又是无限不循环小数的小数。

4.

若直线l满足：①经过原点；②垂直于直线l'：；③平行于平面π：2x+3y+4z+5=0，则直线l的方程是______。

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由题意可知，向量m=(1，2，3)是直线l'的方向向量；向量n=(2，3，4)是平面π的法向量。因为直线l与直线l'垂直，与平面π平行，所以直线l的方向向量与向量m，n都垂直，于是向量就是直线l的方向向量，再结合直线l经过原点可得，直线l的方程为，也即。故本题选A。

5.

设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=2X+1的分布函数为______。

A．G(y)=2F(y)+1

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由分布函数的定义F(x)=P(X≤x)，有。故本题选D。

6.

《学记》中提出“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。这体现了下列哪项教学原则?______A.启发式原则B.因材施教原则C.循序渐进原则D.巩固性原则正确答案：A[解析]“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”意为教师要引导学生，但决不牵着学生的鼻子；要严格要求学生，但决不使学生感到压抑；要启发学生思考问题，但决不直接把答案告诉学生。教师的作用在于引导、激励、启发，而不是牵着学生走，强迫和代替学生学习。启发式原则(启发性原则)是指在教学中教师要主动承认学生是学习的主体，注意调动他们的学习主动性，引导他们独立思考、积极探索、生动活泼地学习，使学生自觉地掌握科学知识从而提高分析问题、解决问题的能力。因材施教原则是指教师在教学中，既要从课程计划、学科课程标准的统一要求出发，面向全体学生，又要根据学生的个别差异，有的放矢地进行教学，使每个学生都能扬长避短获得最佳的发展。循序渐进原则是指教师要严格按照科学知识的内在逻辑体系和学生认识能力发展的顺序进行教学，使学生系统地掌握基础知识和基本技能，培养学生的逻辑思维能力。巩同性原则是指教师在教学中，使学生在理解的基础上牢同地掌握知识和基本技能，并长久地保持在记忆中，在需要的时候能够准确无误地呈现出来，以利于学生运用知识技能。

7.

已知多项式f(x)=x3-2x2-x+2，g(x)=x3+4x2+5x+2，那么(f(x)，g(x))=______。A.(x+1)2B.(x-1)C.(x+2)D.(x+1)正确答案：D[解析]因为f(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)，g(x)=x3+4x2+5x+2=(x+1)2(x+2)，所以(f(x)，g(x))=(x+1)。故本题选D。

8.

向量α1=(1，-1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(2，1，5，10)T，α4=(1，-1，2，0)T的极大线性无关组为______。A.α1，α2，α4B.α1，α2，α3C.α2，α3，α4D.α1，α2，α3，α4正确答案：A[解析]对以α1，α2，α3，α4为列向量组的矩阵A进行初等行变换化成阶梯形矩阵。由此可知，α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。故本题选A。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导。证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得。正确答案：构造辅助函数F(x)=xf(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，从而F(x)满足拉格朗日中值定理，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，又F'(x)=f(x)+xf'(x)，所以。

2.

给出“双曲线”和“等差数列”的定义，并说明它们的定义方式。正确答案：双曲线定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线。它的定义方式是发生式定义法。

等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示。它的定义方式是描述性定义法。

在以O为原点的空间直角坐标系中，点A，B，C的坐标依次为(-2，1，4)，(-2，2，6)，(-1，3，3)。3.

求三角形ABC的面积；正确答案：由题可知，，所以，由向量外积的几何意义可得，三角形ABC的面积。

4.

求四面体O-ABC的体积。正确答案：四面提O-ABC的体积即为以OA，OB，OC为三邻边的平行六面体体积的。由混合积的几何意义知，以OA，OB，OC为三邻边的平行六面体体积等于三向量混合积的绝对值，因为，所以四面体O-ABC的体积。

5.

已知随机变量X的概率密度为求X的数学期望。正确答案：

6.

求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。正确答案：过直线的平面系方程为λ(2x+y-2z+1)+μ(x+2y-z-2)=0，即(2λ+μ)x+(λ+2μ)y-(2λ+μ)z+λ-2μ=0，其中λ，μ不同时为0。婴使所求平面与平面x+y+z-1=0垂直，则有(2λ+μ)×1+(λ+2μ)×1-(2λ+μ)×1=0，整理得λ=-2μ，不妨令μ=-1，则λ=2，所求平面方程为3x-3z+4=0。

三、解答题(本大题1小题，10分)设。1.

计算行列式|A|；正确答案：

2.

当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。正确答案：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换可得，要使原线性方程组有无穷多解，则有r(A，b)=r(A)＜4，所以有1-a4=0且-a-a2=0，解得a=-1。

当a=-1时，，可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次线性方程组的特解为(0，-1，0，0)T，故其通解为(0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k为任意常数。

四、论述题(本大题1小题，15分)1.

导入环节的类型主要有哪几种，简要叙述，并举例说明其适用情况。正确答案：常用的导入环节的类型主要有以下几种：

(1)温故导入

温故导入主要是利用新旧知识间的逻辑联系，找出新旧知识联结的交点，由旧知识的复习迁移到新知识的学习上来。此种方法常用于数学概念和命题教学。例如，讲二倍角公式的时候，可以先复习两角和的正弦和余弦，从而得到二倍角的正弦、余弦公式。

(2)实例导入

实例导入是选取与所授内容有关的生活实例或学生已有的生活经验，通过对其分析、引申、演绎、归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课。当新授内容与学生有关生活经验既有联系又有区别时，通常适宜采用此种导入方法。例如，在对数概念的导入教学中，可以从研究学生身边的一些增长率问题为出发点。

(3)情境导入

情境导入就是通过多媒体辅助教学手段，创设出能够激发学生的想象力或引发学生相应情感体验的情境，以激发学生的兴趣，诱发思维，使学生在欣赏或情绪渲染中就势转入新内容学习的一种导入方式。在数学中，几何图形相关概念、定理公理、数学应用题等教学情境可以采用此种导入方法。例如，在讲解平行四边形的相关定理时可以采用此种导入方法。

(4)类比导入

类比导入就是当两个对象都有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个对象的某些性质时，推测另一个对象也有相同或类似性质的思维形式。例如，在学习分式时，可以通过分数类比学习。

五、案例分析题(本大题共20分)阅读案例，并回答问题。案例：

下面是高中“二次函数与一元二次方程、不等式”的部分教材内容。

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢?先来看一个问题。

问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米?

设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为(12-x)m，由题意，得(12-x)x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}，整理得x2-12x+20＜0，x∈{x|0＜x＜12}。①

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadricinequalityinoneunknown)。一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0。其中a，b，c均为常数，a≠0。

思考：

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢?

下面，我们先考察一元二次不等式x2-12x+20＜0与二次函数y=x2-12x+20之间的关系。

问题：1.

阅读这段教材中的“思考”，说明设置此栏目内容的主要意图；正确答案：设置“思考”的主要目的是引导学生将初中学习过的从一次函数看一元一次方程和一元一次不等式的思想运用到新内容中，利用新旧知识间的逻辑联系，淡化学生对新知识的陌生感，有效降低学生对新知识的认知难度，克服对新知的畏难心理。让学生带着自己的想法、思路和问题解决下面的具体例子，可以启发学生的思维，加深对新知的记忆。

2.

请说明二次函数在高中数学课程中的地位和作用。正确答案：二次函数在高中阶段的数学课程中具有十分重要的地位，是整个高中数学课程内容的基础。它有着丰富的内涵和外延，作为一个最基本的初等函数，我们可以通过它来研究函数的图像和性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，从而培养学生的数学思维能力，提高数学能力和专业素养。函数的思想、方法贯穿于整个高中数学的教与学，其中，二次函数有着基础性的地位和作用，任何时候都不可轻视。

二次函数作为高中数学中基础且重要的内容，在高中数学课程中具有以下几点作用：

①初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来加深对函数概念的认识，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

②利用二次函数的性质和图像可以解决非基本函数、不等式的相关问题，充分利用二次函数的图像与性质可以更好地解决二次不等式的有关问题，既培养了数形结合的思想，又有利于分类讨论思想的形成，充分体现了二次函数的基础性地位；

③通过对二次函数的灵活应用，可以深入培养学生的数学思维，提高学生的数学能力和专业素养，为后续数学内容的学习开启新的体验。

六、教学设计题(本大题共30分)针对“等差数列”的教学，某教师制定了如下教学目标。

目标一：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；

目标二：理解等差数列通项公式的推导方法，会运用等差数列的通项公式解决实际问题；

目标三：通过公式的推导过程，培养观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力。1.

针对“等差数列”的内容，回答下列问题：

①分析学生已有的知识基础；

②设计一个等差数列的教学引入片段，并说明设计意图。正确答案：①等差数列是高三年级所学习的必修5中的内容，此阶段的学生已经学习了函数的概念、性质和应用，对函数、方程思想的体会逐渐深刻，已经熟悉了由观察到抽象的数学教学过程，学生也学习了数列的概念与简单表示方法、通项公式、递推公式等概念。

此阶段学生的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力；具备了一定的数学表达能力、数学分析能力和数据处理能力；具备学习等差数列所需的知识，但是在埘一些等差数列的通项公式的求解过程中，学生尚欠缺基本的分析能力及处理经验。所以在教学过程中，教师要注重从具体生活实例出发，注重引导、启发以符合学生的心理发展特点，从而促进其思维能力进一步发展。

②引入环节

教师出示几个不同的数列：

1．0，5，10，15，20，25；

2．-2，-1，0，1，2，3；

3．3，3，3，3，3，3；

4．

问题：请学生仔细观察以上数列，各个数列相邻两项之间有什么共同特征?

教师引导学生通过观察、类比、思考和交流得出结论。共同特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

教师根据学生给出的结论，为存在这种共同特征的数列起一个名字：等差数列。然后引出等差数列的定义。

【设计意图】给出几个不同的等差数列，让学生通过探索交流发现规律，从而提升学生分析问题的能力。

2.

请针对上述教学目标，完成下列任务：

①根据教学目标一、二，设计一个习题，帮助学生理解等差数列，并说明设计意图；

②根据教学目标二、三，设计推导等差数列通项公式的教学片段，并说明设计意图。正确答案：①习题：已知等差数列8