中考数学一轮复习第三讲分式（解析版）

模块一数与式

第三讲分式

知识梳理夯实基础

知识点1:分式的概念

一般地，如果A,3表示两个整式，并且3中含有字母，那么式子A?叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，3叫做分式的分母。「注意

AI

(1)分式有意义的条件:分母不为零，即怖(BHO):1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为

!被除式，分母为除式，分数线起除号和括号

A।的作用。

(2)分式值为零：分子为零，且分母不为零。即色

B|2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

(4=0且320)：字母，但分母中必须含有字母，这是区别分

!式和整式的重要依据。

知识点2:分式的基本性质।。土Anfcr,唐、/口十八#"/1八皿砧/吉Jarx不n

分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AA.rAX-C

=(CVO),其中A、B、C是整式。利用分式的基本性质可以进行约分、

BBCBB+C

通分。

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的约去，叫做分式的约分，约分

通常是把分式化成最简分式或整式。

利用分式的基本性质，把异分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符号法则：改变分子、分母及整个分式三者中任意两个的符号，分式的值不变，即

A-A_A_-A

-B~-B~B

知识点3：分式的运算

1、分式的运算法则

aca-c

分式乘法分子的积作积的________,用分母的积作积的分母—•—=---

bdb'd

acad_a'd

分式除法将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式_______

bdbcb'C

分式乘方分子、分母分别________令V

a।ba±b

同分母分式加减分母不变，分子__________——土一二-----

ccc

acadbead±bc

异分母分式加减先________,变为同分母的分式后再相加减。—t--=-----t-------------

bdbdbdbd

分式的混合运算:

分式的混合运算，有多项式的，一般先因式分解，能约分的进行约分；有括号的先算括号,

有乘方的先算乘方；先乘除后加减。异分母相加减，先通分，化为同分母，再加减。

mi(2—3(5)

例：—；----+。+2---------分式化简中的误区

ci—2〃ICL—2)

a-3+2)51.注意分式混合运算顺序

—2)ci—2a—2

a-3〃2—92.分式化简不同于解分式方程,化简过程中不能去分

〃(〃一2)a-2母.

—__a_—_3_x__a_—__2____

a(a-2)(a+3)(«-3)3.分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减

_]（分子是多项式）,分子应整体加括号.

a(«+3)

2、分式化简求值的一般步骤

（1）按运算顺序对所给分式进行化简，化为最简分式或整式;

（2）代入求值（代入求值时要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义）。

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】•（2。23•黑龙江五常・八年级阶段练习）在式子誓‘?‘鼻,f+y中'分式的个数是

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.

【详解】

解：在式子工，生，树比，,g+y中，

a7i43+x2

分式的有：二，共有2个.

a3+x

故选：A.

【点睛】

本题考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题的关键.分式的概念：一般地，如果43表示两个

A

整式，并且8中含有字母，那么式子工叫做分式.

D

2.（2023•浙江宁波•中考真题）要使分式一二有意义，x的取值应满足（）

x+2

A.xwOB.力一2c.x>-2D.x>-2

【答案】B

【分析】

由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案.

【详解】

解：分式」有意义，

x+2

x+2w0,

二.xw—2.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，掌握"分式有意义，则分母不为零”是解题的关键.

3.（2023•山东昌乐•八年级期中）当x=l时，下列分式没有意义的是（）

X+1XcX—14X

A.--B.--C.-------D.--

Xx-lXx+1

【答案】B

【分析】

由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.

【详解】

二；，当时，分母为零,分式无意义.

X-1

故选B.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，关键在于牢记有意义条件.

4.（2023•山东临沂•中考真题）计算（。-+d一切的结果是（）

ba

a_a「b_b

A.—B.-C.—D,一

bbaa

【答案】A

【分析】

根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.

【详解】

ab—1a

=---------x---------

b1-ab

a

b

故选A.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

5.（2023•黑龙江绥化•中考真题）若式子7片

在实数范围内有意义，贝口的取值范围是（)

A.x>-lB.%2一1且xwOC.%>一1且xwOD.xwO

【答案】C

【分析】

要使式子高

在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数塞的底数也不能

为零，满足上述条件即可.

【详解】

解：式子^^在实数范围内有意义,

必须同时满足下列条件：

x+l>0,Jx+1w0,xwO,

综上：］>-1且xwO,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幕有意义的条件，当上述式子同时出现

则必须同时满足.

6.（2023•江苏苏州•中考真题）已知两个不等于0的实数。、6满足a+b=0,则+：等于（）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】

先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果.

【详解】

#刀„/?ab2+a2

abab

122

向bab+a（a+b）-lab

ababab

团两个不等于0的实数，、匕满足a+b=0,

!a_（a+b）'-2ab_-2ab_2

ababab

故选:A.

【点睛】

本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键.

7.（2023•全国•八年级课时练习）当x=-2时，分式3人一27的值是（）

9+6x+x

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

【分析】

先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把x=-2代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.

【详解】

3/-27

解:

9+6x+x2

3（X2-9）

（X+3『

（X+3『

3（x-3）

x+3

把x=-2代入上式中

原式

故选A.

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.

X2-9

8.（2023•北京市平谷区峪口中学八年级期中）分式值为。的条件是x的值为（）

x+3

A.±3B.3C.-3D.0

【答案】B

【分析】

由题意根据分式的值为零的条件即分子等于0,同时分母不能为0,可以求出x的值.

【详解】

T2-0

解：0-——=0,

x+3

团x?_9=0，解得x=±3,

%+3w0,解得x~3,

综上x=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为。的同时，分母不能为0是解决此题的关键.

9.（2023•山东寒亭•八年级期中）下列变形正确的是（）

aaba-a

A.B.--------=——

厂瓦-b—cb-c

—/+2a—1ci—1xx+2

C.D.--------

/—1Q+1jy+2

【答案】A

【分析】

利用分式的基本性质判断即可.

【详解】

解：49黑原式变形正确，符合题意；

bb»bb

B、二:\=原式变形错误；不符合题意;

-b-cb+c

—a2+2a—1(Q-1)―(Q-1)—a+1

原式变形错误；不符合题意;

Q2—1—+Q+1Q+1

Y+2

。、T-分式分子分母同时加一个数，分数值有变化，原式变形错误；不符合题意;

yy+2

故选：A.

【点睛】

本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质.

10.（2023•山东寒亭•八年级期中）已知y=则=（）

l-2xy-xy-x

17

A.——B.-7C,—D.-5

33

【答案】B

【分析】

上代入2A3移2y

将＞=即可求解.

l-2xy-xy-x

【详解】

x八、、2x-3>xy-2y

解:将y匚五代入孙_尤

)3x22x

2工-1-2元

得:

xx2

--------------X

1—2x1—2x

2%(1-2x)-3炉—2元

x—x—x(l-2x)

2x-4%2—3/—2x

x—X2—x+

-7x2

故答案为：B.

【点睛】

本题考查代数式求值，解题关键是正确化简分式.

11.（2023•全国•八年级课时练习）下列式子中①-2=上；②>一=上；③"=口；④士,

x-x-y+xy+xx尤-bb

中，正确的有（）.

A.①②③④B.①③④C.①②③D.只有④

【答案】B

【分析】

分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基

本性质逐一判断即可得到答案.

【详解】

解：-上=上，正确，故①符合题意;

X-X

一尤_（一尤）_______X____

_y+x-（-y+.r）y-尤

-2=—,正确，故③符合题意；

XX

3=二胃与故④符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质判断分式变形是解题的关键.

12.（2023•四川南充•中考真题）=3,则^+2=

n-mnm

17

【答案】V

4

【分析】

先根据"'=3得出m与n的关系式，代入Z^+4化简即可；

n-mnm

【详解】

n-m

[?|n+m=3（n—m）,

团几=2m,

「疗n2m24m217

团F+F=—2+^~=—

nm4mm4

17

故答案为：—

4

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，得出〃=2根是解决本题的关键.

13.（2023•全国•八年级课时练习）计算：+-

V1-aya-a

【答案】-。

【分析】

分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的

除法运算，即可解答本题.

【详解】

11

*o

l-aa-a

=---xa(a

l-a'

--a

故答案是：-a

【点睛】

本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.

OQ

14.（2023•四川自贡•中考真题）化简：二-.

【分析】

利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解.

【详解】

2_________8

ci—2+-2)

2(々+2)8

(a+2)(a—2)(a+2)(〃_2)

2(«-2)

+2)(a—2)

2

。+2

2

故答案为：

a+2

【点睛】

本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键.

_____Y-L3x—1Y—Q

15.（2023•全国•八年级课时练习）当x=V^T+3时，代数式（手-Q+土士的值是

x-3xx-ox+9x

1

【答案】

2021

【分析】

先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入彳求值即可.

【详解】

解：由题意可知:

%+3x-1x

原式=X

x(x-3)(x-3)2x-9

(%+3)(%—3)x(x—1)x

x

2

x(尤—3)2x(x-3)x-9

f—9一炉+XX

X

了（尤-3）一x-9

x-9x

x

x(x-3)2x-9

1

(x-3)2'

11

当尤=J'2021+3时,原式二

“2021+3-3)2-2021'

1

故答案为:

2021

【点睛】

本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解.

16.（2023•山东荣成•八年级期中）已知d-5x+l=0,则/+!的值是

【答案】23

【分析】

由必-5工+1=0可得方程的解xwO,再两边都除以x可得：》+工=5,再两边平方，从而可得答案.

X

【详解】

解：「%2-5x+l=O,

\x?O,x5+—=0,

X

\x+—=5,

X

两边平方：X2+2+4=25,

故答案为：23

【点睛】

本题考查的是分式的求值，等式的基本性质，方程的解的含义，掌握利用把兀+工=5两边平方求解/+[

xx

的值是解本题的关键.

4x-9AB

17.（2023•湖南•衡南县北斗星中学八年级期中）若（3r+2）（1）=ThW3为常数），则A・8

的值为.

【答案】7

【分析】

通过通分得到分子的对应项，从而求得48的值，则易求ASB的值.

【详解】

nAB_（x-l）A-（3x+2）B_（A-3B）x-（A+2B）

*牛，03x+2x—1（3尤+2）（无一1）（3x+2）（尤一1）'

a___4_x_-_9___JA-3B)X-(A+2B)

(3x+2)(x-l)(3x+2)(x-l)

A—35=4A=7

团A+2B=9'解得

B=1

回4_B=7x1=7.

故答案是：7.

【点睛】

本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算.

Y2-934

18.(2023•重庆•中考真题)计算：2,■，十x-\--------

X+2x+lx+\

【答案】十

X+1

【详解】

尤2_9(3-白

触77寸1+R

_(x+3)(x-3)_(X2+X+3-X2^\

--(尤+炉［--)

_(x+3)(x-3)x+1

(x+1)2'^3

_x-3

x+1

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

19.(2023•四川泸州•中考真题)化简：(〃+二)・二4.

a+2a+2

【答案】CL—1.

【分析】

首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案.

【详解】

■&力/1-4-da—1

解：

,(^+2tz1—4a、a—1

=(---------+--------)+------

a+2。+2。+2

a2—2〃+1a—1

。+2a+2

(〃—a+2

---------•------

a+2a—1

ci—1.

【点睛】

此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键.

2。.（2。23•全国•九年级课时练习）先化简再求值：营|-其中It-28s3。。.

【答案】华

【分析】

先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为

乘法，约分化简即可.

【详解】

x+2x-2)

解：原式=

尤-2（犬-2）

_(x+2xjx-2

\x-2x-2Jx-4

2x-2

x—2x—4

2

x-4'

当x=4tan45°+2cos30=4xl+2x=4+A/3时,

2

原式二£zz

2>/3

【点睛】

本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.

21.（2023•山东聊城•中考真题）先化简，再求值："+小学其中•=-：.

【答案】2一;6

【分析】

先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可.

【详解】

2a+14—2a(2a—1)—(a+1)(〃—1)

解：原式=±0+土1

Q+1a—1

2。+1a2—2a