2024年中考数学复习：反比例函数的综合应用培优讲义

1.反比例函数实际应用的步骤：⑴由实验获得数据；（2）用描点法画出图象；（3）根据图象求出函数解析式；（4）用函数的性质解决

问题.

2.反比例函数综合题常常结合一次函数的图象与性质、二次函数的图象和性质、特殊四边形的性质进行考查，解题时需运用数形

结合、分类讨论等方法.

例1（镇江中考）六一儿童节，小文到公园游玩.看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP,0

Q之间有一块空地MPOQN（MP_LOP,NQ，OQ）.他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比

如：A,B,C是弯道MN上的三点，矩形ADOG,矩形BEOH,矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如

图）,图中三块阴影部分的面积分别记为（Si、S2.S3,并测得a=6（单位:平方米）.OG=GH=HL

⑴求Si和S3的值；

（2）设T（x,y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；

⑶公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=

2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木？

举一反三1（杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时）,

行驶速度为v（单位：千米/时）,且全程速度限定为不超过120千米/时.

（1）求v关于t的函数解析式.

⑵方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.

例2已知点C在直线y=x上，过点C作CD〃y轴交x轴于点D,交双曲线y=。于点B,过点C作NC〃x轴交y轴于点N,交

双曲线y=:于点E,连接OE,若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为

⑴求k的值.

⑵若A(3,3),M是双曲线y=潇一象限上的任一点.求证:|MCHMA|为常数6.

⑶现在双曲线y=，上选一处M建一座码头，向A(3,3),P(9,6)两地转运货物，经测算.从M到A,从M到P修建公路的费用都是每

单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?总费用最低是多少?

举一反三2如图，直线。於是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路，曲线段CD是该湖泊环湖观光大道的一部分.现准备修建一条

直线形公路AB,用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线AB与曲线段CD有且仅有一个公共点P.已知点C到A4的距离分别为

8km和1km,点P到。的距离为4km，点D到11的距离为0.8km.若分别以L,为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy,则曲线段CD

对应的函数解析式为y=：.

(1)求k的值，并指出函数y=§的自变量的取值范围；

⑵求直线AB的解析式，并求出公路AB的长度(结果保留根号).

例3(牡丹江中考)如图，已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,线段OA的长是方程x2-7%-18=0的一个根，0B

=：。4请解答下列问题：

(1)求点A,B的坐标.

(2)直线EF交x轴负半轴于点E,交y轴正半轴于点F,交直线AB于点C.若C是EF的中点,(0E=6,反比例函数y=孑图象的一

支经过点C,求k的值.

⑶在⑵的条件下，过点C作CD_LOE,垂足为D,点M在直线AB上，点N在直线CD上.坐标平面内是否存在点P,使以D,M,

N,P为顶点的四边形是正方形?若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由.

举一反三3如图I,在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=T也丰0）与直线.y=ax+b（a0）交于A,B两点直线AB分别交x

⑴将线段OE沿x轴平移得线段（OE，（如图1）,在移动过程中，是否存在某个位置使|BO-4E，|的值最大?若存在，求出\B0'~

4E1的最大值及此时点。，的坐标；若不存在，请说明理由.

⑵将直线OA沿射线OE平移，平移过程中交y="x>0）的图象于点M（M不与A重合）,交x轴于点N（如图2）.在平移过程中，

是否存在某个位置使△MNE为以MN为腰的等腰三角形?若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

过关检测

基础夯实

1.（河北中考）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（单位：万册）与它的使用时间X（单位年成反比例关系，当x=2时,y=20.则y与x

2.（恩施州中考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示.设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部

分的面积为20,若2WXW10,贝Uy与x的函数图象是()

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3.（青岛中考）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流1（单位：A）与电阻R（单位：Q）之间的函数关系如图所示.如

果以此蓄电池为电源的电器限制电流不得超过10A,那么此用电器的可变电阻应（）

A.不小于4.8。

B.不大于4.8Q

C.不小于14。

D.不大于14。

4.（福建中考）设A,B,C,D是反比例函数y=§图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形.

其中正确的是一（填序号）.

5.（衢州中考）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30。角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中,AB在x轴上,点G与点A重

合点F在AD上三角板的直角边EF交BC于点M,反比例函数y=：（幻0）的图象恰好经过点F,M.若直尺的宽CD=3,三角板的斜边

FG=8旧,,则k=

6.（乐山中考）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启

到关闭后，大棚内的温度y（单位：C）与时间x（单位：h）之间的函数关系，其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部

分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题：

⑴求这天的温度y与时间x(0SxW24)的函数关系式；

(2)求恒温系统设定的恒定温度；

(3)若大棚内的温度低于10。时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害?

7.如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点C与原点0重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y==的图象上，点D的

坐标为(2,1).

(1)求0B的长；

(2)若将口ABCD沿x轴正方向平移得到。AiBiDi,当点Bi在函数y=?的图象上时，求四边形OBB】g的周长.

、二能力拓展

8.如图，一次函数y=x与反比例函数y=久什0)的图象在第一象限交于点A,点C在以B(7,0)为圆心、2为半径的。B上.已知AC

长的最大值为7,则该反比例函数的解析式为.

9.平面直角坐标系中，A是y=-5(x)0)图象上一点，B是x轴正半轴上一点，点C的坐标为(0,-2).若点D与A,B,C构成的四边

形为正方形，则点D的坐标为.

10.以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A,C分别在x,y轴的正半轴上，双曲线y=5k>0)的图象经过

BC的中点D,且与AB交于点E,过OC边上一点F,把ABCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点。处，且CE〃BC,若点C的坐

标为(2,4),则BF的长为

II.在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，

综合考虑各种因素，该种水果的成本价为2万元每吨，销售结束后，经过统计得到了如下信息：

信息①：设第x次线上销售水果y(单位：吨),且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；

信息②：该水果的销售单价P(单位：万元/吨)均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次

线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比；

信息③:

X/次2824

p/（万元/吨）2.22.83

请根据以上信息，解决下列问题.

⑴求y与x之间的函数关系式.

⑵若p=3.2（万元/吨），求x的值.

⑶在这30次线上销售中，哪一次线上销售所获利润最大?最大利润是多少?

12.（广东竞赛）如图为某游乐场电车轨道的一部分ABC的图象,AB为线段,BC为反比例函数y=三的一部分，已知A（10』）、B（8,2）、

C（2,yc）.过轨道图象上一点分别作x,y轴的垂线，垂线段的和（用S表示）取最小值时的点称为最佳支撑点.

（D求直线AB的解析式及k值.

⑵求轨道图象最佳支撑点的坐标.

3,综合创新

13.如图，点P在反比例函数y=这（x>0）的图象上以OP为直径的圆与该反比例函数的另一交点为B,且交y轴于点C.已知

BC=OB,PO与BC相交于点E,则点E的坐标为.

14.如图1,在平面直角坐标系中点A(2,0),B(0,1),以AB为顶点在第一象限内作正方形ABCD反比例函数y1=§(x)0),y2=

领x〉0)分别经过C,D两点.如图2,过C,D两点分别作x,y轴的平行线得矩形CEDF,现将点D沿刈=§(x>0)的图象向右移动，矩

(1)当点E落在yi=号(行。)的图象上时.点D的坐标为—.

(2)设平移后点D的横坐标为a,矩形的边CE与为=，(x)0),y2=当(x>0)的图象均无公共点，请直接写出a的取值范围：

15.当a>0且x>0时，因为(爪-J)"20,所以x-2仿+注0,从而x+1>2疝当x=历时取等号).

记函数y=久+三(a)0,x>0),由上述结论可知：当工=遮时，该函数有最小值，为2VH.

(1)已知函数y=x+g(幻0),当x=___时,y取得最小值，为____

⑵已知函数y=x++(x>-