2024年中考数学压轴题突破二次函数与相似问题（学生版）

专题4二次函数与相似问题

考法综述，

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为

特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导

边的大小.

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后

利用相似来列方程求解。

方法揭秘.

\________________/

相似三角形常见的判定方法：

(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应

用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方

程，解方程并检验.

如果已知乙4=4。，探求△48。与△£>£下相似，只要把夹乙4和乙。的两边表示出来，按照对应边成

比例，分丝=匹和必=竺两种情况列方程.

ACDFACDE

应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.

应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程(组).

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是

确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.

典例剖析.

X,________________/

【例1】(2022•贵港)如图，已知抛物线y=3+及+0经过/(0,3)和2(工，-旦)两点，直线N3

24

与X轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDVx轴交AB于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若PE//x轴交AB于点£,求PD+PE的最大值；

(3)若以N,P,。为顶点的三角形与△/OC相似，请直接写出所有满足条件的点尸，点。的坐标.

【例2】(2022•衡阳)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于/、2两点，将该抛物线位于x轴下方的部

分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象犷'，图象少交y轴于点C

(1)写出图象少位于线段上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y=-x+6与图象少有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点P作尸河〃y轴交直线3c于点交图象少于点N,是否存在这

样的点尸，使△CNN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【例3】(2022•桂林)如图，抛物线y=-，+3》+4与x轴交于/,8两点(点/位于点3的左侧)，与y轴

交于。点，抛物线的对称轴I与x轴交于点N,长为1的线段尸。(点尸位于点Q的上方)在x轴上方

的抛物线对称轴上运动.

(1)直接写出4B,C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)过点尸作PMLy轴于点跖当△CPM和△Q2N相似时，求点。的坐标.

【例4】(2022•玉林)如图，已知抛物线：y=-2/+bx+c与x轴交于点4,B(2,0)(/在3的左侧)，与

了轴交于点C,对称轴是直线x=/,P是第一象限内抛物线上的任一点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。为线段。。的中点，则△尸。。能否是等边三角形？请说明理由；

(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点垂足为点〃，若以尸，M,C为顶点的三角形与△加“

相似，求点P的坐标.

备用图

满分训练.

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1.(2020秋•兴城市期末)如图，抛物线歹=62+6"4经过/(4,0),B(-1,0)两点，与了轴交于点C,

。为第一象限抛物线上的动点，连接/C,BC,DA,DB,与/C相交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,设乙4DE的面积为Si,△2CE的面积为S2,当Si=&+5时，求点D的坐标；

(3)如图2,过点C作CF〃x轴，点M是直线CF上的一点，JW,C尸交抛物线于点N,是否存在以C,

M,N为顶点的三角形与△BC。相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

图1图2

(2)如图1,若点。是抛物线上在第四象限的点，连接D4并延长，交丁轴于点尸，过点。作

s

轴于点E当△/尸。与△/£>£的面积比为冷些=工时.求点D的坐标；

SAADE4

(3)如图2,抛物线与y轴相交于点F.若点Q是线段。下上的动点,过点。作与x轴平行的直线交抛

物线于M,N两点(点M在点N的左边).请问是否存在以。，A,M为顶点的三角形与△。附相似？

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2020秋•长垣市期末)如图1,抛物线y=/：2+6x+c与x轴、y轴分别交于点2(6,0)和点C(0,-

3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为加，连接尸3、PC,当的面积为0时，

2

求m值；

(3)如图2,点M是线段03上的一个动点，过点M作x轴的垂线/分别与直线BC和抛物线交于。，

£两点，是否存在以C,D,E为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

4.(2021秋•邹城市期末)如图，已知抛物线y=/+2x的顶点为/,直线y=x+2与抛物线交于瓦C两点.

(1)求4B,C三点的坐标；

(2)作CD_Lx轴于点。，求证：△ODC74BC;

(3)若点P为抛物线上的一个动点，过点尸作PM±x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的

点，使以。，P,M为顶点的三角形与△/BC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说

5.(2021秋•攸县期末)如图，已知直线尸-2x+4分别交x轴、y轴于点N、B,抛物线过N,3两点，点

产是线段48上一动点，过点P作尸轴于点C,交抛物线于点D

(1)若抛物线的解析式为y=-2X2+2X+4,设其顶点为其对称轴交N3于点N.

①求点M和点N的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点。，使的值最大，请直接写出点。的坐标；

③是否存在点尸，使四边形MNP。为菱形？并说明理由；

(2)当点尸的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以3、P、。为顶点的三角形与△NOB相似？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

6.(2022•禹城市模拟)如图，抛物线经过/(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过尸作Mix轴，垂足为例，是否存在夕点，使得以/,P,

M为顶点的三角形与△ONC相似？若存在，请求出符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线上有一点D(点、D位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S^DCA=S/BC,直接写出

点D的坐标.

7.(2022•祥云县模拟)如图，已知抛物线+以+c过点4(-1,0),5(3,0),交y轴于点C(0,3),

点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点£,交线段3C于点。，轴，交y

轴于点N.

(1)求抛物线y=a^+bx+c的表达式；

(2)若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；

(3)连结。AC,抛物线上是否存在点使得以C,O,。为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，

请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

8.(2022•松江区校级模拟)如图，抛物线/-反+c过点2(3,0),C(0,-3),。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；

(2)连接BC,CD,DB,求乙的正切值；

(3)点C关于抛物线y=x2-bx+c对称轴的对称点为£点，连接BE,直线BE与对称轴交于点M,在

(2)的条件下，点尸是抛物线对称轴上的一点，是否存在点尸使△CA8和△BMP相似，若存在，求点

尸坐标，若不存在，请说明理由.

9.(2022•平江县一模)如图，抛物线产小+区+8与x轴交于/(-2,0)和点8(8,0),与y轴交于点

C,顶点为D,连接/C,BC,8C与抛物线的对称轴/交于点£.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点尸是第一象限内抛物线上的动点，连接尸2,PC,设四边形尸20C和△/OC的面积分别为S四边

形PBOC和SAAOC,记S=S四边形PBOC-S^AOC,求S最大值点P的坐标及S的最大值；

(3)点N是对称轴I右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的

三角形与△30C相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(备用图)

10.(2022•莱州市一模)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=L/+c经过点/(4,3),顶点为点3,

点尸为抛物线上的一个动点，/是过点(0,-2)且垂直于y轴的直线，连接尸。

(1)求抛物线的表达式，并求出顶点3的坐标；

(2)试证明：经过点O的。尸与直线/相切；

(3)如图②，已知点。的坐标为(1,2),是否存在点尸，使得以点P,。及(2)中的切点为顶点的三

角形与△/3C相似？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

11.(2022•巩义市模拟)已知，二次函数夕=a^+bx-3的图象与x轴交于/,3两点(点/在点B的左边),

与V轴交于C点，点/的坐标为(-1,0),且O3=OC

(1)求二次函数的解析式;

(2)当0WxW4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少?

(3)设点。与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC与△尸03相似，且

PC与是对应边？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

12.(2022•澄迈县模拟)在平面直角坐标系中，抛物线经过点/(-2,0),5(-3,3)及原点。，顶点为

C.

(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为

①在图1中，当-3vf<0时，求△P2。的面积S与/的函数关系式，并求S的最大值；

②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以/,O,P,£为顶点的四边形是

平行四边形，求点尸的坐标；

③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点尸作尸轴，垂足为是否存在点P使得

以点尸，/为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

13.(2022•丰南区二模)如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系

中的△048重合，现将三角板CDE绕边N8的中点G(G点也是的中点)，按顺时针方向旋转180。

(2)点P在第四象限的抛物线上，求OP的最大面积；

(3)如图③，OG是以N2为直径的圆，过2点作OG的切线与x轴相交于点尸，抛物线上是否存在一

点监使得△80尸与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

14.(2022•莱芜区三模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞=-x+3的图象与x轴交于点/,与y轴

交于点B,二次函数y=x2+bx+c的图象经过A和点C(0,-3).

(1)求二次函数的表达式;

(2)如图1,平移线段/C,点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在

直线N2上，直接写出四边形NCED的形状，并求出此时点。的坐标;

(3)如图2,在(2)的条件下，连接CD,交x轴于点点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过

点尸作尸尸，x轴，交8于点尸，连接尸C,是否存在点尸，使得以点尸，C,尸为顶点的三角形与△aw

相似？若存在，求出线段灯的长度；若不存在，请说明理由.

15.(2022•临清市三模)如图，抛物线尸-f+6x+c的顶点D坐标为(1,4),且与x轴相交于4,3两点

(点N在点8的左侧，与y轴相交于点C,点£在工轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点尸在抛

物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形所G8,其中点G,〃都在x轴上.

(1)求抛物线解析式；

(2)设点尸横坐标为加，

①用含有m的代数式表示点E的横坐标为(直接填空);

②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；

③连接40,当EG与4D垂直时，求点G的坐标；

(3)过顶点。作。轴于点过点尸作尸尸_L4D于点尸，直接写出△DF尸与△加"相似时，点

F的坐标.

备用图

16.(2022•成都模拟)如图①，已知抛物线＞=-(x-1)2+后交x轴于B两点,交y轴于点C,尸是抛

物线上的动点，且满足08=304

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在第一象限，直线y=1+6经过点P且与直线BC交于点E,设点、P的横坐标为t,当线段

2

PE的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；