2024年中考数学训练：求最短路径（勾股定理的应用）

2024年中考数学专题训练：

求最短路径（勾股定理的应用）

1.如图，圆柱高为7cm,底面周长为48cm,蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点A爬到点B的最

短路程.（作出展开图再求）

2.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm,底面圆的直径为一cm,在外侧距下底1cm的点C

7C

处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的尸处有一苍蝇，试求急于捕

获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.（结果保留根号）

3.如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、8两村送水，已知A、B两村到江边的距离分

另II为2万〃和7Am,且A、8两村相距13历〃.

B

*

A

,河边

（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；

（2）若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水

管的费用为多少元？

4.如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路A3上的。处开凿隧

道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为151?,与公路上另一停靠

站B的距离为20km,停靠站A,3之间的距离为25km,且

c

⑴求—ACB的度数及修建的公路8的长；

（2）公路8修通后，求一辆货车从C处经过点D到3处的路程是多少？

5.如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的8处有人求救，救生员没有直接从A处游

向8处,而是沿岸边自A处跑到离B处最近的点C,然后从点C游向B处,经测量4c=400m,

BC=300m,若救生员在岸边行进的速度是5m/s,在海中行进的速度是2m/s,请分析救生

员的选择合理吗？

B

300m

----------------10

400m

6.如图，河CO的同侧有A、B两个村，MAB=2>/i3km,A、3两村到河的距离分别为

AC=2km,比>=6km.现要在河边8上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水

管的工程费每千米需2000元.请你在河岸8上选择水厂位置。，使铺设水管的费用最省，

并求出铺设水管的总费用取（元）.

7.如图1,一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点2处，求它爬行的最短距离.

已知圆柱底面半径为R,高度为瓦小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案,

方案1：沿A-C-8爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2.（〃取3）

试卷第2页，共6页

⑵当尺=1,/z=l时，哪种方式的爬行距离更近？

⑶当R与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？

8.如图，长方体盒子的长宽高分别为12cm,8cm,30cm,在AE中点M处有一滴蜜糖,

有一只小虫从G点爬到/处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长.

9.(1)如图1,矩形的两邻边长分别为5和3,某一动点从点A运动到点C的最短路线长

是;

(2)如图2,在棱长分别为5,3,11的长方体模型中，若设定动点尸从顶点G以1个单位

/秒的速度在长方体的外部沿C-C向下匀速运动，同时动点。从顶点A出发在长方体外部侧

面上匀速运动，若要使动点。在第5秒时恰好拦截到动点P,则动点。的速度至少应设定

为多少？

10.如图①，长方体长为8cm,宽8。为6皿，高为4cm.在该长体的表面上，蚂

蚁怎样爬行路径最短？

图①图②

⑴蚂蚁从点A爬行到点G,且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长.

(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点。(如图②)，则OE=OF=OG=OH=5cm.

①蚂蚁从点2爬行到点0的最短路径的长为一cm；

②当点尸在BC边上，设8P长为acm,求蚂蚁从点P爬行到点。的最短路的长(用含。的

代数式表示).

11.如图，A村和8村在河岸C。的同侧，它们到河岸C。的距离AC,8。分别为1千米和

3千米，又知道的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水

管的工程费用为每千米20000元.

(1)请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；

(2)求铺设水管的最省总费用.

B

CD

12.在MAABC中，ZABC=90°,BA=BC,点。为边AC上一动点.

(1)如图1,若。C=6,ZABD=15°,求8。的长；

(2)如图2,以BD直角边作狡△8DE,使得BD=BE,连接AE,点/为AE中点，请猜

想8RAD.OE之间的关系，并说明理由;

(3)如图3,若48=4而，当点。在运动过程中，点G为射线BC上一点，满足CD=0

BG,求AG+gz)G的最小值.

试卷第4页，共6页

图2

13.如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍.(万取3)

(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？

(2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点8重合，则绳子长度至

少为多少分米？

14.为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图

所示的四边形空地A3CD内进行绿化改造，NA=90。，AB=12m,AD=9m,BC=17m,

CD=8m.

(1)若要在3,。两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元?

⑵如果种植草皮的费用是200元/nf,那么