2024年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（三）及其详细解析

2024年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）己知集合/={xeN|2x?-尤-15W。}，B={y\y=cosx},则/0］8=（）

A.{x|-1^1}B.{0,1；C.{-1,0,1}D.{1}

2.（5分）在A4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,则“sin?N+sin?3+cos2c>1”是“AA8C

是锐角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

3.（5分）若实数a,b,c满足a=2sin2，/=7,3C=10,贝U（）

12

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

4.（5分）已知函数/（x）=sin（ox+&）（。>0）在［0,2%］上有且仅有4个零点，直线彳=工为函数y=〃x）

66

图象的一条对称轴，则〃g=（）

5.（5分）如图，圆。内接一个圆心角为60。的扇形N2C,在圆。内任取一点，该点落在扇形A8C内的

概率为（）

6.（5分）已知三棱锥的外接球的体积为也画再以_L平面N5C,N8=2NC=2,N8/C=2",

273

则三棱锥忆-/BC的体积为（）

GV6百闻

A•D•L.--------L）•----------

3366

7.（5分）过双曲线C:3-/=i的左焦点片作倾斜角为。的直线/交。于w,N两点.若诲=3冗声,

则Icos。1=（）

第1页（共17页）

A回口3MC.正D.为

101055

C56

。用="("eN*),则£a-Xa,-i可以是(

8.（5分）数列出,｝的前〃项和为S〃，2i2)

a1ti=\t=\

A.18B.12C.9D.6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（6分）若正实数6满足12a+6=ab,贝！］（）

A.b>\2

B.有序数对（a,b）（a,beN*）有6个

C.a+6的最小值是12+4右

D.a2+^2-2a-246+121>0

10.（6分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加

集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1,9.3,9,4,9,6,9.8,10,10,则

这组数据的（）

A.平均数为9.6B.众数为10

C.第80百分位数为9.8D.方差为卫

350

11.（6分）已知平面a//平面〃，且均与球O相交，得截面圆。与截面圆。2，。为线段。°?的中点,

且002=26，线段48与CD分别为圆Q与圆。2的直径，则（）

A.若A48c为等边三角形，则球的体积为18万

B.若尸为圆a上的中点，ABLAC,且45=4。，则。尸与ZC所成角的余弦值为

C.若/8_LCD,S.AB=2y/6,则

D.若48J_CD,且/C与3。所成的角为60。，则球。的表面积为20%或84万

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）在A48c中，AM=2MB,尸是的中点，延长/P交3c于点D.设下=&,AC=b,

则N可用1，3表示为，若AD=&,cosABAC=-,则A42c面积的最大值为

5

丫2

13.（5分）已知片，此是椭圆C:方+/=1的左、右焦点，P是C上一点.过点片作直线尸片的垂线4,

第2页（共17页）

过点工作直线尸鸟的垂线心若4,4的交点。在c上(P，。均在x轴上方)，且|尸。|=个一,则c的离

心率为.

14.(5分)已知函数“X)的定义域为R，且f(x+y)+/(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则/(2024)=.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在A48C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且6(cosC+1)=c(2-cosB).

(1)证明：a+b=2c.

a_..

(2)若a=6,cosC=—,求AA8c的面积.

16

16.(15分)刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性

也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查(问

卷得分在40〜100分之间)，并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直

方图.

(1)据此估计这200人满意度的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用

“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状、大小完全

相同的小球(其中红球3个，黑球5个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额

的20%；若摸到2个红球，返消费金额的10%,除此之外不返现金.

方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结

果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有工的概率享受9折优惠，有的概率享受95

632

折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.

①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；

②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？(注：结果精确到0.1)

第3页(共17页)

17.(15分)已知数列｛%｝的前〃项和为S",且与=；〃(〃+1).

(1)求｛%｝的通项公式；

1〃为奇数

(2)若数列｛2｝满足6'=%%+2'，求也,｝的前2〃项和凡.

.2""/为偶数

18.(17分)如图，已知四棱锥尸-/BCO的底面是菱形，对角线/C,BD交于点、0,OA=4,08=3,

。尸=4,OP1ABCD,E,尸分别为侧棱尸3,尸。的中点，点加■在CP上且两=2砺.

(1)求证：A,E,M,尸四点共面；

(2)求直线尸4与平面瓦W所成角的正弦值.

P

19.(17分)已知抛物线X?=2抄(p>0)上的动点到其焦点的距离的最小值为;.

(1)求抛物线的方程；

(2)过抛物线上一点/(I,%)(%>0)作抛物线的切线，分别交x轴于点。，交y轴于点8.点C在抛物

ApRG

线上，点E在线段NC上，满足一=4；点G在线段8c上，满足——=4，且4+4=1,线段CD与EG

EC1GC2

交于点尸，当点C在抛物线上移动时，求点尸的轨迹方程：T.

(3)将「向左平移g个单位，得到「，已知尺(0,加)、0(0,>0),过点R作直线/交「于M,N.设

MN=A.RN,求函.丽-;I7•丽的值.

第4页(共17页)

2024年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.【解答]解：A={x&N\2x1-x-15^0}={xe2V|-1^3}={0,l,2,3},

而3={川-1@@}，故Np|5={0,1}.

故选：B.

2.【解答】解：由sin?Z+sin?B+cos?C>1可得,sin2A+sin2B>\-cos2C=sin2C,

由正弦定理得，a2+b2>c2,

所以cosC>0,此时C为锐角，但无法判断4,8的范围，即此时A45C不一定是锐角三角形，充分性不

成立；

当A45C是锐角三角形时，。一定为锐角，则cosC>0,

2

所以〃2+方>C,

所以sin2A+sin2B>sin2C,

所以5m24+511125+3$2。>1,必要性成立.

故选：B.

3.【解答】解：因为a=2sin2<2sin工=1,

126

又B=7,则6=5，且1<而<泥=2,即1<6<2,

因为3c=10,所以c=log310>log39=2,

所以C>6>4.

故选：A.

4.【解答】解：因为切>0,且XE[0,24],则。x+看£令,2万0+,,

on

由题意可得：4%忘2万。+—7T<5/r,解得一一，

61212

又因为直线x=工为函数夕=/（X）图象的一条对称轴，

6

则工G+工=左乃+工，左eZ,角星得切=6左+2,kwZ,

662

可知左=0,O=2,即/（%）=sin（2x+—）,

6

第5页（共17页）

所以/(―)=sin(—+—)=sin(%--)=sin—=—.

336662

故选：C.

5.【解答】解：连接CM,OC,设圆的半径为，

贝！J/CMC=30°,OA=OC=r,

所以/C=2rcos3()o=ar,

所以扇形Z5C的面积为、工义/。2=4/，

232

又因为圆的面积为疗2,

所以在圆。内任取一点，该点落在扇形A8C内的概率为二^=—.

nr12

故选：C.

6.【解答】解：•.•三棱锥厂-/BC的外接球的体积为3乃&=竺包乃，

327

三棱锥V-ABC的外接球的半径R=普，

27r

又4B=2AC=2,/BAC=—

3

22

...BC=I+2-2xlx2x(-1)=>/7,

设AA8C的外接圆的半径为r,

则根据正弦定理可得：

2

a

,又以_L平面

耳N2C,

二.三棱锥y_4BC的高为J(2尺)2_(2r)2=j4xg_4xg=2,

.•.三棱锥%-N5C的体积为」x』xlx2x也x2=".

3223

故选：A.

第6页（共17页）

7.【解答】解：过双曲线C：1-/=1的左焦点片作倾斜角为。的直线/交C于〃,N两点，若丽=3而,

设双曲线的右焦点为尸，连接上田，NF,

设|斯|=31而|=3x,|赤|=2a+3x=4+3x,|丽|=2a+x=4+x,

,|^M|2+|^；F|2-|W|2

由余弦定理可得cosNNF\F+cos4MF、F=也号=0，

2\FlM\-\FlF\

即x2+4c2-(4+x)2+9x2+4c2-(4+3x)2_0

解得x=—,

2-x-2c2•3x•2c3

所以2孙/+故1c°s，b*.

故选：D.

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8.【解答】解：由题意可得%+户0.%='=1，由，相减可得%=%(%,+2-%)，

aaS

[n+2'n+l=n+l

即。〃+2-4=1，

[J]|l56

AJZa2,-Za2,-l=+&+…+tZjg)—(%+%+...+[]])=5a2+(0+1+2+3+4)—(6%+0+1+2+3+4+5)=15—(6/+15)=-6%

/=it=\

又％=1，贝！又％一1=4+，—1w。•所以一-6%。18,12,6,所以一6%=9.

故选：C.

第7页(共17页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.【解答】解：根据题意，a>0,6>0,\2a+b=ab,

对于4,由题意得，b=a(b-12)>0,

所以b>12,4正确；

110

由题意得，一十—=1,(a,beN*),

ab

由4知b>12,awl,

故满足题意的6有：。=6=13；。=7,6=14；。=5,6=15；。=4,6=16；。=3,6=18；。=2,

6=24共6个，5正确；

a+Z7=(a+/))(-+—)=13+-+—>13+2=13+4A/3,

abab\ab

当且仅当以=2,即6=2扃时取等号，C错误；

ba

112

—=1-----<14,

ab

因为。+6213+4百，

所以a>\,a2+b2-2a-24b+121=(a-1)2+0-12)2-24>(a-1)2+(1+4^-a)2-24,

令〃x)=(x-l)2+(l+48--24,x>l,

则r(x)=4x-4-4君，

当x>l+g时，f'(x)>0,〃x)单调递增，

故"X)》(1+G)=6,

BPa2+b2-2a-24b+121>6,D错误.

故选：AB.

10.【解答]解：对于选项/,平均数=；(9.1+9.3+9.4+9.6+9.8+10+10)=9.6,故/选项正确；

对于选项8,出现次数最多的数为10,所以众数为10,故3选项正确；

对于选项C,7x0.8=5.6,第80百分位数为第6位，即10,故C选项错误；

137

对于选项D,方差为y[(9.1-9.6)2+(9.3-9.6)2+(9.4-9.6)2+(9.6-9.6)2+(9.8-9.6)2+2(10-9.6)2]=—,

故D选项正确.

故选：ABD.

第8页(共17页)

11.【解答】解：由球心。为线段。。2的中点，可知圆，、圆的半径相同.设球。的半径为R,

圆。与圆。2的半径为r.

对于/,由题意，火2=/+3,/C2=ZO；+CQ；=/O；+qo；+co；=2/+i2,/32=4r,

因为=

所以2d+12=4户,

解得厂=灰（负值已舍去）.

所以尺2=/+3=9,

解得R=3（负值已舍去），

所以喂=；万斤=367，故/错误；

对于2,因为=所以4,B,C三点在同一平面内，

因为点Q,。分别为线段8c的中点，

所以。。1为AA8C的中位线，所以NC//OQ,

所以NOQP为OP与4c所成的角，

因为/3=/C,所以OQ=g/C=g/3=PO1,

又P。］_LOQ,

所以NOQP=45°,所以cosNQOP=、-,故2正确；

对于C,因为/3LCD,所以以。为原点，分别以。02所在直线为丁轴、z轴，

以圆。中垂直于的直径所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图，

则/（0,-跖0）,8（0,«,0）,。（#,0,26）,。（一忘0,2状）,

所以就=（八,后,26）,砺=（-#,-#,2。）,

第9页（共17页）

所以就.前='（-悯+#X（-#）+26X26=0,

所以/C_L8。，故C正确；

对于。，以，为原点，以AB,002所在直线分别为y轴、z轴,

以圆Q中垂直于的直径所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如上图,

则A(0,-r,0),5(0,r,0),C(r,0,2^),D(-r,0,2，

所以就=(r,r,2®而=(-r,-r,2亚,

所以衣.丽=-/一/+12=-2尸+12,|就|=|而|=，2*+12,

_|一2户+12|_1_

所以|cos就，丽|=&.竺j

\AC\-\BD\12r+12.6+122

解得厂=及（负值已舍去）或r=3/（负值己舍去），

当一夜时，球。的半径为R=&+(百-=下,

所以球0的表面积S=4兀R1=20万；

当r=3夜时，球。的半径为R=力？+(由了=而,所以球。的表面积S=4万尺2=84万，故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【解答】解：•.•尸是CW的中点，/=工痂+"1•就，

22

■■AM=2MB,-AM=-AB,

3

—►12—►1—►1—►1—►11一

/.AP=-x-AB+-AC=-AB+-AC=-a+-b；

2323232

___ii1►2

^AD=ZAPk,贝I」益=一府+—刀=—益+—%,

3232

•・,£＞在5c上，4+4=1,解得4=9，

325

/.AD=-AP,\AP\=-\AD\=-46,

566

\AP\^=(-a+-b)2=-a2+-a^b

32943

=—c2+—b2+—be•—=—c2+—be+—b2=—,(a,b,c分别为4,B,。所对边)

94359546

第10页（共17页）

-c2+-bc+4b2=—^-bc+-bc,nbc^—(当且仅当b=c时取等)

9563516

34

.:cosNBAC=—，sinABAC=—，

55

12212525

/.S=—besinZBAC=—bc^—x=——.

MBRC255168

故答案为：AP=-a+^b；—.

328

/MB

13.【解答】解：设尸(也??)，片(-c,0),8(c,0),由题意可知：加。±c,n>0,

则直线PE的斜率kPF=，可知1、的方程为y=-*(x+c)，

1m+cn

同理可得：/,的方程为夕=-依三(x-c),

n

m+c,、r

y=---------(x+c)x=-m22

联立方程"，解得,即。

m-c,、y=---------n

y=(xc)「

Inn

因为0在C上，可知尸，。关于y轴对称，

且口。f竽，则2|机|=罕，可得病=g，

又因为"一/=〃，即3-C2=〃2,

n5

第11页（共17页）

16

由题意可得：4+«2=1-整理得5/-16/一16=0,

a

c2=a2—1

解得/=4或(舍去)，则，=/一］=3,

5

所以C的离心率为e=-=jC=—.

a\a2

故答案为：■

2

14.【解答］解：令x=l,y=0,贝U/(1)+f(1)=2/(1)=f(1)/(0),

因为/(1)=1,所以〃0)=2,

令x=y=l,贝I/(2)+/(0)=/(I)f(1)，得/(2)=-1,

令y=l,则/(x+l)+〃x-l)=/(X)/(1)=/(X),即〃X-1)=〃X)-〃X+1)，

所以〃x)=/(x+l)-/(x+2)，

所以/(X-1)=f［x+1)-f(x+2)-f(x+l)=-/(x+2)

所以〃x+2)=-/(x+5),所以/(x-l)=/(x+5),即/(x)=/(x+6),

是以6为周期的周期函数，

所以“2024)="337x6+2)=/(2)=-1,

故答案为：-1.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解答】解：(1)证明：根据正弦定理知6(cosC+1)=c(2-cos5)=>sinBcosC+sinB=2sinC-sinCcosB,

整理得sinBcosC+sinCcos5+sin5=2sinC=>sin(5+C)+sinB=2sinC,

因为4+5+。=〃，

所以sin4=sin(5+C)=>sin4+sinB=2sinC,

由正弦定理可得a+6=2c；

(2)因为cosC=—,所以sinC=Jl-cos2c——,

1616

77

由余弦定理可得c2=a2+b2-labcosC,BPc2=36+b2-—b,

4

第12页（共17页）

贝I]4c2=144+4/-27b,

因为a=6,所以6+6=2c,所以36+126+/=41,

则144+4/-27b=36+126+/,即/-136+36=0,

解得6=4或6=9,

当6=4时，a=6,止匕时AA8C的面积S=！a6sinC=Lx4x6x^=1^^,

22164

当6=9时，a=6,此时的面积S=！a6sinC=Lx6x9xM=^^.

221616

所以A43C的面积为""或生".

416

16.【解答】解：(1)由直方图可知，满意度的平均数为：

(0.01x45+0.02x55+0.025x65+0.025x75+0.015x85+0.005x95)x10=68；

(2)①摸到3个红球，返消费金额的20%,实际付款为1000(1-20%)=800,

摸到2个红球，返消费金额的10%,实际付款为1000(1-10%)=900,

所以X的可能取值为800,900,1000,

贝U尸(X=800)=4=—,P(X=900)=^-=—,

Cf56Cl56

产(X=1000)*

。87

所以X的分布列为：

X8009001000

P1155

56567

贝U£(^)=800x—+900X—+1000X-®969.6(元)；

56567

②若选择方案二，记实际付款金额为Y,

由题，y的可能取值为800,900,950,

因为尸(y=800)=工,P(Y=900)=-,P(K=950)=-,

所以Y的分布列为:

Y800900950

Pj_1j_

632

第13页(共17页)

所以，E(Y)=800x-+900x-+950x-»908.3(元)，

632

由①可得：£(X)>£(7),

所以选择方案二付款更划算.

17.【解答】解：(1)由+1),可得％=S]=1,

〃》2时，=S“-S“_]=g〃(〃+l)=〃，对”=1也成立,

则，neN*；

、」一〃为奇数[―-一为奇数

(2)bn=<anan+2={〃(〃+2)2\nn+2),

2"”,〃为偶数12",〃为偶数

则{bn}的前2〃项和

%=(4+b3+…仇“_])+(4+4+…+也”)=；(1_；+；_:+…+0二)+(4+16+...+4")

23352w-12n+1

114(1一4")n4向一4

22M+11-42M+13

18.【解答】解：(1)证明：因为平面是菱形，所以NB_LC。，

又因为OP_L底面/BCD,所以。P_L/C,OP1BD,

所以/C,BD,0P两两垂直，

以。为坐标原点，以CM,OB,OP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图空间直角坐标系，

因为CM=4,08=3,0P=4,则/(4,0,0),

5(0,3,0),C(-4,0,0),D(0,-3,0),

产(0,0,4),

因为£,厂分别为侧棱尸8,尸。的中点，

所以E(0,5,2),尸(0,-于2),

_____AQ

因为西=2前，所以河(一],0,§),

所以方=(-4,-|,2),荏=(-4,|,2),万7=(告,0,|).

所以疝7=-万+-方，由向量共面的充要条件可知，AM,AE,AF共面，

33

又而，AE,万过同一点E,所以N,E,M,尸四点共面.

(2)由点坐标可得方=(4,0,-4),丽=(0,6,0),PC=(-4,0,-4),5?=(0,-3,4),

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,-►〜1—►44►—►48

又因为CM=2〃P,所以尸M=—PC=(一一,0,一一),BM=BP+PM=(一一,-3,-).

33333

n-DB=6y=0

设平面BDM的法向量为n=（x,y,z），贝！J<48

n•B