专题02 不等式性质与均值不等式的应用-学霸养成.2024年新高考数学热点难点特色专题练（解析版）

专题02不等式的性质及均值不等式的应用一、单选题1.（2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】当，时，，则A错误.当，时，，则B错误.当，时，，则C错误.由，得，则D正确.故选D.2．（2023届四川省盐亭中学高三第三次模拟）若​，则下列不等式中正确的是（

）A．​B．​C．​D．​【答案】D【解析】由于，所以，则.所以即，AB错误.由于，所以，则，​C错误.由于，所以则，​D正确.故选D3．（2023届陕西省镇安中学高三模拟）若，，且，则下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，（当且仅当时取等号），A正确；对于B，（当且仅当时取等号），，B正确；对于C，（当且仅当时取等号），C正确；对于D，，，，，；，，D错误.故选D.4．（2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知，则下列说法中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.，不等式两边同时乘以，得，故A正确；B.，则，所以，故B错误；C.，不等式两边同时除以，得，故C正确；D.，当时，，当时，，所以，故D正确.故选B5．（2024届广东省中山市华侨中学高三上学期一次模拟）设正实数满足，则下列说法错误的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当，即时，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选C.6．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知平面单位向量满足，若，则的最小值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，所以，得，得，同理可得，，设，则，由于，，所以，当且仅当时取等号，由于，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，即时取等号，由于，所以，当时取等号，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，故选C7．（2024届安徽省六校教育争辩会高三上学期入学素养测试）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】C【解析】由已知，，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，无最小值(m范围为开区间).故选C8．（2024届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选B9．（2024届】黑龙江省哈尔滨市高三上学期开学测试）已知函数的最大值为1，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，冲突，所以实数的值为.故选A10．（2023届北京市育英学校高三6月统一练习）已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意知，，当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时；当时，同理可得；当时，设切线方程为，由得，设，两点两点坐标分别为，，则，，又由于圆相切，得，即，∴，由于当时，，∴，，∵，当且仅当时，，∴的最大值为2．故选B.11．（2023届贵州省贵阳市高三333高考备考诊断性联考）已知正实数分别满足，，，其中是自然常数，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，，，，又，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，即，，即；且，即，，即；综上所述：.故选A.12．（2023届江苏省无锡市辅仁高级中学高三高考前适应性练习）从古至今，中国人始终追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮丽有序，和谐庄重，衬托着蓝天白云，犹如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，所以关于对称，所以的根应成对消灭，又由于的方程恰有三个不同的实数根且，所以该方程的一个根是，得，且，所以，由得，当，即，即时，，①则，②由①②得，解得，所以；当，即，即时，，③，④由③④得，即，解得，此时，不合题意，舍去，综上，.故选B.二、多选题13．（2024届云南省昆明市云南高三上学期期初）若、、，则下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若，则C．若且，则D．【答案】BD【解析】对于A选项，若且，取，，则，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，若且，则，则，故，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，故，D对.故选BD.14．（2023届吉林省白山市高三一模）若正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由于，，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故A错误；由于，所以，则，同理可得，由于，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确；由于，所以，所以，所以，则C错误；由于，当且仅当时，等号成立，所以D正确．故选BD15．（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期其次次质量检测）若正实数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为4 B．的最大值为4C．的最小值为 D．的最大值为8【答案】ABC【解析】由题意，正实数满足，对于A中，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以C正确；对于D中，由，由于，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值，所以D错误.故选ABC.16．（2024届湖南省株洲市其次中学教育集团高三上学期开学联考）在中，内角，，的对边分别为，，，，边上的中线，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．的最大值为30°【答案】ACD【解析】由于，故A正确；由于，所以，即，所以，故B错误；由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，所以，解得，由于，所以，故C正确；对于D，（当且仅当时等号成立），由于，所以，所以，故D正确.故选ACD.17．（2024届贵州省贵阳市第一中学高三上学期开学考试）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意，即，而在定义域上递增，故，所以，即，A对，C错；由，，故零点，所以，B对；由，则，而，明显，则，故，综上，，D对.故选ABD三、填空题18．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知实数满足，则的最大值为．【答案】【解析】由，可知，因此，所以，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时，取得最大值．19．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知实数a，b满足，则的最小值为【答案】【解析】由于，则，若，则，不符合题意，若，则，，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.20．（2024届广东省佛山市南海区高三上学期8月摸底）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．【答案】.【解析】设圆锥的内切球的半径为，可得，解得，再设圆锥的底面圆的半径为，高为，如图所示，由，可得，即，解得，所以圆锥的体积，当且仅当时，即时，等号成立，此时，母线长为，此时圆锥的表面积为.

21．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是.【答