2024年无为中学自主招生数学试题

自主招生数學试題一．选择題（共6小題）1．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三個，则k的值為（）A．0B．1C．2D．32．假如|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）A．2aB．2xC．﹣2aD．﹣2x3．a，b，c為有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A．1999B．C．D．不能确定4．（?莒南县一模）如图，两個反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设點P在C1上，PC⊥x轴于點C，交C2于點A，PD⊥y轴于點D，交C2于點B，则四边形PAOB的面积為（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1?k2D．5．如图，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的顶點坐標分别為A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一點P（0，2）绕點A旋转180°得點P1，點P1绕點B旋转180°得點P2，點P2绕點C旋转180°得點P3，點P3绕點D旋转180°得點P4，…，反复操作依次得到點P1，P2，…，则點P的坐標是（）A．（，2）B．（，﹣2）C．（，﹣2）D．（0，2）6．如图，在半径為1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值為（）A．B．C．D．二．填空題（共7小題）7．三個数a、b、c的积為负数，和為正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是_________．8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中點，AE与BD相交于F點，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是_________．9．（?沐川县二模）如图，點A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，點B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1為阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别為1、4，则△A1A2B1的面积為_________；面积不不小于的阴影三角形共有_________個．10．你見過像，，…這样的根式吗？這一类根式叫做复合二次根式．有某些复合二次根式可以化简，如．請用上述措施化简：=_________．11．不等式组有六個整数解，则a的取值范围為_________．12．小明是一位刻苦學习、勤于思索、勇于创新的同學，一天他在解方程x2=﹣1時，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内無解，假如存在一种数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，從而x=±i是方程x2=﹣1的两個根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i=_________，②方程x2﹣2x+2=0的两根為

_________（根用i表达）13．（?曰照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于點C，B為线段AC的中點，過點B作BM⊥x轴于M，连結OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值為_________．三．解答題（共7小題）14．在“學科能力”展示活動中，某区教委决定在甲、乙两校举行“學科能力”比赛，為此甲、乙两學校都选派相似人数的选手参与，比赛結束後，发現每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分這四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．現根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整记录图：（1）甲校选手所得分数的中位数是_________，乙校选手所得分数的众数是_________；（2）請补全条形记录图；（3）比赛後，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手進行培训，培训後，從中随机选用两位选手参与市裏的决赛，請用列表法或树状图的措施，求所选两位选手来自同一學校的概率．15．（?兰州）若x1、x2是有关一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两個根，则方程的两個根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称為一元二次方程根与系数关系定理．假如设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两個交點為A（x1，0），B（x2，0）．运用根与系数关系定理可以得到A、B两個交點间的距离為：AB=|x1﹣x2|====；参照以上定理和結论，解答下列問題：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两個交點A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶點為C，显然△ABC為等腰三角形．（1）當△ABC為直角三角形時，求b2﹣4ac的值；（2）當△ABC為等边三角形時，求b2﹣4ac的值．16．（?威海）如图，在平面直角坐標系中，直线y=x+与直线y=x交于點A，點B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c過點A，O，B，顶點為點E．（1）求點A，B的坐標；（2）求抛物线的函数体現式及顶點E的坐標；（3）设直线y=x与抛物线的對称轴交于點C，直线BC交抛物线于點D，過點E作FE∥x轴，交直线AB于點F，连接OD，CF，CF交x轴于點M．试判断OD与CF与否平行，并阐明理由．17．（?内江）假如方程x2+px+q=0的两個根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，請根据以上結论，处理下列問題：（1）已知有关x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一种一元二次方程，使它的两個根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．自主招生数學试題参照答案与试題解析一．选择題（共6小題）1．（?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三個，则k的值為（）A．0B．1C．2D．3考點：二次函数的图象．专題：压轴題；数形結合．分析：首先在坐標系中画出已知函数的图象，运用数形結合的措施即可找到使y=k成立的x值恰好有三個的k值．解答：解：函数的图象如图：根据图象懂得當y=3時，對应成立的x有恰好有三個，∴k=3．故选D．點评：此題重要考察了运用二次函数的图象处理交點問題，解題的关键是把解方程的問題转换為根据函数图象找交點的問題．2．假如|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）A．2aB．2xC．﹣2aD．﹣2x考點：二次根式的性质与化简；绝對值；完全平方公式；含绝對值符号的一元一次方程．专題：计算題．分析：由绝對值的定义可知，一种数的绝對值要么等于它自身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|進行化简，最终去括号、合并同类项即可得出成果．解答：解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，∴|x|=x且x≤a．∴a﹣x＞0，a+x＞0．∴=﹣=|a﹣x|﹣|a+x|=a﹣x﹣（a+x）=a﹣x﹣a﹣x=﹣2x．故选D．點评：本題考察了绝對值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加減运算，难度中等，其中根据绝對值的定义，結合已知条件得出|x|=x且x≤a是解題的关键．3．a，b，c為有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A．1999B．C．D．不能确定考點：二次根式的性质与化简．分析：将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．解答：解：∵==，∴a+b+c=，∴a=0，b=1，c=1，2a+999b+1001c=．故选B．點评：本題考察了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解題的关键．4．（?莒南县一模）如图，两個反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设點P在C1上，PC⊥x轴于點C，交C2于點A，PD⊥y轴于點D，交C2于點B，则四边形PAOB的面积為（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1?k2D．考點：反比例函数系数k的几何意义．专題：压轴題；数形結合．分析：四边形PAOB的面积為矩形OCPD的面积減去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积為k1﹣k2．解答：解：根据題意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积為k1﹣k2．故选B．點评：重要考察了反比例函数中k的几何意义，即過双曲线上任意一點引x轴、y轴垂线，所得矩形面积為|k|，是常常考察的一种知识點．5．（?南開区一模）如图，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的顶點坐標分别為A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一點P（0，2）绕點A旋转180°得點P1，點P1绕點B旋转180°得點P2，點P2绕點C旋转180°得點P3，點P3绕點D旋转180°得點P4，…，反复操作依次得到點P1，P2，…，则點P的坐標是（）A．（，2）B．（，﹣2）C．（，﹣2）D．（0，2）考點：坐標与图形变化-旋转；等腰梯形的性质．专題：规律型．分析：由P、A两點坐標可知，點P绕點A旋转180°得點P1，即為直线PA与x轴的交點，依此类推，點P2為直线P1B与y轴的交點，由此发現一般规律．解答：解：由已知可以得到，點P1，P2的坐標分别為（2，0），（2，﹣2）．记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据對称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．令P6（a6，b2），同样可以求得，點P10的坐標為（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于=4×502+2，因此點P的坐標為（，﹣2）．故选B．點评：本題考察了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，點的坐標的特殊性，寻找一般规律．6．（?荆门）如图，在半径為1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值為（）A．B．C．D．考點：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．专題：压轴題．分析：首先過點A作AD⊥OB于點D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的長，继而可得BD的長，然後由勾股定理求得AB的長，继而可求得sinC的值．解答：解：過點A作AD⊥OB于點D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA?cos45°=×1=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B．點评：此題考察了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此題难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形結合思想的应用．二．填空題（共7小題）7．三個数a、b、c的积為负数，和為正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是1．考點：代数式求值；绝對值．专題：计算題．分析：由三個数a、b、c的积為负数，可知三数中只有一种是负数，或三個都是负数；又三数的和為正，故a、b、c中只有一种是负数，根据對称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．解答：解：∵abc＜0，∴a、b、c中只有一种是负数，或三個都是负数；又∵a+b+c＞0，∴a、b、c中只有一种是负数．不妨设a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0，當x=0時，ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1．故本題答案為1．點评：观测代数式，互换a、b、c的位置，我們发現代数式不变化，這样的代数式成為轮换式，我們不用對a、b、c再讨论．有愛好的同學可以在課下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中點，AE与BD相交于F點，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．考點：面积及等积变换．分析：先设△BEF的面积是x，由于E是BC中點，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中點可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，進而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，進而可求正方形的面积．解答：解：如右图，设△BEF的面积是x，∵E是BC中點，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2（1+x），∴S正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF：S△DAF=（）2，∵E是BC中點，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=，∴S正方形=4（1+x）=4（1+）=6．點评：本題考察了面积以及等积变换、相似三角形的鉴定和性质，解題的关键是找出正方形面积的两种表达方式．9．（?沐川县二模）如图，點A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，點B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1為阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别為1、4，则△A1A2B1的面积為；面积不不小于的阴影三角形共有6個．考點：相似三角形的鉴定与性质；平行线的性质；三角形的面积．分析：根据面积比等于相似比的平方，可得出=，=，再由平行线的性质可得出==，==，從而可推出相邻两個阴影部分的相似比為1：2，面积比為1：4，先运用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一种及第二個阴影部分的面积，再由相似比為1：2可求出面积不不小于的阴影部分的個数．解答：解：由題意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别為1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得不不小于的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6個．故答案是：；6．點评：此題考察了相似三角形的鉴定与性质及平行线的性质，解答本題的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观测图形，得出规律．10．你見過像，，…這样的根式吗？這一类根式叫做复合二次根式．有某些复合二次根式可以化简，如．請用上述措施化简：=．考點：二次根式的性质与化简．分析：由于5=2+3=（）2+（）2，且2=2××，由此把原式改為完全平方式，深入因式分解，化简得出答案即可．解答：解：===+．故答案為：+．點评：此題考察活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，深入运用公式因式分解化简，注意在整数分解時参照背面的二次根号裏面的数值．11．不等式组有六個整数解，则a的取值范围為＜a≤．考點：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组的解集，再根据整数解有六個得到有关a的不等式组，然後解不等式组即可求解．解答：解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a．由題意，知此不等式组的六個整数解為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤．故答案為＜a≤．點评：本題考察了一元一次不等式组的解法及整数解确实定．求不等式组的解集，应遵照如下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12．小明是一位刻苦學习、勤于思索、勇于创新的同學，一天他在解方程x2=﹣1時，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内無解，假如存在一种数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，從而x=±i是方程x2=﹣1的两個根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i=﹣i．，②方程x2﹣2x+2=0的两根為

1±i．（根用i表达）考點：一元二次方程的应用．专題：新定义．分析：（1）根据題中规律可知i1=1，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，可以看出4個一次循环，可以此求解．（2）把方程x2﹣2x+2=0变形為（x﹣1）2=﹣1，根据題目规律和平方根的定义可求解．解答：解：（1）i=i502×4+3=﹣i．（2）x2﹣2x+2=0（x﹣1）2=﹣1x﹣1=±ix=1+i或x=1﹣i．故答案為：﹣i；1±i．點评：本題考察了用配措施解一元二次方程以及找出題目中的规律，從而求得解．13．（?曰照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于點C，B為线段AC的中點，過點B作BM⊥x轴于M，连結OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值為8．考點：反比例函数与一次函数的交點問題．专題：压轴題．分析：過A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐標是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC的面积求出ab=8，把B的坐標代入即可求出答案．解答：解：過A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B為AC中點，∴MN=MC，∵OM=2MC，∴ON=MN=CM，设A的坐標是（a，b），则B（2a，b），∵S△OAC=12．∴?3a?b=12，∴ab=8，∵B在y=上，∴k=2a?b=ab=8，故答案為：8．點评：本題考察了一次函数和反比例函数的交點問題和三角形的面积的应用，重要考察學生的计算能力．三．解答題（共7小題）14．在“學科能力”展示活動中，某区教委决定在甲、乙两校举行“學科能力”比赛，為此甲、乙两學校都选派相似人数的选手参与，比赛結束後，发現每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分這四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．現根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整记录图：（1）甲校选手所得分数的中位数是90分，乙校选手所得分数的众数是80分；（2）請补全条形记录图；（3）比赛後，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手進行培训，培训後，從中随机选用两位选手参与市裏的决赛，請用列表法或树状图的措施，求所选两位选手来自同一學校的概率．考點：条形记录图；扇形记录图；中位数；众数；列表法与树状图法．分析：（1）先设甲學校學生获得100分的人数為x，根据甲、乙两學校参与数學竞赛的學生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；（2）列出树状图後，求解即可得出所选两位选手来自同一學校的概率．解答：解：（1）先设甲學校學生获得100分的人数為x，由題意得，x=（x+2+3+5）×，解得：x=2，即获得100分的人数有2人．故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．（2）则两位选手来自同一學校的概率==．點评：本題考察了条形记录图及扇形记录图的知识，规定同學們有一定的讀图能力，能在条形记录图及扇形记录图中得到解題需要用到的信息，有一定难度．15．（?兰州）若x1、x2是有关一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两個根，则方程的两個根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称為一元二次方程根与系数关系定理．假如设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两個交點為A（x1，0），B（x2，0）．运用根与系数关系定理可以得到A、B两個交點间的距离為：AB=|x1﹣x2|====；参照以上定理和結论，解答下列問題：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两個交點A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶點為C，显然△ABC為等腰三角形．（1）當△ABC為直角三角形時，求b2﹣4ac的值；（2）當△ABC為等边三角形時，求b2﹣4ac的值．考點：抛物线与x轴的交點；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．专題：压轴題．分析：（1）當△ABC為直角三角形時，由于AC=BC，因此△ABC為等腰直角三角形，過C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本題定理和結论，得到AB=，根据顶點坐標公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值；（2）當△ABC為等边三角形時，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值．解答：解：（1）當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．∵抛物线与x轴有两個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac．∵a＞0，∴AB=，又∵CE=||=，∴，∴，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac=4；（2）當△ABC為等边三角形時，由（1）可知CE=，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac=12．點评：本題考察了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交點及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．16．（?威海）如图，在平面直角坐標系中，直线y=x+与直线y=x交于點A，點B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c過點A，O，B，顶點為點E．（1）求點A，B的坐標；（2）求抛物线的函数体現式及顶點E的坐標；（3）设直线y=x与抛物线的對称轴交于點C，直线BC交抛物线于點D，過點E作FE∥x轴，交直线AB于點F，连接OD，CF，CF交x轴于點M．试判断OD与CF与否平行，并阐明理由．考點：二次函数综合題．专題：压轴題．分析：（1）由直线y=x+与直线y=x交于點A，列出方程组，通過解该方程组即可求得點A的坐標；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式為y=﹣x，则，通過解该方程组来求點B的坐標即可；（2）把點A、B、O的坐標分别代入已知二次函数解析式，列出有关系数a、b、c的方程组，通過解方程组即可求得该抛物线的解析式；（3）如图，作DN⊥x轴于點N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．解答：解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于點A，得，解得，，∴點A的坐標是（3，3）．∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA，∴直线OB的解析式為y=﹣x．又∵點B在直线y=x+上，∴，解得，，∴點B的坐標是（﹣1，1）．综上所述，點A、B的坐標分别為（3，3），（﹣1，1）．（2）由（1）知，點A、B的坐標分别為（3，3），（﹣1，1）．∵抛物线y=ax2+bx+c過點A，O，B，∴，解得，，∴该抛物线的解析式為y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．∴顶點E的坐標是（，﹣）；（3）OD与CF平行．理由如下：由（2）知，抛物线的對称轴是x=．∵直线y=x与抛物线的對称轴交于點C，∴C（，）．设直线BC的体現式為y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得，解得，，∴直线BC的解析式為y=﹣x+．∵直线BC与抛物线交于點B、D，∴﹣x+=x2﹣x，解得，x1=，x2=﹣1．把x1=代入y=﹣x+，得y1=，∴點D的坐標是（，）．如图，作DN⊥x轴于點N．则tan∠DON==．∵FE∥x轴，點E的坐標為（，﹣）．∴點F的纵坐標是﹣．把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，∴點F的坐標是（﹣，﹣），∴EF=+=．∵CE=+=，∴tan∠CFE==，∴∠CFE=∠DON．又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE，∴∠CMN=∠DON，∴OD∥CF，即OD与CF平行．點评：本題考察了二次函数综合題．其中波及到的知识點有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交點問題，平行线的鉴定以及锐角三角函数的定义等知识點．此題难度较大．17．（?内江）假如方程x2+px+q=0的两個根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，請根据以上結论，处理下列問題：（1）已知有关x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一种一元二次方程，使它的两個根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．考點：根与系数的关系；根的鉴别式．专題：压轴題．分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两個根分别是x1，x2，得出+=﹣，?=，再根据這個一元二次方程的两個根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4?≥0，即可求出c的最小值．解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两個根分别是x1，x2，则：+==﹣，?==，若一种一元二次方程的两個根分别是已知方程两根的倒数，则這個一元二次方程是：x2+x+=0；（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，當a≠b時，a+b=15，ab=﹣5，====﹣47．當A=B時，原式=2；（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴c2﹣4?≥0，c2﹣≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．點评：本題考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相結合解題是一种常常使用的解題措施．18．（?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一點，以O為圆心的半圆与AB边相切于點D，与AC、BC边分别交于點E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．考點：切线的鉴定与性质；扇形面积的计算．专題：计算題；压轴題．分析：（1）由AB為圆O的切线，运用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，运用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，运用一组對边平行且相等的四边形為平行四边形，根据平行四边形的對边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD為平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE為圆的半径，∴AE為圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=，∴EC=AC﹣AE=﹣3=，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×﹣=3+﹣=．點评：此題考察了切线的鉴定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的鉴定与性质，以及平行线的性质，纯熟掌握切线的鉴定与性质是解本題的关键．19．（?益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），過點E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕點A逆時针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连結CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转過程中与否存在CE′∥AB？若存在，求出對应的旋转角α；若不存在，請阐明理由．考點：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的鉴定．专題：压轴題．分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出對应角之间的关系進而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明措施得出即可；（3）分别根据①當點E的像E′与點M重叠時，则四边形ABCM為等腰梯形，②當點E的像E′与點N重叠時，求出α即可．解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，因此，在△AEF绕點A逆時针旋转過程中，E點通過的途径（圆弧）与過點C且与AB平行的直线l交于M、N两點，如图：①當點E的像E′与點M重叠時，则四边形ABCM