第四章指数函数与对数函数（习题课对数函数及其性质的应用）课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数习题课对数函数及其性质的应用人教A版

数学必修第一册重难探究·能力素养速提升探究点一解对数不等式【例1】

(1)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为

.规律方法对数不等式的三种考查类型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.探究点二与对数函数有关的值域或最值问题【例2】

(1)函数f(x)=log2(x2-x),x∈[2,5]的值域为(

)A.[1,2+log25] B.[1,2]C.[2,log210] D.[2,1+log25]A解析

令g(x)=x2-x,x∈[2,5],则g(x)在[2,5]上单调递增,又g(2)=2,g(5)=20,所以g(x)∈[2,20].又y=log2x在[2,20]上单调递增,所以f(x)∈[log22,log220],即f(x)∈[1,2+log25].故选A.(2)[2024安徽合肥高一期中]函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为

.

规律方法与对数函数有关的值域或最值问题的处理方法(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.变式训练2求下列函数的值域:(1)y=log2(x2+4);解

y=log2(x2+4)的定义域为R.∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).探究点三对数型复合函数的单调性问题解

设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x-1)2-4在(3,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.解

由已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,设t=x2+ax-a-1,其图象为开口向上的抛物线,故实数a的取值范围为(-3,+∞).规律方法对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.变式训练3若函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(t,t+1)上单调,则实数t的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[2,4] B.(-1,1]∪[2,4)C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[5,+∞)D解析

由题意可得,x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).令m(x)=x2-4x-5,则m(x)在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,又函数y=lg

x在其定义域内单调递增,所以要使函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(t,t+1)上单调,则t+1≤-1或t≥5,解得t≤-2或t≥5,则实数t的取值范围是(-∞,-2]∪[5,+∞).故选D.探究点四对数函数的综合应用【例4】

[人教B版教材习题]已知函数f(x)=log2(1+x)+log2(1-x).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性;(2)f(x)为偶函数,理由如下:∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(-x)=log2(1-x)+log2(1+x)=f(x),∴f(x)为偶函数.规律方法

在研究对数函数问题时尤其要注意先求其定义域,常考察奇偶性、单调性、值域等问题.A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数A学以致用·随堂检测促达标12345A.(3,5] B.[-3,5]C.[-5,3) D.[-5,-3]C解析

要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.12345A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)D解析

令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),123453.若logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,则(

)A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2B解析

由于logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,则a>1.对数函数y=logax为增函数,则logab>logaa=1,所以b>a>1.故选B.12345AA.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]123455.已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x