2024年中考数学复习：分式、分式方程及其应用（原卷版）

分式、分式方程及其应用

4t命题趋势

.

分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。浙江中考中，

分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城

市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式

方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。

但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！

心知识导图

■

基讹概念分式的判断不等要化简

分式概念及具有意义的条件分式有意义的条件分母

分式的值为0分子=0十分母W0

分子分母因式分解

能约分的先约分

同分母的分式相加减-----分母不变，分子相加减，最后结果要最简

异分母的分式相加减-----先通分，再接同分母M温相加减

同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程

解出整式方程

代入原方程糜

分式方程有增根与俎方程无解的情况是不一样的

亩、设、列、解、验、答

0t重点考向

一.

考向一、分式有意义的条件

考向二、分式的运算法则

考向三、分式方程的解法

考向四、分式方程的应用

考向一：分式有意义的条件

1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有分母,那么式子J叫做分式，分式3中A

叫做分子，B叫做分母。

最简分式：分子分母中不含有公因式的分式

2,分式有意义的条件

AA

①分式1有意义时满足：BwO②分式[无意义时满足：B=0

3.分式值=0需满足的条件

A（A=Q

分式3值为0时满足：》八

B[8w0

AA

若4>o,则48同号；若4<0,则4B异号

BB

【易错警示】

1.分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；

2.分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0,否则分式无意义；

AA

3.若一>0,贝i」A、B同号；若一v0,贝4A、B异号。

BB

1.下列四个式子：2,«+x,Li,其中分式的个数有（)

a32-n

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若分式，■无意义，则x的取值范围是（）

2x-l

d-x#"!

2,

3.若分式。鱼的值为零，则x的值为（）

x+2

A.2或-2B.2C.-2D.1

4.已知蚂=3,则吧1的值为（）

n2n

A.-AB.-AC.AD.A

2323

考向二：分式的运算法则

1.分式的基本性质：

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式分式的值不变。

acacacadad/甘

即Rn:一・一=-=—（其中6、c、d均wO）

bdbdbdbcbe

2.分式的运算法则:

分式的乘除法即利用分式的基本性质计算

把分子分母分别乘方即（力、1

分式的乘方

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减；

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加

分式的加减法则

减；a+b_a+ba+b_ad+bc

ccccdcd

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面

分式的混合运算法则

的，能约分的先约分

■J

yMg

「方德技巧1

分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数尽可能大,

1.下列各式从左到右的变形中，正确的是（）

09299

x2+y_x+yRyyca+b_y-bD-a+b_a+b

x2y2-^7-二卞.a-b=（a/）2aa

2.若分式史上中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）

xy

A.不变B,是原来的3倍C.是原来的工D.是原来的工

36

3.下列各式中，属于最简分式的是（）

A.B.2c(x+y)(x-y)D.至

4xxy(x+y)2ab

4.下列各式中，计算结果正确的有（）

(1).旦=A(2)a+6xL=a(3)-----：——-——=

23xx22

xba-la+aa-1

(4)8a+(_3a.)=_603b(5)A_+2=3(6)°。2a+b=2a+b

4b2ccc0.7a-b7a-b

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.有甲，乙两块边长为a米（a>8）的正方形试验田.负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如

图）:沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一

组邻边在试验田内均修了1米宽的小路.杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收

获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确

A.甲试验田的单位面积产量高B.乙试验田的单位面积产量高

C.两块试验田的单位面积产量一样D,无法判断哪块试验田的单位面积产量高

6.化简工+T^的结果是.

aa-a

12-

7.先化简，再求值：（」—-I）・为二斗•,然后从-3,-2,0,2,3中选一个合适

x+3X2+6X+9

的数代人求值.

考向三：分式方程的解法

1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程

2.分式方程的解法步骤：

①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程

②解出对应的整式方程

③验根

3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值;

方徐枝巧

☆:分式方程会无解的几种情况

①解出的x的值是增根，须舍去，无解

②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解

③同时满足①和②，无解

☆：求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：

①让最简公分母为0确定增根；

②去分母，将分式方程转化为整式方程；

③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）

④解含参数字母的方程的解。

1.分式方程旦」的解是（）

x-4

A.x=-4B.x=4C.x=7D.x=3

2.对于实数a,6定义一种运算“※”，规定。※6==一,如1X3==一=」,则方程x※（-2）=」

a-b21-328x-4x

的解是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

22

3.用换元法解分式方程上2L-————+1=0,如果设七旦那么原方程化为关于y的整式方程

x3（X2+1）x

是（）

A.3）^+3y-1=0B.3j2-3j-1=0C.3y2-y+\-0D.3j2-y-1=0

4.若关于x的方程且__叱Lj增根，实数〃?的值为_____.

x+1x2+xX

5.解分式方程：

(1)2=3；(2)x+14

\-x2

2x+lx-lX-1

6.关于x的分式方程，-+mx3-----

x-2(x+1)(x-2)x+1

(1)若方程的增根为x=2,求加的值;

(2)若方程有增根，求小的值;

(3)若方程无解，求小的值.

考向四：分式方程的应用

列分式方程解应用题的一般步骤：

①审，②设，③列，④解，⑤验，⑥答

其中，检验这一步必须有！

1.学校需采购部分课桌，现有48两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家的优惠30元.若该校

花费1800元采购款在A商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在B商家购买课桌的数量一样多,则

A商家每张课桌的售价为()

A.90元B.120元C.150元D.180元

2.喜迎党的二十大胜利召开，某校八年级全体师生前往栖霞市抗大爱国教育基地研学，活动当天，大家在

学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地.已知学校

到栖霞市抗大爱国教育基地的路程是150版?，2号车的平均速度是1号车平均速度的巨倍，求1号车从学

4

校到目的地所用的时间.

3.泰安市在2021年12月迎接全国文明城市复检工作中，全市人民积极参与，身穿红马甲的创城志愿者分

布在城乡的各个角落，为文明城市创建贡献自己的一份力量.幸福社区为了进一步美化小区环境，要在

小区内建造一座假山，需要租用车辆运送泥土.租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运

费4800元.已知甲、乙两车单独运完用土量，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少

200元.

（1）求甲、乙两车单独运完用土量各需运多少趟?

（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

也强训练

（2022•怀化）代数式多,12/一21支支中，属于分式的有（

1.~~9)

5元,X2+43Xx+2

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（2022•山西）化简」--6.的结果是（)

2

a-3a-9Q

1

A.B.a-3C.Q+3D.1

a+3a-3

22

;m

3.(九洛南)若桃-〃IWI什粉共m-n•2的侑尾()

mmtn

A.-2B.2C.-4D.4

_2.

4.（2022•玉林）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是（)

x+2（X+2）2

①②③

»、，、，、

-1.10.1132.5

A.①B.②C.③D.①或②

5.（2022•南充）已知a>b>0,且02+庐=3"，则（工+工产+的值是（）

aba2b2

A.V5B.-V5c.恒D.-恒

55

6.（2022•通辽）若关于x的分式方程：2-上空=」-的解为正数，则左的取值范围为（）

x-22-x

A.k<2B.左<2且左WOC.k>-1D.左>-1且左X0

7.（2022•内蒙古）某班学生去距学校10g的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20加"后，其

余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为

xkmlh,下列方程正确的是（）

A.12-10=20B.12.-10=20c,10-12=1D.

x2x2xx2xx3x2x3

8.（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计

划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作.设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是

（）

A.毁-3°,=2。B.三°=1.2C..30一毁=20D.④。_毁=1.2

x1.2xxx-201.2xxx-20x

22

x

9.（2022•温州）计算：+xy+xy-x=

xyxy

10.（2022•永州）解分式方程2-，_=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是.

xx+1

11.（2022•荷泽）若/一2"15=0,则代数式（a-4a-4）•二一的值是.

aa-2

12.（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,a^）b=1+-L若（x+1）（g）x=生!L,则x

abx

的值为.

2

13.（2022•连云港）化简_1_+三一红.

x-1x2-l

2

14.（2022呐蒙古）先化简，再求值：（工-x-l）理二"+4_,其中》=3.

X-lX-1

15.（2022•锦州）先化简,再求值:竟长人聂其中XST

2

16.（2022•辽宁）先化简，再求值：（*-附1一，）+与生，其中x=6.

X2-11x+11X2.+x

2

17.（2022•营口）先化简，再求值:a+l-5+2a)+a+4a+4,其中0=加+|-(1)-i.

a+1a+12

a

18.（2022•荆州）先化简,再求值:.n-------其中。=(―)-1,b=-2022)

22223

a-ba+ba-2ab+b

0

19.（2022•宜昌）求代数式3x2y+_x_的值，其中工=2+，

x2-y2y2-x2

20.（2022•贺州）解方程：主三=_1--2.

x-44-x

21.（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱.某

商场根据市场需求，采购了48两种型号扫地机器人.已知8型每个进价比/型的2倍少400元.采

购相同数量的8两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元.请问4,8两种型号扫地机

器人每个进价分别为多少元？

22.（2022•百色）金鹰酒店有14。间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装

同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，

两队同时安装.问：

（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？

（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26。&每台空调每小时耗电1.5度；

据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时.若电费0.8元/度，

请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费少（单位：元）的范围？

23.（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.

燃油车新能源车

油箱容积：40升电池电量：60千瓦时

油价：9元/升电价：0.6元/千瓦时

续航里程：。千米续航里程：。千米

每千米行驶费用：叱且元每千米行驶费用：_____元

a

（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.

（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.

①分别求出这两款车的每千米行驶费用.

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元.问：每年行驶里程为多少千米时，买

新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

在真罩过关

1.（2022•凉山州）分式，意义的条件是（）

3+x

A.x=-3B.-3C.x关3D.xWO

2.（2022•德阳）下列计算正确的是（）

A.2=a2-b2B.{(_])2=]C.aa,—=aD.-^-ab2)3=-L3b6

26

3.（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理,用公式工=工+工（v于表示,其中/表示照相机镜头

fUV

的焦距，〃表示物体到镜头的距离，V表示胶片（像）到镜头的距离.已知7,V,则〃=（）

A.旦B.1ZL

f-vfv

4.（2022•营口）分式方程3=-的解是（

xx-2

A.x=2B.x=-6

5.（2022•毕节市）小明解分式方程-1的过程如下.

x+13x+3

解：去分母，得3=2x-（3x+3）.①

去括号，得3=2x-3x+3.②

移项、合并同类项，得-x=6.③

化系数为1,得x=-6.④

以上步骤中，开始出错的一步是（

A.①B.②C.③D.④

6.（2022•牡丹江）若关于x的方程蹩1L=3无解，则m的值为（）

x-l

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

7.（2022•绥化）有一个容积为247的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐

容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用

30分钟.设细油管的注油速度为每分钟x/,由题意列方程，正确的是（）

A.丝+丝=30B.生+生=24C,毁+毁=24D.丝+丝=30

x4xx4xx2xx2x

8.（2022•湖北）若分式旦有意义，则x的取值范围是.

X-1

9.（2022•广西）当》=时，分式上巳的值为零.

x+2

10.（2022•湖州）当a=1时，分式史工的值是.

a

11.（2022•内江）对于非零实数a,6规定通什工-工若（2x-1）3=1,则x的值为

ab

12.（2022•常德）方程Z+—」——=_§_的解为________.

xx（x-2）2x

13.（2022•张家界）有一组数据：m=——2——,g=—-——,az=——Z——•••,an=---记--------------------

1X2X32X3X43X4X5n(n+1)(n+2)

Sn=Ql+〃2+a3H---卜a几,贝!JS12=.

14.（2022•黄石）已知关于大的方程■!+_!_=,x+a的解为负数,则。的取值范围是____________.

xx+1X（x+1）

15.（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间

每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天.设甲车间每天加工x

件产品，根据题意可列方程为.

16.（2022•衢州）（1）因式分解：a2-1.

（2）化简：山」+」_.

a2-la+1

17.（2022•哈尔滨）先化简，再求代数式（_J—--在—）的值，其中x=2cos45。+1.

x-lx-2x+lx-l

3

（•娄底）先化简，再求值：（一虹）

18.2022x+2+二x其中X是满足条件xW2的合适的非负整数.

x-2x^-4x+4

2

19.（2022•黄石）先化简，再求值：（1+上_）+曳、远+9、从一3,-1,2中选择合适的a的值代人求直

a+1a+1

20.（2022•西宁）解方程：=0.

x2+工xX2-X

21.（2022•青海）解方程：1=-^——.

x-2x-4x+4

22.（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学

校.实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样

多的篮球，每个篮球的原价是多少元？

23.（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一

段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%,按这样的进度可以比原计划提前

10天完成任务.

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超

过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

24.（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合

实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开

展种植活动.据了解，市场上每捆/种菜苗的价格是菜苗基地的$倍，用300元在市场上购买的/种菜

4

苗比在菜苗基地购买的少3捆.

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

（2）菜苗基地每捆3种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买/,8两种菜苗共100捆，且/

种菜苗的捆数不超过3种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对43两种菜苗均提供九折优惠.求

本次购买最少花费多少钱.

在模拟检测

1.（2022•宁波模拟）使分式互有意义的字母x的取值范围是（）

x-4

A.x0OB.x03C.x04D.x声3且xW4

2.（2022•任城区校级二模）当x为任意实数时，下列分式有意义的是（）

A.包B.上C.-2_D.*

22

Xx-1x+1x+l

3.（2022•顺平县二模）已知分式a计七+b（£f）有意义且值为零（即dc均为正实数），若以a,b,

a-c

。的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.（2022•蓝山县二模）如果分式且中的x,y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（)

x+y

A.不变B.缩小为原来的工C.扩大为原来的2倍D.不确定

2

5.（2022•张店区二模）下列各式中，化简正确的是（）

x-3_1

y+ay2x(x-3)2x

6.（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是（）

a2,22c2

A.典B."C.x+丫D.X-9y

2

gxy-xx+yx+3y

2+4X+4F小区的结果是（

7.（2022•天津二模）计算X)

X2-4x-2

A.-1B.1C.D.上

Xx+2x-2x+2

8.（2022•丰泽区校级模拟）-5°的相反数是（）

A.-5B.5C.-1D.1

9.（2022•玄武区二模）计算«•(—)一2的结果是（）

a

A.1B.C.a2D.於

a

10.(2022•安徽模拟)已知X-y=2xy(x*0),则5x-5y-4xy的值为()

x-y

A.-AB.-3C.-1D.3

33

2

11.（2022•景县校级模拟）关于式子立沁下列说法正确的是（）

x2-lx-1

A.当x=l时，其值为2B.当x=-l时，其值为0

C.当-l<x<0时，其值为正数D.当时，其值为正数

21

12.（2022•泗水县三模）计算+（二一+1）的结果是（）

a2-la-1

A.-^―B._A_C.-2-D.-L-

a+1a-la-la+1

2

13.（2022•石家庄三模）若分式—0^（x卉0）的运算结果为工，则在处的运算符号（）

x-1x-1

A.只能是“小"B,可以是飞”或

C.不能是D.可以是“x”或“+”

14.（2022•永嘉县三模）解方程。二1=5,以下去分母正确的是（）

x-22-x

A.x2-3x-%2-3=5B.x2-3x-x2+3=5

C.，-3x-/-3=5（x-2）D.x2-3x-x2+3=5（x-2）

15.（2022•牡丹江二模）若关于x的分式方程包+1=加无解，则比的值是（）

x-l

A.-1B.1