北师大版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷

北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》单元测试卷一、选择题（共10题，共30分）1．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（）A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或50°2．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝6cm，且△ABD的周长为16cm，则BC的长为（）A．8cm B．10cm C．14cm D．22cm3．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝14，则△ABD的面积是（）A．14 B．28 C．42 D．565．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠BAC的度数为（）A．75° B．70° C．65° D．35°6．（3分）如图，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是（）A．在∠DBC的平分线上 B．在∠BCE的平分线上 C．在∠BAC的平分线上 D．在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上7．（3分）满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是60°且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形8．（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm9．（3分）如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA＝CQ，AB＝1时，DE的长（）A． B． C． D．不能确定10．（3分）如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（）A．40° B．45° C．50° D．55°二、填空题11．（3分）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是．12．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC中等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有个．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高线，E为AC上一点，且有AE＝AD．已知∠EDC＝12°，则∠B＝．14．（3分）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若DE＝2，BC＝7，S△ABC＝12，则AB的长为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为．16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．三、解答题（共7题，共52分）17．（6分）如图所示，已知BD＝CD，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的角平分线上．18．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点D，B，C，E在一条直线上，∠DAE＝120°，已知BD＝4，DE＝19，求等边三角形的边长．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC，BC分别交于点D、E，连接AE．（1）∠ADE的大小等于（度）（2）当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．20．（6分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，AD⊥CD于点D，AE⊥BE于点E，BE，CD交于点O．求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）OD＝OE．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B出发．（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？（2）填空：出发秒后，△BEF为直角三角形？22．（10分）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．23．（10分）如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE．（1）如图①，当点D在AB边上时，求证：AE∥BC；（2）如图②，当点D在BA边的延长线上时，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？说明你的理由．

参考答案与试题解析一、选择题（共10题，共30分）1．【解答】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；∴它的顶角的度数为：80°或20°．故选：C．2．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC．∵AB＝6cm，△ABD的周长为16cm，∴BC＝16﹣6＝10cm，故选：B．3．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．4．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，由作法得AP平分∠BAC，∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4，∴S△ABD＝×14×4＝28．故选：B．5．【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝70°，∴∠ADB＝70°．∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣35°＝75°．故选：A．6．【解答】解：由角平分线的判定并结合已知可知：点P在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上．故选D．7．【解答】解：A、两个内角为60°，根据三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；B、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；C、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60°，有两边相等且一角为60°的三角形是等边三角形．故不符合题意；D、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意．故选：B．8．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．9．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，又∵PE⊥AF，∴AE＝EF＝AF；（等边三角形三线合一）∵PF∥CQ，∴∠PFD＝∠QCD，∠FPD＝∠Q；又∵PA＝PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DF＝CF；∴DE＝DF+FE＝（AF+FC）＝AC＝，故选：B．10．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50°同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠AOB＝40°，故选：A．二、填空题11．【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．故填50°或80°．12．【解答】解：如图，∵AB＝＝，∴①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故答案为5．13．【解答】解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠EDC＝12°，∴∠ADE＝∠AED＝78°，∴∠C＝66°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝66°，故答案为66°．14．【解答】解：过D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∵BC＝7，S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝12，∴+＝12，∴＝12，解得：AB＝5，故答案为：5．15．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，CA＝6cm，∴AB＝＝10（cm），∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，设OE＝OF＝OD＝x，∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴×6×8＝OF×10+OE×6+OD×8，∴5x+3x+4x＝24，∴x＝2，∴点O到AB的距离等于2cm．故答案为：2cm．16．【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴DF+DC＝AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH＝120，∴AH＝12，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，∵BF＝3FC，∴CF＝FH＝5，∴AF＝＝＝13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5＝18；故答案为18．三、解答题（共7题，共52分）17．【解答】证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．18．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠D+∠DAB＝60°，∠E+∠CAE＝60°，∵∠DAE＝120°，∴∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠D＝∠CAE，∠E＝∠DAB，∴△DAB∽△AEC，∴DB：AC＝AB：CE．∵AB＝AC＝BC，DB＝4，∴AB2＝4CE，∵BC+CE＝BE，BD+BE＝DE，DE＝19，BD＝4，∴BC+CE＝15，∵AB2＝4CE，BC+CE＝15，AB＝BC，∴AB＝6（舍去负值）．19．【解答】解：（1）利用作图得MN垂直平分AC，即DE⊥AC，AD＝CD，所以∠ADE＝90°；故答案为90；（2）∵MN垂直平分AC，∴AE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+EC+BE＝AB+BC＝3+4＝7．20．【解答】证明：（1）∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵∠DAC＝∠DAE+∠2，∠EAB＝∠EAD+∠1，∵∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠EAB，在△ADC与△AEB中，∴△ADC≌△AEB（AAS）；（2）连接AO，∵△ADC≌△AEB，∴AE＝AD，在Rt△ADO和Rt△AEO中，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴OD＝OE．21．【解答】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，则AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，∵∠B＝60°，∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形，∴30﹣2x＝4x，解得x＝5，即出发5秒后，△BEF为等边三角形；（2）设经过x秒，△BEF是直角三角形，①当∠BEF＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BFE＝30°，∴BE＝BF，即30﹣2x＝×4x，解得：x＝7.5；②当∠BFE＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE，即4x＝×（30﹣2x），解得：x＝3，综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形．故答案为：3或7.5．22．【解答】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝