中考数学一轮复习第四讲二次根式（解析版）

模块一数与式

第四讲二次根式

知识梳理夯实基础

知识点1:二次根式的相关概念

二次根式形如(a20)的式子。A/2,A/5,也

①被开方数不含分母

最简二次根式②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式246,J/+i,

③分母中不含二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同

同类二次根式-2V2和V18

的二次根式。

知识点2:二次根式的性质

性质16三0(。三0),二次根式双重非负性

性质2(&)=a()

性质3

1।[-a(a<0)

知识点3:二次根式的运算

二次根式乘法y[a-4b=yfab(Z?>0)

5=R(g0,b>0)

二次根式除法

JbVb

二次根式加减先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

注意：

1.有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及多项式的乘

法公式仍适用于二次根式的运算.

2.二次根式运算的结果一定要化为最简.

知识点4:二次根式的估值

用有理数估算二次根式的大致范围时，一般采用“相邻平方比较”法，即用两个相邻数的

平方与被开方数比较，若被开方数介于这两个相邻数的平方之间，则这个二次根式的值就在这

两个相邻数之间，估算的精确度可由相邻数的精确度来确定。

直击中考胜券在握

1.（2023・海南海口•九年级期中）若代数式@1有意义，。的取值范围是（）

a

A.a^OB.a>—2C.a>2D.且a#0

【答案】D

【分析】

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案即可.

【详解】

解：由题意得：a+2>0,且a0,

解得：2且awO,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为

0是解题的关键.

2.（2023•杭州中考）下列计算正确的是（）

A.7F=2B.｛（-2丫=-2C.亚=±2D.J（-2）2=±2

【答案】A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：底=石=2，故A正确，C错误；

j（-2）z=2,故8、£）错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

3.（2023•武威中考）下列运算正确的是（）

A.6+6=3B.4^5-45=4C.6义近=娓D.底—咫=4

【答案】C

【分析】

直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案.

【详解】

A/3+6=2石，故A错；

4书-小=3小,故B错;

A/3x5/2=A/6,C正确；

A/324-78=2,故Q错.

故选：C.

【点睛】

此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键.

4.（2023•河南辉县•九年级期中）下列计算正确的是（）

A.6.x币=屈B.屈=35C.舟6=回D.J（一5）2=-5

【答案】A

【分析】

由二次根式的乘法运算可判断4由二次根式的化简可判断8,D,由二次根式的加法运算可判断C,从而

可得答案.

【详解】

解：A/2x退＞=J2x3=5/6,故A符合题意；

同是最简二次根式，不能化简，故8不符合题意；

血+应=2五故C不符合题意；

必了=疗=5,故。不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算与加法运算，熟悉二次根式的化简与加法，乘法的运

算法则是解本题的关键.

5.（2023・上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若J（3X-2）2=2-3X,则x的取值范围是（）

2222

A.x—B.x>—C,x—D,x<—

3333

【答案】C

【分析】

由题意利用二次根式的性质病=同，进而去绝对值讨论即可得出X的取值范围.

【详解】

解：Sy]Ox-2）2=|3.r-2|=2-3x,

03x-2<O,

2

0x<-.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质"=问是解决问题的关键.

6.（2023•黑龙江•哈尔滨市萧红中学八年级阶段练习）下列计算中，正确的是（）

A.2出+2亚=5/B.（币+币）.M=M.M=10

C.（3+26）（3—26）=—3D.（缶+扬）（缶+6）=2a+6

【答案】C

【分析】

根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案.

【详解】

解：A、2班与2石不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；

B、（反币）赤=国+屈,此选项错误，不符合题意;

C、（3+26）（3-26）=9-12=-3,此选项正确，符合题意；

D、（V2a+-4bX>/2a+b）=2a2+-Jlab+-Jlba+b4b,此选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.

7.（2023•四川省隆昌市第一中学八年级期中）已知实数。满足条件|2011-4+勿-2012=a,那么

q-201F的值为（）

A.2010B.2011C.2012D.2013

【答案】C

【分析】

由题意可知小201220,可得。-2011+&-2012=。,移项后平方得小2012=20112,变形得小20112=2012.

【详解】

解：回&?-2012有意义,

加-201220,

0<7>2012,

02011-«<0,

0a—2Oll+A/G-2012=a,

El夜-2012=2011

加-2012=20112,

0a-2Oll2=2O12.

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式有意义条件，化简绝对值，代数式的值，掌握二次根式有意义条件得出血2012,化简绝

对值得出0-2012=20112是解题关键.

8.（2023・上海市徐汇中学八年级期中）下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.6和5^B.非和Jo.5C.J2ab和D.Ja-1和Ja+1.

【答案】C

【分析】

根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可.

【详解】

解：A、比=2后，故相和&不是同类二次根式；

B、屈=J|=手，故正和后不是同类二次根式;

c、后=可浮E,故血防和J亨是同类二次根式;

D、二I和，U不是同类二次根式；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的

被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.解题关键是掌握同类二次根式的概念、二次根式

的化简.

9.(2023•陕西高陵•八年级阶段练习)实数a，b在数轴上的位置如图所示，贝!]”.+1)2—,伍一1)2=

()

।।q、、&、»

-2-1012

A.d—bB.a—Z?+2C,Q+Z?D,Q+Z?+2

【答案】B

【分析】

先根据数轴上两点的位置确定〃+1和b-1的正负，再根据二次根式的性质化简计算即可.

【详解】

解：观察数轴可得，一1<1<0,1<&<2,

团a+l>0,h—1>0,

=<2+1-(£?-1)

=a+1-b-^-l

=。一〃+2

故选用

【点睛】

本题主要考查了结合数轴上点的位置化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

10.(2023•全国•九年级专题练习)实数a,匕在数轴上的位置如图所示，化简：

J(a+1)2+1a-Z?|+2J(1一/?)2一।a+b|的结果是()

-------£-------------

-1-------------0--------------1

A.2a-b+1B.a-2b+lC.-a+2b-1D.2a+b-1

【答案】C

【分析】

根据二次根式的定义先化简，再根据绝对值的意义进行计算即可.

【详解】

解：观察实数。，6在数轴上的位置可知：

«+1>0,a-/?<0,1-/?<0,

0J(a+1)2+\a-b\+2«_6)2_|a+b\

=|a+1\+\a-b\+2\l-b\-\a+b\

=a+l+/?-〃+2(Z?-1)-(a+b)

=a+l+b-a+2b-2-a-b

=-a+2b-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握绝对值的意义.

11.(泸州中考)已知三角形的三边长分别为a、b、c,求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，

古希腊的几何学家海伦(Heron,约公元50年)给出求其面积的海伦公式S=p(p-a1p-b^p-C),

其中p二a十。十，；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202-1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦

2

1,L2_2\12*4

九韶公式5=上］—a十。,若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是()

MI2J

43A/15D3A/15„3A/15八屈

A.----D.----C.-------

8422

【答案】B

【分析】

将三角形的三边长2,3,4代入题目中的秦九韶公式，，从而可以解答本题.

【详解】

2V2

团若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是：S=1

2V24

【点睛】

解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积.

12.（2023•贵州毕节•八年级期中）计算：（2+6）2。21（2-括）2020=.

【答案】2+73

【分析】

先把原式写成（2-6广°x（2+G广°x（2+@,然后再运用积的乘法法则的逆用和平方差公式运算即

可.

【详解】

解：（2+G）2。22⑵6）2020，

=（2一若广x（2+g广°x（2+g）

=［（2一@（2+@『°x（2+⑹

=12020X（2+^）

=2+5/3）

故答案为：2+0

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用积的乘方法则和平方差公式是解答本题的关键.

13.（2023•四川达州•中考真题）已知。，b满足等式/+6。+9+=0,贝!J/⑼/02。=

【答案】-3

【分析】

先将原式变形，求出。、b,再根据同底数塞的乘法、积的乘方的逆运算即可求解.

【详解】

解：由/+6。+9+71=0,变形得(a+3)2+卜;=0,

回a+3=0,6—=0,

3

C,1

回a=-3,b=—,

3

N2020O/x2020(x2020

回/⑼/。2。=(_3户2,&]=(-3)x(-3rx^j=(-3)xpxlj=-3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幕的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据

题意求出a、b的值，熟知同底数幕的乘法、积的乘方是解题关键.

14.(2023•全国•八年级单元测试)已知y=4％一4)2-x+5,当分别取1,2,3,......,2020时，所对应)

值的总和是.

【答案】2032

【分析】

先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得.

【详解】

y=J(X_4)2-x+5=|x-4|一尤+5

当x<4时，y=4-x-x+5=9-2x

当为24时，y=x-4-x+5=l

贝U所求的总和为(9-2xl)+(9-2x2)+(9-2x3)+l+l++1

=7+5+3+1x2017

=2032

故答案为：2032.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键.

15.(2023•山东蒙阴•八年级期末)对于任意不相等的两个实数a,b(a>b)定义一种新运算aM=

,如3团,那么1204=

【答案】四

【分析】

按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可.

【详解】

解：12幽=^^=平=/

V12-4V8

故答案为：O

【点睛】

此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键.

16.（2023•湖北沙洋•八年级阶段练习）把人「工中根号外因式适当变形后移至根号内得

Va

【答案】Q

【解析】

1

团——>0,

a

加<0,

故答案为：V-a.

17.（2023•北京•北大附中八年级期中）当*=—时，代数式G+1取最小值为一

【答案】21

【分析】

根据二次根式有意义的条件，可求出x的物质范围，根据二次根式的性质求解即可.

【详解】

解：Ex-2>0,

解得於2,

当x>2时，Jx-2>0,

05/7^2+1>1,

取=2,代数式7^工+1取最小值1,

故答案为：2,1.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质，关键是明确二次根式的被开方数越大，值越大.

J3

18.（2023•山西•九年级专题练习）计算厂的结果是__________.

V3+V12

【答案】|

【分析】

先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可.

【详解】

用厄

-A/3+2A/3

二五

一3抠

_£

=3,

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键.

19.（2023・河南•九年级专题练习）在函数y=^^+」一中，自变量x的取值范围是________.

，x+lx-5

【答案】xN3且x/5

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.

【详解】

x-3>0

根据题意得：<x+l>0,

x-5H0

解得：龙23且xw5.

故答案为：x23且XW5.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式

时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;（3）当函数表达式是

二次根式时，被开方数非负.

2020........

20.（2023•全国•九年级专题练习）］一,贝!Jm5—2m4—2020m3+nr-2m—2021的值是.

【答案】-1

【分析】

先根据二次根式的分母有理化可得根=7^1+1,从而可得（机-1）2=2021,再利用完全平方公式进行运算

求值即可得.

【详解】

20202020（72021+1）.____

由7〃=........-得:m=/,\?=J2021+1,

A/2021-I（72021-1）（72021+1）

则（偌-1）2=（＞/2021+1-1『=2021,

因止匕〃2$-2〃/_2020m3+m2-2m-2021,

=m5—+m3-2021加+历—2m+1—2022，

=m3（小—2机+1）—2021病+（疗_2772+1^—2022,

=m3（m-1）2-2021m3+（m-l）2-2022,

=202Im3-202Im3+2021-2022，

=—l,

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题关键.

21.（浙教版八年级下册第一章数的开方与二次根式综合练习题）用教材中的计算器进行计算，开机后依

次按下1QB,把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是.

【答案】7

【分析】

先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式：（9+3）-四;

接下来判断计算结果是否大于1,可得出(3-也)x(3+万)，由此计算即可.

【详解】

由题意知输入的值为32=9,

则输出的结果为(9+3)-72=3-72>1

(3-72M3+72)=9-2=7,

故答案为7.

【点睛】

本题考查计算器-基础知识，二次根式混合运算，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根

式的混合运算顺序和运算法则

22.(2023•四川省巴中中学八年级期中)计算：

(1)后+病+g用一瓦；

(2)后x6一4A+3我卜2行.

7

【答案】(])672+75；(2)-

【分析】

(1)先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先计算并化简括号内的，合并结果，再算除法.

【详解】

解：(1)A/32+V50+|A/45-718

=4A/2+5A/2+-X3^-3A/2

3

=4五+50+君-3后

=60+若；

(2)巫x出一4。+3加e2应

=3A/2-4X—+3X2A/2^2>/2

I2J

=(30-2忘+6后)+2立

=7忘:2忘

_7

-2

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式

的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

23.（2023•山东•枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1）［（-2）2一R十口i一口

（2）（逐一2炳x氏6心+|2一国

（3）风+6-&义屈+而

（4）而;&-Jx而+（6+1）（6一1）

A/5V3

【答案】（1）1;（2）-575-2；（3）4+#;（4）3.

【分析】

（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答

案;

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，先算乘法，再化简二次根式，去绝

对值，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;

（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答

案;

（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，先算乘除，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案.

【详解】

(2)(A/6-2A/15)XV3-6J1+|2-

__5

=A/6^3-2715x3-6x^-+75-2

=30-66-30+有-2

--575-2；

(3)A/484-73-J^X^+A/24

=J48+3-J；xl2+2A/6

=4-6+2"

=4+76;

(4)回J-屈+(6+1)(殍1)

，5v3

=,20+5+1—Jgxl2+3—l

=2+1—2+3—1

=3.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键.

24.(2023・河南•郑州枫杨外国语学校八年级期中)计算：

(1)回-(2一后+10』；

(2)(1-2V3)(1+2A/3)-(V3-1)2.

【答案】(1)875-9；(2)273-15.

【分析】

(1)根据二次根式的混合运算的法则计算即可；

(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可.

【详解】

解:⑴病-(2-府+10.

=2A/5-4+4>/5-5+275

=8A/5-9：

(2)(1-273)(1+2^)-(^-I)2

=1-12-3+2A/3-1

=26-15.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

25.（2023・河南舞钢•八年级期中）计算:

⑴岛-温+4二+2口

（2）（后-1）+百+（2应-1）百+（72-1）2.

【答案】（1）W:（2）一正+2痣一班+3.

106

【分析】

（1）先算乘法，化成最简二次根式，再算加减即可;

（2）先算乘除和运用完全平方公式计算，再合并.

【详解】

解:⑴岛一般+品卜2爪

=述-2友+、”+2x交

10V32

=^1.2,/2+1+72

10

_10-772

一♦

10

（2）（而一小+6+（2&-1）6+（a-1）2

=,24+3一』+3+2旧石-石+2-2®+l

=2A/2--+2A/6-A/3-2^+3

6

=一4+2«一者+3.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的法则进行解答.

26.（2011年汕头市九年级第一学期期末考试数学卷）矩形的两条边长分别是26+0和26-0,求该

矩形的面积和对角线的长.

【答案】解：面积5=（26+应）（2豆一应）=（26了一（应了=12-2=10

对角线长/=7(273+A/2)2+(2y/3-V2)2=J12+4百+2+12-4石+2=728=2近

27.（山东省邺城县2020—2021学年八年级上学期期中数学试题）已知“，b,。满足

|a-V8|+V^5+（c-V18）2=0.

（1）求“、b、C的值

（2）试问以。、b,。为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理

由.

【答案】⑴a=2近,6=5,c=30;⑵能，5+5行

【分析】

（1）根据非负数的性质可求出。、b、c的值；

（2）根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解.

【详解】

解：（1）由题意得：O-A/8=0,b—5=0,C-A/18=0,

解得：a=y/8=2>/2,b=5,。=炳=30.

（2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形

此时三角形的周长为a+Hc=2夜+5+3及=5+5夜.

【点睛】

本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算

术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.

28.（贵州省黔西南州兴义市鲁屯中学2018学年七年级下学期期中测试数学试卷）化简求值：

⑴已知。是的整数部分，&=3,求质M的平方根.

（2）已知：实数。，6在数轴上的位置如图所示，化简：｛+1）2+2也-1）2-2.

【答案】（1）±3；（2）2a+6-1.

【详解】

分析：（1）由于3<相<4,由此可得而的整数部分。的值；由于场=3,根据算术平方根的定义可求

b,再代入后计算，进一步求得平方根.

（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可.

详解：（1）03<V13<4,M=3.

13扬=3,回6=9,ElJab+54=j3x9+54=9,13Jab+54的平方根是±3；

(2)由数轴可得：-则a+l>0,b-1>0,a-b<0,则J(a+1)2+2

J(Z?-1)2~\a-b\

二〃+l+2(Z?-1)+(a-b)

=4+1+2。-2+〃-b

=2a+b-1.

点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理

数的近似值是解题的关键.

29.(2023•全国•九年级专题练习)已知a,〃是有理数，若匕=位上1土长4一4,求防的平方根.

(2—2

【答案】±2近

【分析】

a2-4>0

根据二次根式及分数的意义，可得：可求出。=-2,此时b=-4,即可得出答案.

a—2w0

【详解】

解:若要使6=近三士亚五一4有意义，

Q—2

a2-4>0

贝山一4,

a—2w0

解得。=-2,此时6=-4,

贝ijab的平方I艮+\[ab=土J-2x(-4)=±20.

【点睛】

本题考查二次根式的意义及平方根的求法，属于基础题型.

30.(河北省唐山市开平区2019年中考数学一模试卷)在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律

居=2岛后岛氏=^/I

(1)假设说思发现的规律是正确的，请你写出屋;=4日后面连续的两个等式;

(2)用字母表示思思发现的规律；

(3)请你给出这个结论的一般性的证明.

【答案】⑴见解析;(2)见解析;⑶见解析.

【分析】

(1)利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式;

(2)写出第个等式即可;

(3)根据二次根式的性质进行证明.

【详解】

解:

(3)(n>2的整数).

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二次

根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功

倍.

31.阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将而砺化简，若你能找到两个数，”和小使加+〃2=a且mn=4b,贝!Ja+2扬可变

为机2+n2+2m”，即变成(/«+«)2,从而使得&+2赤化简.

例如：05+276=3+2+276=(6)2+(应)2+2^=(石+0)2

回+=«布+6■)=A^+A/2

请你仿照上例将下列各式化简

⑴14+2百，⑵y]l-2y/10•

【答案】(1)1+A/3；(2)^/5-6.

【分析】

参照范例中的方法进行解答即可.

【详解】

解：(1)04+273=12+2A/3+(>/3)2=(1+^)2,

回"+2退力(1+后=1+73;

(2)EI7-2怖=(逐)2-20・点+(艰y=(