2024年高考数学二轮复习：平面向量 含解析

易错点11平面向量

易错分析

易错点1:向量的有关概念

⑴向量：既有大小又有方向的量称为向量.用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

的方向.向量适的大小称为向量的模（或大小），记作矗1.

⑵零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.

⑶单位向量：模等于L的向量称为单位向量.

⑷平行向量（共线向量）：如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常

规定零向量与任意向量平行.

⑸相等向量：大小相等、方向相同的向量.

⑹相反向量：大小相等、方向相反的向量.

易错点2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

⑴交换律：

a+b=b+a

求两个向量和的运a

加法三角形法则⑵结合律：

算

(a+b)+c=a±lb±_

a

平行四边形法则

减去一个向量相当;

减法于加上.这个向量的a-b=a+[-H)

相反向量三角形法则

（1）当R#0且a吴0时，Xa的模为X(|JLa)=()必)a；

[AM,而且aa的方向如下：(A+1a+

求实数人与向量a

数乘①当4>0时，与a的方向相同;(JLa；

的积的运算

②当儿<0时，与a的方向相反.1(a+b)=>a+

（2）当R=0或a=0时，Xa=0.Ab

易错点3.共线向量定理

如果存在实数A,使得6=4a（a关0）,则blLa.

易错点4.向量模的不等式

向量a,6的模与a+6的模之间满足不等式

1

易错点4.平面向量基本定理

⑴平面向量的基底

平面内不共线的两个向量a与方组成的集合W必常称为该平面上向量的一组基底，如果

c=xa+yb,则称xa+劝为c在基底｛a,下的分解式.

⑵平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(工

y),使得c=xa+功.

易错点5.平面向量的坐标

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量为，改，对于平面内的向量a,如果a=xei+

yez,则称(X力为向量a的坐标，记作a=(x,y).

易错点6.平面向量的坐标运算

⑴平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a,b满足a=(xi,%),b=(&,⑸，则a±方=(x,士和,为士彩),Aa=(A.Yi.

AKi)(AGR),ua±vb=(uxi±函UK士/)(u,rER).

⑵向量模的坐标计算公式

如果向量a=(x,y),则以=应上Z

⑶向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设力⑶，Xi),坎Xz,亥)，

贝!］油=(加一xi,彩一片),

IASI=\l(x?-xi)2+(彩.一八)上

易错点7.向量平行的坐标表示

设a=Ui,/J,b=(xi,J2),则all从＞用％=不反

易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(m,%),b=(xz,场)，9为向量a,6的夹角.

⑴数量积：a,b=lallZ>lcos0=不的+度彩.

(2)模：lai=\ja-a=3+近

(3)犬用，COSd--r--/-

IsllAI+Ji,

⑷两非零向量a_L6的充要条件：a­6=。0入1兹+九为=0.

(5)la-la昉1(当且仅当a〃方时等号成立)0国&+凡弱

2

错题纠正

1.在A48C中，点。满足质5=2方e，£为/。上一点，S.BE=mBA+nBC,m+An=},则

a=（）

3423

A-4B-iC-iD'I

【答案】D

UUD3ULID

【详解】因为而=2方乙所以比二万瓦），

___,___,___,___,3___,

贝！JBE=mBA+nBC=mBA+—nBD,

因为4E,。三点共线，

33

所以加+万“=1,所以

故选：D.

2.已知点48在单位圆上，AAOB=-TI,^OC=2OA+xOB（xeR）,贝”反「的最小值

是（）

A.2B.3C.5-2后D.4

【答案】A

【详解】

\OCf=（WA+xOBy=AOA+x-OB^+Ax\OA\-\OB\cosy=x2-2V2x

+4=（无一行了+2N2,因止匕I或2.

故选：A.

3.若向量］满足忖=1,⑹卜行，小伍+可，则々与］的夹角为（）

A—B.土C.史D,

4346

【答案】C

一/—一、八ci,b—1V2

【详解】由已知得〃•（〃+q=0,a-b=-l,c°se=RW=&=一

6田0,用，所以8=?.

故选：C.

4.已知平面向量用田满足|码=2/Z=4,则后在2方向上的投影向量为（）

3

1ir一

A.—ciB.—bC.ciD.b

22

【答案】C

-*-彳1--彳

【详解】否在I方向上的投影向量为(问cos仅用言=F|x品2=7=1

故选：c.

5.已知平面向量Z=(4,-2)$=(1,-3),若Z+宓与石垂直，则大=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【详解】因为3=(4,—2)5=(1,—3),故|力=[42+(—2)2=2行/二河,

由题意〃+与6垂直，「.(a+Ab)-b=a-b+Xb-0,

BP4+6+1OA=0,解得久=一1,

故选：C

举一反三/>

1.已知向量2=(2,1)石=(-2,4),则自一”()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】因为£-5=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以|力|=加+(-3)2=5.

故选：D

2.已知向量。=(1,⑼，S=(m,2),若a//B,则实数m等于()

A.-V2B.V2

C.-血或血D.0

【答案】C

【详解】由Z//B知：1X2-疗=0,即加=0或—VL

故选：C.

3.已知向量a,B满足|刈=5,16|=6,a-b=-6,则COSVQ,Q+B>=()

4

【答案】D

【详解】•「卜"，|同=6,2-b=-6,:.a-^a+b^=^+a-b=52-6=19.

卜+.="a+3)=戊2+历+3之_也5-2x6+36=7,

一一一a-la+bj1919

因止匕，cos<a,a+b>=pr-p-=q-=-~~-=-~.

[5x735

故选：D.

4.已知单位向量Z石的夹角为60°,则在下列向量中，与石垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

【答案】D

【详解】由已知可得：tz-^=|«|•|^|-cos60°=1X1Xii.

A：因为(a+2坂)=a+2否=—+2xl=—^0,所以本选项不符合题意；

-*-»-*-*-*-*21

B：因为(2a+%>b=2a/+b=2x-+l=2^0,所以本选项不符合题意；

C：因为(0-26).，=。年-2%=i-2xl=-1^0,所以本选项不符合题意;

-*-»-*-*-*—*21..

D：因为(2a-6))=2“-b=2x--1=0,所以本选项付合题意.

故选：D.

5.已矢口向量之=(2,3))=(3,2),贝1之_司=

A.V2B.2

C.5^/2D.50

【答案】A

【详解】由已知，a-S=(2,3)-(3,2)=(-l,l),

所以|力|=Jt-iy+F=也,

故选A

易错题通关

5

一、单选题

1.已知四边形/BCD,设£为。的中点，就-H5=10,|衣|=4,贝力西|=()

A.2瓜B.&C.2A/2D.V2

【答案】A

【详解】在平面(空间同样)四边形48。中，

衣.而=(左+硝.(诟+而)=|诟反;『，

因为万•通=10/荏|=4,所以|配|=",|函|=2新.

故选：A.

2.已知向量£=(2,1),5=(-2,4),则|〉E=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】因为2=(2,1),3=(-2,4),

所以£-2=(4,-3),

所以昨也2+(_3)2=5,

故选：D

3.已知向量4B满足同=Lab=-l,则—侬-勺=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【详解】a-^2a-b)=2\a\2-a-b=2+1=3.

故选：B.

4.已知非零向量I,b,c^^a+b+c=0,a,］的夹角为120。，且向=2向，则向量I,

己的数量积为()

A.0B.-2a2C.2a1D.-a2

【答案】A

【详解】设|司=2同=2。0,因为I,》的夹角为120。，

所以=同同侬120°=--，

因为非零向量7,b,了满足N+分+,=G,

所以己=一（7+后），

所以1■云=-a-^a+b^=-a2-a-b

=—15|2-a-b=—t2+12=0.

6

故选：A.

5.设向量Z,b,满足|4=2,向=1,Z与刃的夹角为60。，则|£+23=（）

A.273B.3亚C.4D.275

【答案】A

【详解】解：因为|4=2,⑻=1,£与刃的夹角为60。，

所以a4=|a|-|/）|cos60。=2xlx；=l,

所以|Z+2H2=0+2折2=二+4工4+4片=?『+4工4+4彳^=22+4xl+4xl2=12.

所以1+2力|=2百.

故选：A.

6.设非零向量标满足|吊=2㈤,|£+臼=6|加,则向量Z与句的夹角为（）

A.30°B,60°C,120°D,150°

【答案】C

【详解】由0+加=6⑻得㈤2+20H加cos,［）+出『=3⑻2,

代人|=2㈤得cos

又0。«",可±180。

故夹角为120。.

故选：C

7.已知向量23的夹角为（，且内=4,（产+否｝（213旬=12,则向量］在向量々方向上的

投影是（）

A.V2B.3C,472D.1

【答案】D

【详解】由•（无_31）=12,忖2_|£彳+2£彳一3M『=12,忖2+；£彳_3恸2=12,

16+|x4.p|cos-^-3^|2=12,3同2-码4一4=0,（3忖+2础.一5）=0,

解得同=后，所以向量］在向量£方向上的投影为Wcos£=l

故选：D.

8.已知A,B,。是不在同一直线上的三个点，。是平面内一动点，若

历—方=4（次+；前），入日0,+8）,则点尸的轨迹一定过△ABC的（）

7

A.外心B,重心C.垂心D.内心

【答案】B

【详解】解：如图，取8c的中点。，连接4D,

---OP-OA=AAD,BP1?=AAD.

又We[0,+oo）；

；.P点在射线AD±..

故P的轨迹过AABC的重心.

故选：B.

二、多选题

9.已知向量£=(1,3),3=(2,-4),则下列结论正确的是().

A.(a+b)1aB.\2a+b\=VlO

C.向量£石的夹角为与D.加在£方向上的投影向量是历)

【答案】AC

【详解】对于A,«+*=(3,-1),由伍+B"=3xl+(Tx3=0,贝唯+4J,故A正确；

对于B,23+办=2(1,3)+(2,-4)=(4,2),悔+闸=打+2。=26,故B错误;

对于C,a-b=1x2+3x(-4')=-10,|a|=Vl2+32=A/10,忖=也旧-4)。=2芯,贝U

3(“力)=郦=而%1=一3,即向量时的夹角为了，故C正确；

a-b--10一-

对于D,加在£方向上的投影向量是可0=不7°=一气故D错误.

故选：AC.

10.在A48C中，M,N分别为NC的中点，G为九W的中点，O为A4BC所在平面

内的任意一点，则()

8

A.GA+GB+GC=^B.OG=^（2OA+OB+

C.1AG-GM=GA-GND.（前•丽）|前|=（前,前）|丽|

【答案】BCD

取2C的中点连接G",显然A,G,H三点共线，且G是AH■的中点，则

GA+GB+GC=GA+X}H=GH6,故选项A错误；

因为，2次+砺+玩）=，2况+2丽）={况+而）=加，故选项B正确；

因为血=W4，所以前.血=就.标=瓦.丽，故选项C正确；

因为元=4丽，所以（前•丽）|就卜（前•丽）卜硼=4（前•丽）|丽,

（前.瑟）］丽卜（就・4丽）|丽卜4（前.丽,J丽］,所以（就•丽）|瑟卜（前.瑟）|丽

故选项D正确;

故选：BCD.

三、解答题

11.记A/BC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知万.祝+2拓・瓦

⑴求学

smC

⑵记ANBC的面积为S,求二的最大值.

a

（1）

解：因为益.就+2瓦•前=田.丽，

由平面向量数量积的定义可得c6cosN+2cacos8=6acosC,

,b2+c2-a1a2+c2-b2a2+b2-c2赦由-阳〃rr

即Bnbe----------+lac----------=ab-----------,整理可得b=Y2c,

2bc2aclab

9

由正弦定理可得当=2=0.

sinCc

⑵

1F）

解：S--besin^=—c2sinA,由余弦定理可得/=〃+。2_力℃0$/=3c?-26^cos4,

22

所以，S一Jsin"_siM,令2t>0,即

a13c2-2y/lc2cosA3«-4cos/"

可得3"=sin4+4/cos/=Jl+16/sin（4+0）wJl+16/,/为锐角，且tane=4，,

所以，18»vl+16”，