2022年广东省茂名市电白县市级名校中考数学最后一模试卷含解析

2022年广东省茂名市电白县市级名校中考数学最后一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是()A．8，6B．7，6C．7，8D．8，72．下列运算正确的是（）A．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1 B．（2a3）2＝4a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3+a2＝2a53．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点P为△ABC外一点，CP=，BP=3，AP的最大值是（）A．+3 B．4 C．5 D．35．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．AEEC=BEED B．AE6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．八边形的内角和为（）A．180° B．360° C．1080° D．1440°8．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）A．19° B．38° C．42° D．52°9．不等式组中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是A． B．C． D．10．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（）A．， B．， C．， D．，二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．12．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是_________．13．如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝_____°．14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．15．如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是_____．16．如图，中，∠，，的面积为，为边上一动点（不与，重合），将和分别沿直线，翻折得到和，那么△的面积的最小值为____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点G，求证：AE=BF；（2）如图2，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的基础上，若AB=m，BC=n，其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；．18．（8分）先化简，再求值：(1﹣)÷，其中x＝1．19．（8分）如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝角α的邻边角（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；（2）ctan60°＝_____；（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctanC＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦cosB的值．20．（8分）计算：；解方程：21．（8分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．求证：AM是⊙O的切线；若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．22．（10分）已知抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0,2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M（1）求a的值，并写出点B的坐标；（2）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C做DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式.23．（12分）某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图（1）D组的人数是人，补全频数分布直方图，扇形图中m＝；（2）本次调查数据中的中位数落在组；（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？24．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．求证：∠BAC＝∠AED；在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7考点：（1）众数；（2）中位数．2、B【解析】

根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、因为﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、因为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．3、B【解析】

首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.故答案选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定与性质.4、C【解析】

过点C作,且CQ=CP,连接AQ,PQ,证明≌根据全等三角形的性质，得到根据等腰直角三角形的性质求出PQ的长度，进而根据,即可解决问题.【详解】过点C作,且CQ=CP,连接AQ,PQ,在和中≌AP的最大值是5.故选：C.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.5、A【解析】

利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥CD∥EF∴△ABE∽△DCE，∴AEED=AB∵EF∥AB，∴EFAB∴ADDB=AEBF，故选项故选：A．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6、D【解析】

由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．7、C【解析】试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）×180º可得八边形的内角和为（8-2）×180º=1080º，故答案选C.考点：n边形的内角和公式.8、D【解析】试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角．9、B【解析】由①得，x<3，由②得，x≥1，所以不等式组的解集为：1≤x<3，在数轴上表示为：，故选B．10、C【解析】

∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】67000000000的小数点向左移动10位得到6.7，所以67000000000用科学记数法表示为，故答案为：．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、－1【解析】

∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-113、46【解析】试卷分析：根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=34°，∵∠BAC=100°，∴∠2=180°−34°−100°=46°，故答案为46°.14、m=-【解析】

根据题意可以得到△=0，从而可以求得m的值．【详解】∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：.故答案为.15、【解析】

过点作于，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算再由旋转可得，，根据三角形外角和性质计算，根据含角的直角三角形的三边关系得和的长度，进而得到的长度，然后利用得到与的长度，于是可得.【详解】如图，过点作于，∵，∴．∵将绕点逆时针旋转，使点落在点处，此时点落在点处，∴∵∴在中，∵∴∴，在中，∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质．16、4.【解析】

过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，由折叠可得∠EAG＝30°，而当AD⊥BC时，AD最短，依据BC＝7，△ABC的面积为14，即可得到当AD⊥BC时，AD＝4＝AE＝AF，进而得到△AEF的面积最小值为：AF×EG＝×4×2＝4.【详解】解：如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，

由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，

∵∠BAC＝75°，

∴∠EAF＝150°，

∴∠EAG＝30°，

∴EG＝AE＝AD，

当AD⊥BC时，AD最短，

∵BC＝7，△ABC的面积为14，

∴当AD⊥BC时，，即：，∴.

∴△AEF的面积最小值为：

AF×EG＝×4×2＝4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）AE=23BF，（3）AE=m【解析】

（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论;（3）结论：AE=mn【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∠BAE=∠CBFAB=CB∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：如图2中，结论：AE=23理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴AEBF∴AE=23（3）结论：AE=mn理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴AEBF∴AE=mn【点睛】本题考查了四边形综合题、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．18、.【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】原式==当x=1时，原式=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19、（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；（2）根据余切的定义得到ctan60°=，然后把tan60°=代入计算即可；（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC﹣CH=20﹣2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．解：（1）∵BC=3，AB=5，∴AC==4，∴ctanB==；（2）ctan60°===；（3）作AH⊥BC于H，如图2，在Rt△ACH中，ctanC==2，设AH=x，则CH=2x，∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），∴BH=20﹣2×6=8，∴cosB===．考点：解直角三角形．20、（1）2（2）【解析】

（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算可得到结果；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）原式==2；（2）∴【点睛】本题考查了实数运算以及平方根的应用，正确掌握相关运算法则是解题的关键．21、(1)见解析；（2）【解析】

（1）根据题意，可得△BOC的等边三角形，进而可得∠BCO＝∠BOC，根据角平分线的性质，可证得BD∥OA，根据∠BDM＝90°，进而得到∠OAM＝90°，即可得证；（2）连接AC，利用△AOC是等边三角形，求得∠OAC＝60°，可得∠CAD＝30°，在直角三角形中，求出CD、AD的长，则S阴影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC即可得解．【详解】（1）证明：∵∠B＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OA∥BD，∵∠BDM＝90°，∴∠OAM＝90°，又OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线（2）解：连接AC，∵∠3＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∵OC＝AC＝4，∴CD＝2，∴AD＝2，∴S阴影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC＝×（4+2）×2﹣．【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算．22、（1）a=-1，B坐标为（1,3）；（2）y=-（x-3）2+3，或y=-（x-7）2+3.【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3,再用m表示点C的坐标，需分两种情况讨论，用待定系数法即可解决问题.【详解】（1）把点A（0,2）代入抛物线的解析式可得，2=a+3，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+3，顶点为（1,3）（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3，由解得x=∴点C的横坐标为∵MN=m-1,四边形MDEN是正方形，∴C（，m-1）把C点代入y=-（x-1）2+3，得m-1=-+3