中考数学一轮复习第四讲一元一次不等式（组）及其应用（解析版）

模块二方程（组）与不等式CMJ

第四讲一元一次不等式（组）及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：不等式及其基本性质

1、定义：用不等号（〉，巳，〈，三或W）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质

性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方

向不变，即如果那么Q±C>_______

性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如

-nr）

果c>0,那么—>—

cc

性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如

一nr）

果c<0,那么ac<bc,—<—

cc

性质4如果〃>b,那么

性质5如果〃>b,b>c9那么Q〉C

知识点2:一元一次不等式及其解法

含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定义一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所

有这些解的全体称为这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般步骤：去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，不同的是当不等

骤

式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变。

x<a—।---1-----

-10au

解集在“两定”

数轴上x<a::__A定边界

-10a

表不定方向

x>a

x>a

例题：解不等式L并在数轴上表示解集。

解：4（2x-l）<3（3x+2）-12

8x-4<9x+6-12

8x-9x<6-12+4

-x<-2

x>2

解集在数轴上表示为

I1

01

知识点3:一元一次不等式组及其解法

1、定义

由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

2、解法步骤

（1）分别求出每个不等式的解集；

（2）在同一数轴上表示出各个解集，找出所有解集的公共部分；

（3）写出不等式组的解集。

3、解集表不（假设a<Z?）

不等式组在数轴上的表示不等式组的解集口诀

x>a

<x>b同大取大

x>b

x<a

Vx<a同小取小

x<b

ab

x>a大小小大，

<a<x<b

x<b-LJ_.中间找.

ab

x<a大大小小，

*无解

x>b找不到.

知识点4:一元一次不等式的应用

1、列不等式解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。

设：设出未知数。

列：根据题目中的不等关系，列出不等式。

解：解不等式。

答：写出符合题意的答案。

2、不等式的实际问题中，常见关键词与不等号的关系

常见关键词符号

大于，多于，超过，高于>

小于，少于，不足，低于<

至少，不低于，不小于，不少于

至多，不超过，不高于，不大于

直击中考胜券在握

1.（2023•南充中考）满足xW3的最大整数了是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【点睛】

本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解.

2.不等式8-2x>0的解集在数轴上表示正确的是（）

C.----1-----1-----1-----1------->D.----1------1-----1-----1-------->

02460246

【答案】B

【分析】

先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可.

【详解】

解：8—2x>0,

移项得：-2x>-8,

解得：x<4,

所以原不等式得解集：x<4.

把解集在数轴上表示如下：

-----1-----1-------6-1--------->

0246

故选B

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握"画图时，小于向左拐，大于向右

拐”是解本题的关键，注意实心点与空心圈的使用.

3.（2023•临沂中考）已知〃>>，下列结论：①/>必；②">）2；③若b<0,贝!!a+b<2Z?；④若

b>o,则工<4,其中正确的个数是（）

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

根据不等式的性质分别判断即可.

【详解】

解：Ea>fa,则

①当a=0时，a?=ab，故错误；

②当a<0,b<0时，a2<b2,故错误；

③若8<0,则b+b<a+》，即a+Z?>2b,故错误；

④若6>0,则a>6>0,则故正确；

ab

故选A.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化.

（无一1<0

4.（2023•岳阳中考）已知不等式组.、一其解集在数轴上表示正确的是（）

2%>-4

-3-2-1012

C,I11111AD-

-3-2-1012

【答案】D

【分析】

解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大

大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用

空心圈表示，即可得出选项.

【详解】

k-1<0①

解：5-Y②，

解不等式①得：x<l,

解不等式②得：%>-2,

团不等式组的解集为：-2<x<l,

在数轴上表示为：

故选：D.

【点睛】

题目主要考察求解不等式解集、不等式组解集以及解集在数轴上的表示，难点是对在数轴上表示实心点和

空心圈的区分.

jx+5<4x—1

5.（2023•荷泽中考）如果不等式组的解集为1>2,那么加的取值范围是（）

[x>m

A.m<2B.m>2C.m>2D.m<2

【答案】A

【分析】

先解不等式组，确定每个不等式的解集，后根据不等式组的解集的意义，确定m的取值范围即可.

【详解】

[x+5<4九一1①

[x>m®

解①得x>2,解②得x>m,

fj;+5<4x—1

团不等式组的解集为1>2,根据大大取大的原则，

[x>m

^\m<2,

故选A

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键.

6.（2023•重庆中考）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元，每支签字笔2.2

元.小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】

设小明最多还可以买尤个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案.

【详解】

解：设小明最多还可以买X个作业本，则

2.2x7+6x440,

/.6x<24.6,

:.x<4.1,

X为正整数，

不等式的最大正整数解是：X=4.

二小明最多还可以买4本作业本.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关

键.

7.（2023•绵阳中考）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的

商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若所获

利润大于750元，则该店进货方案有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】C

【分析】

设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-司件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商

品均售完所获利润大于750元"列出关于x的不等式组，解之求得整数％的值即可得出答案.

【详解】

解:设该店购进甲种商品工件，则购进乙种商品（50-x）件，

[60x+100（50-x）<4200

根据题思，W：|10X+20（50-X）>750，

解得：20<x<25,

Six为整数，0x=20>21、22、23、24,

回该店进货方案有5种,

故选C.

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出

不等式组.

8.为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵.则

有1名同学植树的棵树小于8棵.若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的

数量的是（）

A.7x+9-9（x-1）＞0B.7x+9-9（x-1）＜8

f7x+9-9（x-l）＞0f7x+9-9（x-l）＞0

'17x+9-9（x-1）＜8'[7x+9-9（x-l）＜8

【答案】c

【分析】

根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句"每人平均植树9棵.则有1名同学植树的

棵树小于8棵”列出不等式组即可.

【详解】

解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：

"7x+9-9（x-l）＞0,

17尤+9-9（x-l）＜8

故选：c.

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可.

9.（2023・日照一模）若关于x的不等式组「一3》日无解，则。的取值范围是（）

[x-a＜8

A.a＜-6B.a＜-6C.a＞-6D.a＞-6

【答案】B

【分析】

利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可.

【详解】

7-3x<l①

解:

x-a<8②‘

解不等式①得x>2,

解不等式②得尤<4+8,

回不等式组无解，

0a+8<2

解得：o<—6

故选B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法"同大取大、同小取小、大

小小大中间找、大大小小无处找"是解题的关键.

[2x+3>12

10.（2023•南通中考）若关于x的不等式组—恰有3个整数解，则实数。的取值范围是（）

A.7<a<8B.7<a<8C,7<a<8D.7<a<8

【答案】C

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案.

【详解】

9

解：解不等式2尤+3>12,得：x>—,

2

解不等式得：x<a,

回不等式组只有3个整数解，即5,6,7,

07<a<8,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组

整数解的个数得出关于。的不等式组.

11.（2023•广西田东一模）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人

每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个

零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）

12B.10C.9D.8

【答案】C

【分析】

根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量<2160列出不等式并解答；

【详解】

设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，

则15an=2160,

得到an=144,

回15ax+12（a+2）｛n—x）<2160,

整理的：ax+4an+8n-8x<720,

团=144,

团将其代入化简得：ax+8〃一8xV144,即打+8〃—8XVH?,

整理得：8（A--x）,

团77>X,

团）一x>0，

团a>8,

回。至少为9.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键.

12.（2023•重庆中考）若关于x的一元一次不等式组222^+2）的解集为x»6,且关于y的分式方

\a—2x<—5

程+=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

y-\\-y

A.5B.8C.12D.15

【答案】B

【分析】

先计算不等式组的解集，根据"同大取大"原则，得到乎<6解得。<7,再解分式方程得到尸受，根

据分式方程的解是正整数，得到a>-5,且。+5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后

求和.

【详解】

产-2N2（》+2）①

忤［a-2尤<-5②

解不等式①得，%>6,

解不等式②得，x>券

・不等式组的解集为：x>6

:.a<7

解分式方程"牛+学心=2得

y-\1-y

y+2a3y-8

---------=2

y-1y-1

y+2a-(3y-S)-2(^-1)

整理得产审，

y-lwO,则审wl,

/.Qw—3,

.分式方程的解是正整数，

a>-5,且。+5是2的倍数，

-5<o<7,且。+5是2的倍数，

:•整数a的值为-1,1,3,5,

/.-1+1+3+5=8

故选：B.

【点睛】

本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题

关键.

\x>2

13.（2023•张家界中考）不等式0的正整数解为_______.

2x+l<7

【答案】3

【分析】

直接解出各个不等式的解集，再取公共部分，再找正整数解即可.

【详解】

解：由2X+1W7,

解得：x<3,

由x>2,

二原不等式的解集是：2<xW3.

[x>2

故不等式Cr的正整数解为：3,

[2x+l<7

故答案是：3.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组的解集和求不等式组的正整数解，解题的关键是：掌握解不等式组的基本

运算法则，求出解集后，找出满足条件的正整数解即可.

14.（2023•自贡中考）请写出一个满足不等式》+后>7的整数解.

【答案】6（答案不唯一）

【分析】

先估算出血的值约为1.4,再解不等式即可.

【详解】

解:072«1.4-

0x>7-V2，

0x>5.6.

所以6是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于6的整数都是该不等式的整数解）；

故答案为：6（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要求学生在理解相关概念

的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性.

15.（2023•通辽中考）若关于x的不等式组.~,有且只有2个整数解，则。的取值范围是

\2x-a<5

【答案】-l<a<l

【分析】

分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解列不等式即可得答案.

【详解】

解不等式3%-221得：%>1,

解不等式2x-a<5得：x<^-,

2

团不等式的解集为1女〈?，

回不等式组只有2个整数解，

回不等式组的整数解为1、2,

回2<』，

2

解得：口<。41,

故答案为：

【点睛】

本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据X的整数解得出关于a的不等式组是

解题关键.

16.（2023・绥化中考）某学校计划为"建党百年，铭记党史"演讲比赛购买奖品.已知购买2个A种奖品和4

个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A8两种奖品共20

个，且A种奖品的数量不小于8种奖品数量的（，则在购买方案中最少费用是元.

【答案】330

【分析】

设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据"购买2个A种奖品和4个8种奖品共需100元；

购买5个A种奖品和2个8种奖品共需130元”，即可得出关于A,B的二元一次方程组，在设购买A种奖

2

品m个，则购买B种奖品（20-m）个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的不，即可得出关于m

的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果.

【详解】

解：设A种奖品的单价为x元，8种奖品的单价为y元,

2x+4y=100

依题意，得:

5x+2y=130

x=20

解得:

y=15

蜘种奖品的单价为20元，8种奖品的单价为15元.

设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20-根）个，根据题意得到不等式：

240

m>—（20-m）,解得：m>—,

40

回一<m<20,

7

设总费用为IV,根据题意得：

W=20m+15（20-m）=5m+300,

龈=5>0,

国必随m的减小而减小，

团当m=6时，IV有最小值，

0W/=5x6+3OO=33O元

则在购买方案中最少费用是330元.

故答案为：330.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等

量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数.

17.（2023•山西中考）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.

2%—13x—2

---->-------11

32

解：2（21）>3（3了-2）-6第一步

4x-2>9x-6-6第二步

4x-9x>-6-6+2第三步

-5%>-10第四步

x>2第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第二步是依据（运算律）进行变形的；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是;

任务二：请直接写出该不等式的正确解集.

【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以一5,不等号的方向没有改变

（或不符合不等式的性质3）；任务二：尤<2

【解析】

①乘法分配律（或分配律）

②五不等式两边都除以一5,不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；

任务二：不等式两边都除以一5,改变不等号的方向得：x<2.

【点睛】

本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关

键.

18.（2023•绍兴中考）解不等式：5x+3>2（x+3）

【答案】%>1

【解析】5%+3>2x+6

5x-2x>6-3

3%>3

x>l

5x-2>3（x+l）

19.（2023•成都中考）解不等式组：1—,3

—x-l<7——x

122

【答案】1<x<4

5龙-2>3（x+l）①

122

由①得：x>2.5,

由②得：X",

则不等式组的解集为1〈尤V4.

20.（2023•连云港中考）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B

型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的;，请设计出最

省钱的购买方案，并求出最少费用.

【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，8型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进8种

23瓶，最少费用为676元

【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间

的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案.

【详解】

解：（1）设A种消毒液的单价是X元，B型消毒液的单价是>元.

2x+3y=41x=7

由题意得:解之得,

5犬+2)=53y=9

答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元.

（2）设购进A种消毒液”瓶，则购进3种（90-a）瓶，购买费用为W元.

贝（jW=7a+9（90-a）=-2a+810,

回卬随着。的增大而减小，。最大时，卬有最小值.

又90—a2—。，0a<67.5.

3

由于。是整数，。最大值为67,

即当。=67时，最省钱，最少费用为810-2x67=676元.

止匕时，90-67=23.

最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进8种23瓶.

【点睛】

本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键

是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解.

21.（2023•云南•昆明市第三中学模拟预测）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进

价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相

同.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

(2)商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的

件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？

(3)在(2)的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元(8<m<12),当玩具售完后，要使利润

最大，对甲玩具应怎样进货？

【答案】(1)甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；(2)购进甲种玩具45件，购进乙种玩具

5件利润最大；(3)当8Vm<10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当

时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m=10时，不管x取何值，皿=250

【分析】

(1)设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为(40-a)元/件，根据"用150元购进甲种玩具的件数与

用90元购进乙种玩具的件数相同"可列方程求解；

(2)设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具(50-x)件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，

商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范

围；设总利润为IV元，再根据"利润=售价-成本"，求出W/与x的函数关系式，再根据一次函数的性质

求解即可；

(3)根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合8Vm<12分类讨论即可.

【详解】

(1)设甲种玩具进价。元/件，则乙种玩具进价为(40-a)元/件，根据题意得：

150_90

a40-a'

解得。=25,

经检验，。=25是原方程的解并满足题意，

当a=25时,40-0=40-25=15,

所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；

(2)设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具(50-x)件，根据题意得：

(x>50-x

[25%+15(50-%)<1200，

解得25女“5；

设总利润为W元，根据题意得：W/=