2022年北京市东城区重点名校中考数学模拟预测试卷含解析

2022年北京市东城区重点名校中考数学模拟预测试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（）A． B． C． D．2．据报道，南宁创客城已于2015年10月开城，占地面积约为14400平方米，目前已引进创业团队30多家，将14400用科学记数法表示为（）A．14.4×103 B．144×102 C．1.44×104 D．1.44×10﹣43．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76° B．78° C．80° D．82°4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对5．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108 B．21×106 C．2.1×107 D．2.1×1067．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A． B．C． D．8．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()

A．30 B．27 C．14 D．329．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是()A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜010．满足不等式组的整数解是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝__．12．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为_____13．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．14．已知，（），请用计算器计算当时，、的若干个值，并由此归纳出当时，、间的大小关系为______.15．如图，点A在反比例函数y=（x＞0）上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y轴于点P，若PA：PB=1：2，则正方形OABC的面积=_____．16．计算：sin30°﹣（﹣3）0=_____．17．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且△AOB是正三角形，则∠ACB的度数是。三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6，0），等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s，设运动的时间为ts，解答下列问题：（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．（2）如图②过点E作EQ∥AB，交AC于点Q，设△AEQ的面积为S，求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大？求出这个最大值．（3）在（2）的条件下，当△AEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P，使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？19．（5分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ，以PQ为直径作⊙O．（1）当时，求△PCQ的面积；（2）设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式；（3）当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt△ABC的一边相切，求t的值．21．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．22．（10分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．23．（12分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（14分）某手机店销售部型和部型手机的利润为元，销售部型和部型手机的利润为元.(1)求每部型手机和型手机的销售利润；(2)该手机店计划一次购进，两种型号的手机共部，其中型手机的进货量不超过型手机的倍，设购进型手机部，这部手机的销售总利润为元.①求关于的函数关系式；②该手机店购进型、型手机各多少部，才能使销售总利润最大？(3)在(2)的条件下，该手机店实际进货时，厂家对型手机出厂价下调元，且限定手机店最多购进型手机部，若手机店保持同种手机的售价不变，设计出使这部手机销售总利润最大的进货方案.

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解析】解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为=π．故选B．点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．2、C【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】14400=1.44×1．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、B【解析】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选B．4、B【解析】

解方程得：x=5或x=1．当x=1时，3+4=1，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．5、A【解析】

先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.6、D【解析】2100000=2.1×106.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.7、A【解析】

直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：﹣=1．故选A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．8、A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，∴，∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，∴，∵S△BEF=4，∴S△CDF=9，S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键.9、A【解析】试题分析：充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围．由图可知，当y＜1时，x＜-4，故选C.考点：本题考查的是一次函数的图象点评：解答本题的关键是掌握在x轴下方的部分y＜1，在x轴上方的部分y＞1．10、C【解析】

先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．【详解】∵解不等式①得：x≤0.5，解不等式②得：x＞-1，∴不等式组的解集为-1＜x≤0.5，∴不等式组的整数解为0，故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解析】

根据三角形的中位线定理得到PQ＝BC，得到相似比为，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到结果.【详解】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，∴PQ∥BC，PQ＝BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝（）2＝，∵S△APQ＝1，∴S△ABC＝4，∴S四边形PBCQ＝S△ABC﹣S△APQ＝1，故答案为1．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12、115°【解析】

根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°，于是得到结论．【详解】∵∠ABC=50°，∴∠BAC+∠ACB=130°，∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP，∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=×130°=65°，∴∠APC=115°，故答案为：115°【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．13、14【解析】

根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．∵菱形的周长为10，BD＝2，∴AB＝5，BO＝3，∴AC＝3．∴面积故答案为14．【点睛】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．14、【解析】试题分析：当n=3时，A=≈0.3178，B=1，A＜B；当n=4时，A=≈0.2679，B=≈0.4142，A＜B；当n=5时，A=≈0.2631，B=≈0.3178，A＜B；当n=6时，A=≈0.2134，B=≈0.2679，A＜B；……以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，A、B的关系始终是A＜B.15、1.【解析】

根据题意作出合适的辅助线，然后根据正方形的性质和反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理可以求得AB的长．【详解】解：由题意可得：OA=AB，设AP=a，则BP=2a，OA=3a，设点A的坐标为（m，），作AE⊥x轴于点E．∵∠PAO=∠OEA=90°，∠POA+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠POA=∠OAE，∴△POA∽△OAE，∴=，即=，解得：m=1或m=﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），∴OA=，∴正方形OABC的面积=OA2=1．故答案为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16、-【解析】

sin30°=,a0=1(a≠0)【详解】解：原式=-1=-故答案为：-.【点睛】本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.17、30°【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考点：圆周角定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析；（2）当t=3时，△AEQ的面积最大为cm2；（3）（3，0）或（6，3）或（0，3）【解析】

（1）由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF，进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE，即可得证；（2）先表示出三角形AEC面积，根据EQ与AB平行，得到三角形CEQ与三角形ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积，进而表示出AEQ面积，利用二次函数的性质求出面积最大值，并求出此时Q的坐标即可；（3）当△AEQ的面积最大时，D、E、F都是中点，分两种情形讨论即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵C（6，0），∴BC=6在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，由题意知，当0＜t＜6时，AD=BE=CF=t，∴BD=CE=AF=6﹣t，∴△ADF≌△CFE≌△BED（SAS），∴EF=DF=DE，∴△DEF是等边三角形，∴不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形；（2）如图②中，作AH⊥BC于H，则AH=AB•sin60°=3，∴S△AEC=×3×（6﹣t）=，∵EQ∥AB，∴△CEQ∽△ABC，∴=（）2=，即S△CEQ=S△ABC=×9=，∴S△AEQ=S△AEC﹣S△CEQ=﹣=﹣（t﹣3）2+，∵a=﹣＜0，∴抛物线开口向下，有最大值，∴当t=3时，△AEQ的面积最大为cm2，（3）如图③中，由（2）知，E点为BC的中点，线段EQ为△ABC的中位线，当AD为菱形的边时，可得P1（3，0），P3（6，3），当AD为对角线时，P2（0，3），综上所述，满足条件的点P坐标为（3，0）或（6，3）或（0，3）．【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．19、（1）（1）如图所示见解析；（3）4π+1．【解析】

（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；

（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；

（3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可．【详解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由题可得，△ABC扫过的面积==4π+1．【点睛】考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．20、（1）；（2）①；②；（3）t的值为或1或．【解析】

（1）先根据t的值计算CQ和CP的长，由图形可知△PCQ是直角三角形，根据三角形面积公式可得结论；（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，②当Q在边AB上运动时；分别根据勾股定理计算PQ2，最后利用圆的面积公式可得S与t的关系式；（3）分别当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时，当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定答案．【详解】（1）当t=时，CQ=4t=4×=2，即此时Q与A重合，CP=t=，∵∠ACB=90°，∴S△PCQ=CQ•PC=×2×=；（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，0＜t≤2，如图1，由题意得：CQ=4t，CP=t，由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，∴S=π=；②当Q在边AB上运动时，2＜t＜4如图2，设⊙O与AB的另一个交点为D，连接PD，∵CP=t，AC+AQ=4t，∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，∵PQ为⊙O的直径，∴∠PDQ=90°，Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，∴∠B=30°，Rt△PDB中，PD=PB=，∴BD=，∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，∴PQ==，∴S=π==；（3）分三种情况：①当⊙O与AC相切时，如图3，设切点为E，连接OE，过Q作QF⊥AC于F，∴OE⊥AC，∵AQ=4t﹣2，Rt△AFQ中，∠AQF=30°，∴AF=2t﹣1，∴FQ=（2t﹣1），∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，∴EF=CE，∴FQ+PC=2OE=PQ，∴（2t﹣1）+t=，解得：t=或﹣（舍）；②当⊙O与BC相切时，如图4，此时PQ⊥BC，∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，∴cos30°=，∴，∴t=1；③当⊙O与BA相切时，如图5，此时PQ⊥BA，∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，∴cos30°=，∴，∴t=，综上所述，t的值为或1或．【点睛】本题是圆的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、圆的面积、切线的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，以点P和Q运动为主线，画出对应的图形是关键，注意数形结合的思想．21、见解析【解析】

根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22、证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．考点：平行四边形的判定与性质．23、【解析】

过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt