高考数学二轮复习 补偿练5 三角函数与三角恒等变换 理

eq\a\vs4\al\co1(补偿练5三角函数与三角恒等变换)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知cos(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，则tanα＝ ()．A.eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．±eq\f(3,4)解析因为cos(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5)，显然α在第三象限，所以cosα＝－eq\f(4,5)，故tanα＝eq\f(3,4).答案B2．已知α是第四象限的角，若cosα＝eq\f(3,5)，则tan2α＝ ()．A.eq\f(15,7) B．eq\f(16,7)C.eq\f(20,7) D．eq\f(24,7)解析由cosα＝eq\f(3,5)，α在第四象限得tanα＝－eq\f(4,3)，从而tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(4,3),1－－\f(4,3)2)＝eq\f(24,7).答案D3．若函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位得到y＝f(x)的图象，则 ()．A．f(x)＝cos2x B．f(x)＝sin2xC．f(x)＝－cos2x D．f(x)＝－sin2x解析y＝sin2xeq\o(→,\s\up7(图象上所有),\s\do10(点向左移\f(π,4)个单位))y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x.答案A4．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝ ()．A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析∵cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(2,3).答案D5．函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x图象的一条对称轴方程是 ()．A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,3)C．x＝eq\f(5π,12) D．x＝eq\f(2π,3)解析f(x)＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，令k＝1，得x＝eq\f(2π,3).答案D6．将函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位得到函数g(x)的图象，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝ ()．A.eq\f(\r(6),2) B．－1C.eq\r(2) D．2解析由于f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，其图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,3)))的图象，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＋\f(π,3)))＝eq\r(2)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6),2).答案A7．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)<φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)解析由图知eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－(－eq\f(π,3))＝eq\f(3π,4)，T＝π，则ω＝eq\f(2π,T)＝2.注意到函数f(x)在x＝eq\f(5π,12)时取到最大值，则有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，而－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,3).答案A8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝ ()．A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D．eq\f(7,8)解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝eq\f(1,4)，即cos(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,4)，∴cos(eq\f(π,3)＋2α)＝cos[2(eq\f(π,6)＋α)]＝2cos2(eq\f(π,6)＋α)－1＝2×(eq\f(1,4))2－1＝－eq\f(7,8).答案A9．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期为π，若其图象向右平移eq\f(π,3)个单位后关于y轴对称，则 ()．A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)C．ω＝4，φ＝eq\f(π,6) D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)解析由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，因为将f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后得g(x)＝sin(2x－eq\f(2π,3)＋φ)的图象，又g(x)为偶函数，所以－eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，取k＝－1，得φ＝eq\f(π,6).答案B10．已知函数f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f(eq\f(1,6))＝1，则函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后所得图象的函数解析式为 ()．A．y＝2sin(πx＋eq\f(π,3)) B．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(π,3))C．y＝2sin(πx＋eq\f(1,3)) D．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(1,3))解析由最小正周期为2，得eq\f(2π,ω)＝2，则ω＝π，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))＝1，所以Asineq\f(π,6)＝1，A＝2，所以f(x)＝2sinπx，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(1,3)个单位后得到y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))的图象．答案A11．设函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))，且其图象关于直线x＝0对称，则 ()．A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，eq\f(π,2))上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，eq\f(π,2))上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上为减函数解析f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋φ))，∵图象关于x＝0对称，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，f(x)＝2cos2x.其最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．答案B12．关于函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的四个结论：P1：最大值为eq\r(2)；P2：把函数f(x)＝eq\r(2)sin2x－1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后可得到函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的图象；P3：单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(7π,8)，kπ＋\f(11π,8)))(k∈Z)；P4：图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋\f(π,8)，－1))(k∈Z)．其中正确的结论有 ()．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析因为f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1.所以最大值为eq\r(2)－1，故P1错误．将f(x)＝eq\r(2)sin2x－1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到f(x)＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))－1的图象，故P2错误．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z，即增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋kπ，\f(3π,8)＋kπ))(k∈Z)，故P3正确．由2x－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，k∈Z，所以函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，－1))，k∈Z，故P4正确．答案B二、填空题13．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，2α∈[0,2π)，则tanα＝________.解析由三角函数定义可知sin2α＝eq\f(\r(3),2)，cos2α＝－eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\r(3).又2α∈[0,2π)，∴2α＝eq\f(2π,3)，∴α＝eq\f(π,3)，∴tanα＝eq\r(3).答案eq\r(3)14．函数y＝tanωx(ω＞0)与直线y＝a相交于A，B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx的单调增区间是__________．解析由函数y＝tanωx(ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．答案[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)15．已知eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝1，tan(β－α)＝－eq\f(1,3)，则tan(β－2α)＝________.解析由eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(2sin2α,sinαcosα)＝2tanα＝1，得tanα＝eq\f(1,2)，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(－\f(1,3)－\f(1,2),1－\f(1,6))＝eq\f(－\f(5,6),\f(5,6))＝－1.答案－116．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(2π,3)对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)①f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))；②f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(2π,3)))上是减函数；③f(x)的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象．解析∵周期为π，∴eq\f(2π,ω)＝π⇒ω＝2，∴f