高考数学复习压轴题讲解 圆的“双切线”问题

高考数学复习压轴题专题讲解

专题40圆的“双切线”问题

【方法点拨】

♦涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性，常将双切线问题转化为一

条切线问题，抓住“特征直角三角形”（切点、圆心、圆外点为顶点），向点与圆心的距离问题转化.

2.圆上存在一点、圆心与圆夕|—点（或圆上存在两点与圆夕|—点）的张角有最大值，张角最大时，

直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.

【典型题示例】

例1（2020•新课标I•理科•“）已知。M：X2+产—2x—2y—2=0,直线/：2x+y+2=0,

P为/上的动点，过点尸作。M的切线PA切点为A3,当1PMlJABI最小时，直线A8

的方程为（）

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x-y+l=0D.2x+y+1=0

【答案】D

【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点4，P，6,"共圆，且根

据户“卜内用=25有知=2归A|可知，当直线时，「叫伊耳最小，求出以为直径

的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线A3的方程.

【解析】圆的方程可化为Q—+（y—=4,点"到直线/的距离为d=F=6>2,

02+12

所以直线/与圆相离.

依圆的知识可知，四点AP，民"四点共圆，且A3,九0,所以

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\PM\\AB\=2S^AM=2xlx|PA|x|AM|=2\PA\,而=J网2_4,

当直线MP，/时，1°4|向；1'此时忙叫必用最小.

[11f

.♦.MP:y-l=X（xT）即y=；x+u,由<22解得，].

2225+2=0U=。

所以以〃尸为直径的圆的方程为G—i）G+i）+y（y—i）=o,即X2+y2-y-l=0,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A5的方程.

例2在平面直角坐标系X。）中，已知直线/:尸质+6上存在点尸，过点P作圆O:x2+y2=4的切线，切

点分别为A（%i，%）,B（X2,y2）,且/芍+为为二―2，则实数>的取值范围为.

【答案】（一8,一鼻U偿,+8）

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【分析】由XIX2+yj2=—2的结构联想“数量积”的宛义，“算两次”得/ACB=12OO,双切线问题利

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用对称性，转化为特征直角△B4C,易得/APC=3Oo,PC=4,故当直线/:y=fcv+6上的点尸只需满

足PC=4即满足题意.而点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于

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4.

【解析】由九1%2+/>2=—2得:

2兀

xx+yy=OA-0B=|0A||0BjcosZAOB=4cosZAOB=-2,则^AOB=—,

在△%(7,ZAPC=3Oo,PC=4,

当直线/上的点尸满足PC=4即满足题意.

又因为点C与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C到直线的距离不大于4.

由点到直线的距离公式得：-r==-4'解之得左〈-正或左2五

J1+Z222

所以左的取值范围为(-8,—乎］IJ［当，+°°).

例3过点?(一1,1)作圆C：(xT”+(yT+2)2=l«eR)的切线，切点分别为A,8,则尸屋尸月

的最小值为.

【答案】?

4

【分析】为了求出西•尸月的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选

择线段PC长为“元”.

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设NAP。。，贝Usin。=---,cos20=1-2sin20=1------,

PCPC2

故X4•尸方=月|cos20=(PC2-1)(1--|_)=PC2+-^--3

又点CQJ-2)在直线x—y—2=0,故尸C22女即尸C2»8

____2?!

所以尸乂•尸分28+——3=—

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故尸小刖的最小值为了

点评：(1)求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；

(2)涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问

题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.

例4已知圆。：x2+y2=],圆M：(x+a+3)2+(y—2a)2=l(a为实数).若圆。与圆M上分别存在

点、P,Q,使得/。。2=30。，则a的取值范围为.

【答案】[―|，0]

【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动这里，先将。固定不动，则点P在圆。运动

时，当尸。为圆。的切线时，尸最大，故满足题意，需NOQPN30。，再将角的范围转化为

。、。间的距离问题，即需OQW2.再固定P不动，易得只需OMW3即可，利用两点间距离公式

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(a+3)2+(2a)2W9,解得一5WaW0.

点评：圆上存在一点(或两点)与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆

心的距离问题.

例5平面直角坐标系xOy中，点P在x轴上，从点P向圆CjX2+。一3)2=5引切线，切线长为

4，从点P向圆C2：(x—5)2+。+4)2=7引切线，切线长为《，则4+外的最小值为.

【答案】5小

【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题

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【解析】设点P(x,0),则

d[='x2+(-3)2—5,d2="\j(x—5)2+42—7,+\j(x—5)2+9,

几何意义：点P(x,0)到点M(0,2),N(5,—3)的距离和.

当M,P,N三点共线时，4+4有最小值56，此时尸(2，0).

【巩固训练】

1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：尤2+。-3)2=2,点A是x轴上的一个动点，AP,A。分别切

圆C于尸，。两点，则线段P。的长的取值范围是.

2.已知圆M：(x-l)2+(y-1)2=4,直线/：x+y—6=0,A为直线/上一点.若圆M上存在两点B,

C,使得NA4C=60°,则点A横坐标的取值范围是.

%2V23Z?2

3.已知椭圆G：—+J=1与圆。2：%2+”二,若在椭圆C上不存在点P,使得

,a2b2241

由点尸所作的圆。2的两条切线互相垂直，则椭圆q的离心率的取值范围是

4.在平面直角坐标系九Oy中，已知圆0:%2+y2=r2(r>0)与圆。:任一6)2+&-8)2=4,过圆。上任意一

点P作圆C的切线，切点分别为A,B,\PA+PB\>6,则实数r的取值范围为.

5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x+3)2+(y+4)2=16,若对于直线x+iwy+1=0上的任

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意一点P,在圆C上总存在Q使NPQC=5，则实数根的取值范围为.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆0：殖+》2=1,直线/：x+ay-3=0(a>0)f过直线/上一点尸

—►―►

2

作圆0的两条切线，切点分别为N.若PM.PN=W，则正实数a的取值范围是.

7.过直线/：y=x—2上任意一点尸作圆C：%2+*=1的两条切线，切点分别为A,B,当切线最短

时，的面积为.

8.已知圆C：(无一1)2+&-4)2=10上存在两点A,8,尸为直线x=5上的一个动点.且满足APLBP,

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那么点P的纵坐标的取值范围是.

【答案与提示】

1.【答案】对虱2圾

【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化

2.【答案】口，5]

【提示】NBAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题

3.【答案】（0,

【分析】如图，设过点P的两条直线与圆°2分别切于点/，N,由两条切线相互垂直，可知

\OP=^-b,由题知|OP|>a解得:〉当,

又6=即可得出结果.

【解析】

如图，设过点P的两条直线与圆分别切于点出N,由两条切线相互垂直,

可知|OP|=V2义斗b=*b,

又因为在椭圆q上不存在点尸,使得由点尸所作的圆