2023年高考数学一轮复习：零点问题解析版

专题研究二零点问题

题型一零点个数问题

【例1】已知函数/G)=尤-1-机ez=O,meR,讨论函数/(x)的零点的个数

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

设g(x)=」，利用导数判断出单调性并画出图象，结合图象可得答案.

【详解】

由/G)=x-1-机e*+i=0得机,设g(x)=^~,

e》+ie*+i

则gG)=e—(xT)ejj,

(e》+i)2e尤+i

令g(x')>0,得x<2,此时g(x)单调递增，

令g(x')<。，得x>2,此时gG)单调递减,

即当T时，g(x)取得极大值即g(2)U>。,

由x<2,gG)单调递增，8(1)=匕1=0可得8(X)与》轴只有一个交点,

e%+i

由x>2,g(x)单调递减，gG)=3>0可得g(x)与x轴没有交点，

e》+i

画出g(x)的大致图象如图，可得小0或加=工时，/G)有1个零点；

e3

当0<m<L时，/(X)有2个零点；当m>—时,/(X)没有零点.

e3e3

综上所述，当加00或加二工时，/G)有1个零点；

e3

当0<m<1时，fG)有2个零点；

e3

当加〉工时，/G)没有零点.

es

【练习1】已知函数〃X)=xQ-l).

⑴求证：“X)的极小值为0;

(2)讨论方程何'(x)=xi-mx(meR)实数解的个数.

【答案】⑴证明见解析

(2)答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

(1)利用导数求解函数"X)的单调性，即可判断"X)的极小值;

(2)由题意可知方程町f(x)=%3—mx等价于x=0或xwO时机=x^e-x,构造函数g(x)=?m,利用导数求

解函数g(x)的单调性及最值，分类讨论机的取值范围即可.

(1)

解：由题得/(%)=(1+1把》-1,

所以当x£(0,+°°)时，/⑴〉ex-l〉O,/(%)在(。,+8)单调递增；

所以当xw(—8,0)时，f\x)=(x+l)e^—l<e^—1<0,/(%)在(—8,0)单调递减.

所以，/(%)的极小值为〃0)=。.

⑵

解：方程时(x)=X3-加工等价于％=0或xwO时机=X2e-x.

令g(x)=上一〃2,xwO,贝I]g'(x)=(2x-X2)e-X,由g'(x>=0,x=2

e光

随x的变化可得，⑶，g(x)情况变化如下:

X(-巩0)/(0,2)2(2,+8)

g'(x)-/+0-

g(x)/极大值

故极大值g(2)=4e-2-m,

先证明一个结论：当x>e3,不等式x>31nx恒成立.

证明：设"(x)=x-31nx,x>e3,IJJijhr{x)=――->0,

x

故"(x)在Q,+00)上为增函数，故/1(工)>/?、3)=?3-9>0,

故不等式x>31nx恒成立.

对任意的m>0,则当x>max|e3,，)时，有g(x)<，-机<0①.

LmJx

又当根V0时，方程机=x2e-x(xw0)无实数解；

当0<根<4e-2时，g(0)=-m<0,g(->/m)=mC^-l)>0,

故g(x)在(-oo,0)上有一个零点，

而g(2)>0,g(0)=-m<0,maxk3,：，>2,

结合①可得g(x)在(。，+8)上有两个零点，故方程相=心匕-式1w0)有3个实数解;

当机=4e-2时，g(0)=-4e-2<0,g(->/m)=mC'C-1X0,

故g(x)在(-co,0)上有一个零点,

而g(2)=0,故g(x)在(0,+℃)上有一个零点即方程机=X2e-x(xw0)有2个实数解；

当机>4e-2时，同理有g(x)在(-8,0)上有一个零点，

而g(2)<0,故g(x)在(0,+(»)上无零点即方程机=xze-x(x+0)无实数解；

故方程机=X2e、(x片0)有1个实数解；

综上：当加40时，方程时(x)=£-znx有1个实数解；

当0<m<4e-2时，方程呵■(尤)=尤3有4个实数解：

当〃工=4e-z时，方程何■(无)=尤3-mx有3个实数解；

当相>4e-2时，方程〃矿(x)=X3-如有2个实数解；

题型二零点问题求参数范围

【例2】已知函数/(x)=lnx-ox；

⑴若直线y=-1与函数y=fM的图像相切，求实数。的值：

⑵若函数"X)有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)1

⑵陷

【解析】

【分析】

(1)根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上，结合对数方程即可求解；

(2)根据函数的零点的定义，利用导数法求函数的最值，结合函数的单调性进行讨论即可求解.

⑴

〃x)的定义域为(0,田)且尸(尤)=』-。=匕竺

XX

设fM的图像与直线y=-1相切于尸则f'(%)=0,

所以％=—JG)=/(—］=In--1=一1,所以〃=1；

°ao\a)a

⑵

的定义域为(0,田)且「(尤)=1-a=-,

XX

当“V0时,尸⑶>0在(0,+8)上恒成立,所以广⑶在(0,+8)上单调递增,与已知矛盾,因此a>0；由-(无)>0

及尤>0,得。。<!，由/'(尤)<。及尤>0,得

aa

所以/(x)在(0,力上单调递增，在15，+8J上单调递减；

所以/(x)-k-lna-l>Ogpina<-l,所以

极大(aJVej

当时L>e,又/(l)=-a<0,7］卜0,所以在(12］有一个零点；

<a\a)<a)

令g(x)=x2—ex,贝！Jg'(x)=2x-ex,g"(x)=2-ex,由于g"(x)<0在(e,+s)上恒成立，g'(x)=2x-e*在(e,+8)上

单调递减，所以g'(x)<2e-ee<0,所以g(无)=X2-e*在(e,+co)上单调递减，所以g5g(e)=e2-ee<0,

14.

所以“X)在-,e上有一个零点;

I。a)

a

综上知当。e时函数/(x)有两个零点.

题型三证明零点个数问题

【例3-1］已知函数f(x)=lnx+X2-gax

aGR.

⑴若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数。的取值范围;

(2)证明:方程f(x)=O有且只有一个实数根.

【答案】⑴(”,4点](2)见解析

【解析】

【分析】

⑴依题意，得f'(x)=L+2x-：a20恒成立，由此可求实数。的取值范围；

x2

⑵令f(x)=0,即lnx+x2—」ax=0,即、吧+xGe(0,+oo)),也就是证明函数g(x)二

—+X的图象与直

22xX

线y=ga有且只有一个交点.由g(x)=电，x,得£6)=匕处+]=X2-lnx+1,设

2XX2X2

lnx+l(x>0),讨论(p(x)的性质，可证方程f(x)=0有且只有一个实数根.

【详解】

⑴由题得，函数f(x)的定义域为(0,口)

由f(x)=lnx+X2-J-ax,得f，(x)」+2x」a,

2x2

依题意，得f'(x)=1+2x-1aN0恒成立，

x2

所以aW：+4x在区间(0,钟)内恒成立，所以a4：+4xj

min

22

而一+4x22=40，当且仅当一=4x,

xX

即x=时，等号成立，故+4x]=4-72,

2xj

min

因此实数〃的取值范围为4右]

(2)令f(x)=0,即lnx+X2一;ax=0,

畤=等+xQ(。产))，

也就是证明函数g(x)=U"+x的图象与直线y=《a有且只有一个交点.

x2

Inx1-lnxInx+1

由g(x)=—+xyX2-+1=-------

XX2X2

记(p(x)=X2-Inx+l(x>0),

所以q/(x)=2x-1=2x2>0)

XX

令cp'(x)=0n2x2-i=o^>x=—

2

时，q/(x)<0,(p(x)在区间

内单调递减;

时，(p'(x)>0,(p(x)在区间

I2J内单调递增,

所以当x=1时，9(x)有有极小值<p1当卜，Inf+1>0,故g'(x)>0,

因此g(x)=^+x在区间(0,小)内单调递增，

X

又因为当xe(0,H),且x->0时，g(x)f”,当xf+oo时，g(x)f"，

因此函数g(x)=U、+x的图象与直线y=2a有且只有一个交点,

x2

故方程f(x)=0有且只有一个实数根.

【练习3-1】已知函数/G)=Q-x)sinx-cosx

(i)讨论函数/G)的单调性;

⑵证明：函数/G)在定义域上只有一个零点.

【答案】⑴详见解析

(2)详见解析

【解析】

【分析】

(1)利用导数研究函数单调性，对参数进行分类讨论.

(2)利用第⑴问的结论，借助函数图像研究零点问题.

⑴

f(x)=(a-x)sinx-cosx

'G)=(。-x)cosx

当。=?时，rG）＜o,所以/G）在当］上单调递减;

当“£（5，W）时，由/'（%）＜。有，xe713兀5兀

一,a或XW

2~2i~2

由/'（x）＞°有，所以/（入）在（/，"］，上单调递减,

在，,上单调递增;

713兀或式吟）

当〃£（昼,5）时，由/'（不）＜。有,XG

25T

由/'（x）＞°有，XGf—»所以/G）在［］，»■），（〃，彳）上单调递减,

在（与，“上单调递增;

综上，当时，/G）在（/，”■］上单调递减;

当ae（g,当时，/G）在“上单调递减，在卜上单调递增;

、“3n5兀、ri「（\.f7i3兀、（5兀

当。£（亏，亏）时，/G）在不，不，见才上单调递减，在上单调递增.

乙乙、乙乙）、乙

(2)

由⑴有：当°时，/G）在仁洋］上单调递减,

所以/Q）在定义域内只有一个零点;

/兀3兀、,上单调递减，在，，与）上单调递增,

当〃£（7，二"）时'

22

/(a)=-cos«>0,

所以fG）在定义域内只有一个零点;

刀兀5兀、,/（X）在上单调递减，在［彳,。）上单调递增,

当。，~2~^时，

/G)=-cosa<0,

所以fG）在定义域内只有一个零点.

【完成课时作业（二十）】

【课时作业(二十)】

1.已知函数/(x)=尤3+ax+b,a,beR.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若关于x的方程f(x)=(x-2)-(无)有3个不等实根，求/(I)+f'(l)的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

(2)(-4,4)

【解析】

【分析】

(1)求导函数，分。20,讨论导函数的符号，得原函数的单调性；

(2)令函数g(x),利用导函数分析函数g(x)的单调性，由已知得g(x)有3个不同零点，建立不等式组即可

得答案.

(1)

解：fr(x)=3x2+a,

当应0时，/。)20恒成立，故/(x)在R上单调递增；

当。<0时，令-(x)=0,则芯=

故/(x)在(一小一今2)单调递增，在(一呼2呼:)单调递减，在(竿什⑹单调递增;

⑵

解：记g(x)=/(x)-(x-2)/f(x)=%3+ax+b-{x-2)(3%2+。)=-2x3+6x2+2a+b,

则夕(1)=一612+121=61(2-1)，.0g(x)在(-g,0)和(2,+00)上单调递减，在(0,2)上单调递增,

由题可知g(x)有3个不同零点,

g(2)>0,8+2。+Z?>0,

—8<2〃+Z?<0,

g(0)<0,2a+b<0,

二./⑴+/(1)=4+2。+吐(-4,4).

2.已知函数/G)=ax2ex-1("o)

⑴讨论函数/(X)的单调性;

(2)已知xe(2,w),a>0,若函数/(x)没有零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

1

(2)—，+°°

4e2

【解析】

【分析】

（1）利用导数法求函数单调性的步骤，再分。>0和0<0进行讨论即可求解；

（2）根据（1）可知，当。>0时，函数/G）在（2,+8）上单调递增，只要保证/（2）2。即可求解.

⑴

由题意可知，了（无）的定义域为（9,内），

[6）=2axcx+ax^x=ax^x（2+x）,

令于‘x=0,贝"=0或％=—2,

当。〉0时，当％<—2或x>0时，fx-0,

当-2<%<0时，fx<0,

所以/（X）在（F，-2）和（0,+8）上单调递增，在（-2,0）上单调递减.

当〃<0时，当了<一2或x>0时，fx.0,

当一2<%<0时，fx.0,

所以/G）在（F,-2）和（0,也）上单调递减，在（-2,0）上单调递增.

综上所述，当。>0时，所以/G）在（f,-2）和（0,+Q上单调递增，在（-2,0）上单调递减.；当.<0时，所以

/（9在（、,-2）和（0,饮）上单调递减，在（-2,0）上单调递增.

⑵

当。>0时，由（1）可知，/（x）在（2,+8）上单调递增，

若函数没有零点，则/（2）=4或2-120,，。23

4e2

所以实数4的取值范围为--

|_4e2）

3.已知函数/G）=X2一qlnx.

（1）若4=2,求曲线y=/（。在点（1"（1））处的切线方程；

⑵若/G）存在两个不同的零点，求实数。的取值范围.

【答案】⑴y=i

⑵（2e,+（»）

【解析】

【分析】

（1）利用导数求出切线的斜率，得到切线方程；（2）利用分离参数法得到a=三，令g（Q=eL，根据/G）

InxInx

存在两个不同的零点，求出实数a的取值范围.

(1)

函数/G)=X2-。Inx的定义域为(0,+oo),f'{x)=2x--.

X

当。=2时,y(i)=i,r(l)=2-2=0.

所以曲线y=/G)在点Q"D)处的切线方程为:yT=oG-D,即y=L

⑵

方程/(x)=。总有两个不相等的实数根，即为X2-alnx=0和4=工有两个不相等的实数根.

Inx

设g(Q=£G>°'"i)’则g'G)「(瑞J

所以当x>x/7时，g'(x)>O,g(x)递增；当0cx<1或时，g'(x)<0,g(x)递减可得x处g(x)取得极

小值，且为2e.

因为X—>1-时，g(x)—>+OO;Xf+8时，g(x)f+00,

所以a>2e,则a的取值范围是(2e,+(x>).

4.已知函数/G)=G+l)ex+a,其中a2-l.

⑴求了G)的极值点个数；

(2)求函数g(x)=/(x)+2or在区间内的零点个数.

【答案】(1)1

⑵当。=-1时，gG)有一个零点；当a>T时，g(x)无零点.

【解析】

【分析】

(1)求导分析函数的单调性与极值点即可；

⑵令g(Q=0,得构造函数庄，x>-l,求导分析函数的单调性可得

2x+l2x+l2

从龙)=/i(0)=l,从而讨论。的范围判断零点个数即可

min

(1)

由题得/G)=G+2)ex,

当xe(“o,-2)时，r(x)<0,"x)单调递减；

当X£(—2,4-00)时，-G)>o,/G)单调递增.

所以当x=-2时，/G)取得极小值，无极大值，

故/（X）的极值点个数为：1.

⑵

由题得gG)=G+Dex+2ox+a,

令g(x)=O,得_a=G±De：

2x+1

令4)=(*)£,",

2x+l2

/Qc2+3x)e，_x(2x+3)e*

1

贝U々-7\=—7\，X>-----

(2x+l»(2x+l»2

令/（x）＜0,得一；＜%＜（）；令/（x）＞0,得x＞0.

所以Z/G）在区间,0J内单调递减，区间（0,口）内单调递增，

所以/z（x）=〃（0）=1,

min

所以当F=1,即a=T时，直线y=l与Mx）的图像有一个公共点,

即gG）有一个零点；

当-"1,即a＞-l时，直线＞与〃G）的图像无公共点,

即g（x）无零点.

5.已知函数/（x）=ex-ox,aeR.

（l）^o=e,证明：当无＞1时，/（x）＞0；

⑵讨论/G）零点的个数

【答案】⑴证明见解析；

⑵若0＜〃＜e,/G）无零点；若.＜0或。=6,/G）有一个零点；若a＞e,/G）有两个零点..

【解析】

【分析】

（1）将a=e代入解析式，求导判断了G）单调性，得函数即可证明.

（2）讨论函数/G）的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数.

(1)

证明：a=e时，y(x)=e.e无，/(x)=e*-e；

令-(%)=0,贝。x=l,

当x＜l时，f'（x）＜0,.,./（X）在（3,1）单调递减；

当X>1时，―(无)>0,.,jG)在(L+oo)单调递增；

・••76)的最小值为/(1)=0,故有当尤>1时，/G)>o.

⑵

解：①°<0时，f'M=e.-a,/(X)在R上单调递增，且/(0)=l-a>0,=

所以/G)在上有一个零点；

②a=0时，/G)=er>0,/(尤)无零点；

③a>0时，:(x)=ex-a,由:(x)=0得x=lna,

当x<lna,/(无)<0,/G)在Ina)上单调递减；当x>lna,1(无)>0,/(x)在(hw,+oo)上单调递增,

所以/(x)有最小值/(lna)=a(l-lna)

若。=6,