2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步章末综合测评含解析北师大版必修2

PAGE1-章末综合测评(一)立体几何初步(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A∈l，lα⇒A∈αC[若直线l∩α＝A，明显有lα，A∈l，但A∈α，故C错．]2．下列说法中，正确的是()A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线肯定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行C[A中，可能有多数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交．]3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC的面积是()A.eq\r(3)B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),4)A[由题图可知，原△ABC的高为AO＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×OA＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故选A.]4．下列四个命题推断正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥α，bα，则a∥bC．若a∥α，则a平行于α内全部的直线D．若a∥α，a∥b，bα，则b∥αD[A中b可能在α内；B中a与b可能异面；C中a可能与α内的直线异面；D正确．]5．已知一个圆锥的绽开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(\r(2)π,3) D.eq\r(3)πA[因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2eq\r(2)，所求体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).]6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(A．ACB．BDC．A1DD．A1D1B[CE平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE7．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),2)C[连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异面直线AD1与EF∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝eq\f(AD1,BD1)＝eq\f(\r(6),3).]8．如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．12A[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S­ABCD，其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故选A.]9．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，lα，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是()A．3B．2C．1D．0B[垂直于同一平面的两个平面不肯定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．]10．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.eq\f(3,16)B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(9,32)A[如图所示，设球的半径为R，由题意知OO′＝eq\f(R,2)，OF＝R，∴r＝eq\f(\r(3),2)R.∴S截面＝πr2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＝eq\f(3π,4)R2.又S球＝4πR2，∴eq\f(S截面,S球)＝eq\f(\f(3π,4)R2,4πR2)＝eq\f(3,16).]11．如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°D[由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC(图略)，易证BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB112．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BD B．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BD D．AC⊥BC且AD⊥BDD[A项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD，∵CD平面BCD，∴AB⊥CD.B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO⊥平面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心，连接BO，则BO⊥CD.又AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面ABO，∵AB平面ABO，∴AB⊥CD.C项，取CD中点G，连接BG，AG.∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为________cm2.16π[圆柱的底面半径为r＝eq\f(1,2)×4＝2(cm)，∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．]14．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AD的位置关系是________．垂直[由平面BCC1B1⊥平面ABCD，知MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AD.]15．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底面半径r′改变时，圆台体积的改变范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h))[V圆台＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h,0＜r′＜r.当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h；当上、下底面面积相等时，圆台变为圆柱，V圆柱＝πr2h.所以圆台体积的改变范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h，πr2h)).]16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C，则异面直线AB与CD所成的角等于________．60°[如图所示，分别取BC，AC的中点G、F，连接EG，GF，EF，则EG∥CD，GF∥AB，∴∠EGF就是AB与CD所成的角．由题意EG＝GF＝EF＝eq\f(a,2)，∴△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°.]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，四棱锥V­ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4cm，求这个正四棱锥的体积．[解]连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2cm，在正方形ABCD中，求得CO＝eq\r(2)cm，又在直角三角形VOC中，求得VO＝eq\r(14)cm，∴VV­ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·VO＝eq\f(1,3)×4×eq\r(14)＝eq\f(4,3)eq\r(14)(cm3)．故这个正四棱锥的体积为eq\f(4,3)eq\r(14)cm3.18．(本小题满分12分)如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.[证明]连接AF延长交BC于G，连接PG.在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA，∴eq\f(GF,FA)＝eq\f(BF,FD)＝eq\f(PE,EA)，∴EF∥PG.而EF平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.19．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．[解](1)交线围成的正方形EHGF，如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).20．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M[证明]由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A­DE­P为直二面角？并说明理由．[解](1)证明：∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A­DE­P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A­DE­P为直二面角．22．(本小题满分12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．[解](1)证明：依据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F平面D′AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′­ABCE＝eq\f(1,3)S四边形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r