新教材2024年高中数学第1章空间向量与立体几何综合测试题新人教A版选择性必修第一册

第一章综合测试题考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a·(a＋3b)＝(C)A．(0,34,10) B．(－3,19,7)C．44 D．23[解析]a＋3b＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a·(a＋3b)＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.2．(2024·龙岩高二检测)已知向量a＝(－1，m,2)，向量b＝(3,1，n)，满意a∥b，则m＋n＝(D)A．eq\f(19,6) B．－eq\f(19,6)C．eq\f(19,3) D．－eq\f(19,3)[解析]向量a＝(－1，m,2)，向量b＝(3,1，n)，若a∥b，设a＝kb，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝3k，,m＝k，,2＝kn，))则k＝－eq\f(1,3)，m＝－eq\f(1,3)，n＝－6，则m＋n＝－eq\f(1,3)－6＝－eq\f(19,3).3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD－A1B1C1D1外接球的直径点，P是正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的一点，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是(A)A．[－2,0] B．[－1,0]C．[0,1] D．[0,2][解析]设正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的球心为O，设球O的半径为R，则2R＝2eq\r(3)，可得R＝eq\r(3)，所以OE＝OF＝eq\r(3)，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－3当OP与正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面或底面垂直时，OP的长取得最小值即|eq\o(OP,\s\up6(→))|min＝1，当点P与正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点重合时，OP的长取最大值即|eq\o(OP,\s\up6(→))|max＝eq\r(3)，∴1≤|eq\o(OP,\s\up6(→))|≤eq\r(3)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－3∈[－2,0]．4．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝eq\f(1,2)ON，AP＝eq\f(3,4)AN，用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]因为MN＝eq\f(1,2)ON，AP＝eq\f(3,4)AN，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→)).5．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(A)A．－1,2 B．1，－2C．1,2 D．－1，－2[解析]c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的法向量，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c·a＝0，,c·b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋n＋1＝0，,m＋5n－9＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝2.))6．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]设BC边的中点为D，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－6,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，2，－1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(－1，－2,2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋4＋4)＝3.7．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上随意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(A)A．等于eq\f(\r(5),5)a B．和EF的长度有关C．等于eq\f(\r(2),3)a D．和点Q的位置有关[解析]取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，a))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(a,0，a)，eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，a))，设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DP,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)x＋az＝0，,ay＝0，))令z＝1，则x＝－2，y＝0，所以n＝(－2,0,1)是平面PGCD的一个法向量．设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2a＋a,\r(5))))＝eq\f(\r(5)a,5)，A对，C错．故选A．8.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满意B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(D)A．eq\f(6\r(5),5) B．2eq\r(5)C．2eq\r(2) D．3[解析]以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，B1(2,2,2)，设P(a，b,0)，则eq\o(B1P,\s\up6(→))＝(a－2，b－2，－2)，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1,2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴eq\o(B1P,\s\up6(→))·eq\o(D1E,\s\up6(→))＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0,0≤b≤1，∴点P的轨迹是一条线段．|eq\o(B1P,\s\up6(→))|2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(－2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可知当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P的长度的最大值为3.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，则点P的坐标为(AB)A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)[解析]设eq\o(AP,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ)．又|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，∴eq\r(3λ2＋－2λ2＋－λ2)＝eq\r(14)，解得λ＝±1，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－3,2,1)．设点P的坐标为(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y，z－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝3，,y＝－2，,z－3＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3，,y＝2，,z－3＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，,z＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，,z＝4.))故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(ACD)A．eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量B．eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量C．eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量D．eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量[解析]∵O为正方体的中心，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OC1,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB1,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→)))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→)))，∴AC正确；∵eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))是两个相等的向量，∴B不正确；∵eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))，∴eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→)))，∴D正确．11．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(ABC)A．(1，－4,2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)[解析]因为eq\o(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必需满意eq\o(PM,\s\up6(→))与法向量垂直且满意a与法向量垂直，把选项代入验证，只有选项D不满意，故选ABC．12．如图1是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图2所示，则下列结论中正确的是(AD)A．eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0B．平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直C．异面直线BC与AD所成的角为60°D．直线DC与平面ABC所成的角为30°[解析]以B为坐标原点，分别以eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD＝2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2eq\r(3)，0)，A(0，eq\r(3)，eq\r(3))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，－eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2，－eq\r(3)，－eq\r(3))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－2,2eq\r(3)，0)．∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0,0)·(0，eq\r(3)，－eq\r(3))＝0，A正确；易得平面BCD的一个法向量为n1＝(0,0，eq\r(3))，平面ACD的一个法向量为n2＝(eq\r(3)，1,1)，n1·n2≠0，B错误；|cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))||\o(AD,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|0，2\r(3)，0·2，－\r(3)，－\r(3)|,2\r(3)×\r(10))＝eq\r(\f(3,10))≠eq\f(1,2)，C错误；易得平面ABC的一个法向量为eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,0,0)，设直线DC与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(DC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)))＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点D在平面ABC内，O为平面ABC外一点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y>0，z>0)，则eq\f(1,x＋y)＋eq\f(4,z)的最小值是_9__.[解析]因为A，B，C，D共面，所以x＋y＋z＝1，又x＋y>0，z>0，则eq\f(1,x＋y)＋eq\f(4,z)＝(x＋y＋z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋y)＋\f(4,z)))＝eq\f(z,x＋y)＋eq\f(4x＋y,z)＋5≥2eq\r(\f(z,x＋y)·\f(4x＋y,z))＋5＝9，当且仅当eq\f(z,x＋y)＝eq\f(4x＋y,z)时，等号成立，所以eq\f(1,x＋y)＋eq\f(4,z)的最小值是9.14．已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD，CB＝CD＝1.①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)；②若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最大值为_2__.(本题第一空3分，其次空2分)[解析]由题意可知，在①中，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))，所以C为线段AB的三等分点(靠近点A)，如图所示，因为CB＝CD＝1，所以AB＝eq\f(3,2)，AC＝eq\f(1,2).则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0－eq\f(3,2)×eq\f(1,2)cos0＝－eq\f(3,4).在②中，因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(,)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\r(,)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2)＝eq\r(,)eq\o(BD,\s\up6(→))2)＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，如图所示，当点C是线段BD的中点时，BD取得最大值，此时最大值为BD＝BC＋CD＝2，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最大值为2.15．(2024·宿迁高二检测)自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形态一般是平行六面体，详细形态大小由它的三组棱长a，b，c及棱间交角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的对角线AC1的长为eq\r(10).[解析]如图所示：eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，依题可知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1,α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝4＋1＋1＋2×2×1×cos60°＋2×2×1×cos60°＋2×1×1×cos90°，则eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝10，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC1,\s\up6(→))))＝eq\r(10).16．(2024·扬州高二检测)在正三棱锥A－BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，则点A到平面BCD的距离为eq\f(\r(69),3)；AB与面ACD所成角的余弦值为eq\f(7\r(2),12).[解析]在正三棱锥A－BCD中，设顶点A在底面BCD上的射影为O，则AO⊥平面BCD，且O为底面△BCD的中心，连接DO并延长，与BC交于点E，则E为BC的中点，因为底面边长为2，所以DE＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，故EO＝eq\f(1,3)DE＝eq\f(\r(3),3)，OD＝eq\f(2,3)DE＝eq\f(2\r(3),3)，又侧棱长AD＝3，所以AO＝eq\r(AD2－OD2)＝eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(69),3)，故点A到平面BCD的距离为eq\f(\r(69),3)；以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(69),3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－1，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，0，0))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－1，－\f(\r(69),3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,0)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0，\f(\r(69),3)))，设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up6(→))＝\r(3)x＋y＝0,n·\o(DA,\s\up6(→))＝\f(2\r(3),3)x＋\f(\r(69),3)z＝0))，令x＝1，则y＝－eq\r(3)，z＝－eq\f(2,\r(23))，故n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\r(3)，－\f(2,\r(23))))，则|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(69),3\r(96))，所以AB与平面ACD所成角的正弦值为eq\f(2\r(69),3\r(96))，故AB与平面ACD所成角的余弦值为eq\r(1－\f(4×69,9×96))＝eq\f(7\r(2),12).四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．[解析](1)因为a∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c的夹角为θ，因为cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).所以a＋c与b＋c夹角的余弦值为－eq\f(2,19).18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→)).[解析]∵BG＝2GD，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝a＋c－2b，∴eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．[解析](1)如图1，连接B1C交BC1于点O，连接OD.∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1.∵AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)建立如图2所示的空间直角坐标系B－xyz.则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，－2,2)、eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(1,2)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝eq\f(π,3).20．(本小题满分12分)(2024·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[解析](1)在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝eq\f(1,2)，故DE＝eq\f(\r(3),2)，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(3)，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA．(2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，取AB中点O，所以∠DAO＝60°，所以三角形ADO为正三角形．过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，P(0,0，eq\r(3))，D(0,0,0)．则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(3)))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝0,\o(AP,\s\up6(→))·n＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝0，,－\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＋\r(3)z＝0)).令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)．设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sinα＝|cos〈n，eq\o(DP,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(DP,\s\up6(→))|,|n|·|\o(DP,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),\r(5)×\r(3))＝eq\f(\r(5),5)，所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为eq\f(\r(5),5).21．(本小题满分12分)(2024·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD.(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．[解析](1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M，连EM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,BD∩CD＝D，因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，FM∩EF＝F，所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME，则∠EMF为二面角E-BC-D的平面角，∠EMF＝eq\f(π,4)，因为BO＝OD，△OCD为正三角形，所以△BCD为直角三角形，因为BD＝2CD，所以FM＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，从而EF＝FM＝eq\f(2,3)，所以AO＝1.因为AO⊥平面BCD，所以V＝eq\f(1,3)AO·S△BCD＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6).22．(本小题满分12分)条件①：图(1)中tan2B＝－eq\f(4,3).条件②：图(1)中eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).条件③：图(2)中三棱锥A－BCD的体积为eq\f(2,3).从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答．如图(1)所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图(2))，点E，M分别为棱BC，AC的中点．(1)求证：CD⊥ME.(2)已知________，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求二面角M－BN－C的余弦值．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解析](1)∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB.又M，E分别为AC，BC的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.(2)方案一选①，由tan2B＝－eq\f(4,3)＝eq\f(2tanB,1－tan2B)，解得tanB＝2或tanB＝－eq\f(1,2)(舍去)．设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(x,3－x)＝2，解得x＝2，∴BD＝1.以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1,1,1)．设N(0，a,0)，0≤a≤2，则eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a－1，0)).∵EN⊥BM，∴eq\o(EN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a－1，0))·(－1,1,1)＝0，∴a＝eq\f(1,2)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴当DN＝eq\f(1,2)(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，EN⊥BM.设平面BNM的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BN,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BM,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,－x＋y＋z＝0，))令x＝1，得y＝2，z＝－1，则n＝(1,2，－1)．取平面BNC的一个法向量m＝(0,0,1)，cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(0，0，1·1，2，－1,\r(12＋22＋－12))＝－eq\f(\r(6),6)，又二面角M－BN－C的平面角为锐角，∴二面角M－BN－C的余弦值为eq\f(\r(6),6).方案二选②，在题图(1)所示的△ABC中，设eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，由平面对量基本定理知λ＝eq\f(1,3)，即BD＝1.以点D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1,1,1)．设N(0，a,0