河南省罗山县楠杆高级中学2025届高三数学上学期第二次周考试题文

PAGEPAGE9河南省罗山县楠杆高级中学2025届高三数学上学期其次次周考试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．计算cos(－780°)的值是()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)a，b为实数，集合M＝，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝()－2B.0C.2D.±23．若则（）A．B．C．D．4．命题“∀n∈N*，f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)>nB．∀n∉N*，f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)>n0D．∃n0∉N*，f(n0)>n05．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为()A．B．C．D．6．已知a>1，，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是()A．－1<x<0B．－2<x<1C．－2<x<0D．0<x<17．若eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sinθcosθ的值是()A．－eq\f(3,10)B.eq\f(3,10)C．±eq\f(3,10)D.eq\f(3,4)8.如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A．2 B．eq\f(1,2)C．－1 D.1已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是()A.－3≤a<0B.－3≤a≤－2C.a≤－2D.a<010.已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为()A.2B.3C.4D.与a的值有关11．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“和谐点”．假如函数g(x)＝x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx(x∈(0，π))，φ(x)＝ex＋x的“和谐点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b12．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________cm.14．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．15．点P是曲线y＝x2－lnx上随意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．16.给出下列四个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.其中正确的序号是________.解答题(本大题共6小题，共70分)(本小题10分)已知(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．18．(本小题12分)已知c>0，且c≠1，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,c)在上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．19.(本小题12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对随意x满意f(2－x)＝f(x)，且有最小值为1.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围.20．(本小题12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．21．(本小题12分)某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20,100]，须要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20，80]时，C(x)＝eq\f(1,2)x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝eq\f(20000,\r(x)).若每吨商品售价为eq\f(lnx,x)万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)当年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？22．(本小题12分)已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，①求f(x)在[1，e]上的最大值、最小值；②求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq\f(2,3)x3的图象的下方．楠杆中学2024-2025高三上学期周考试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题CCACDABDBADC二、填空题13.6π＋4014.eq\r(3)15.eq\r(3)16.③三、解答题17.解(1)f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝eq\f(1,8)可知(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2)，∴(3)∵α＝－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝coseq\f(5π,3)·sineq\f(5π,3)＝cos(2π－eq\f(π,3))·sin(2π－eq\f(π,3))＝coseq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(\r(3),4).18.解由p∨q为真，p∧q为假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类探讨即可．若p真，由y＝cx为减函数，得0<c<1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值为2.若q真，则eq\f(1,c)<2，即c>eq\f(1,2)，且c≠1.若p真q假，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<c<1，,0<c≤\f(1,2)，))所以0<c≤eq\f(1,2)；若p假q真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c>1，,c>\f(1,2)，))所以c>1.综上可得，c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．19.解(1)∵对随意x，f(x)满意f(2－x)＝f(x)，则有：对称轴x＝eq\f(2－x＋x,2)＝1，又∵最小值为1，∴设二次函数解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1(a≠0).∵f(x)的图象过点(0，4)，∴a(0－1)2＋1＝4，∴a＝3，∴f(x)的解析式为f(x)＝3x2－6x＋4.(2)由(1)可知f(x)＝3x2－6x＋4，对称轴x＝1，开口向上.若f(x)在区间[3a，a＋1]上不单调，则有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,3a<1，,3a<a＋1，))解得0<a<eq\f(1,3)，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).20.解(1)当a＝1时，f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋lnx，f′(x)＝x－1＋eq\f(1,x)，f′(1)＝1，又f(1)＝－eq\f(1,2)，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋eq\f(1,2)＝x－1，即2x－2y－3＝0.(2)∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x)，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋eq\f(1,x)－a＝0有解．∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2(x>0)，当且仅当x＝1时，取等号，即a的取值范围是[2，＋∞)．21.解(1)由题意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500))，x∈[20，80]，,1000lnx－\f(20000,\r(x))，x∈80，100].))(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－eq\f(x－50x＋20,x)，∴L(x)在[20,50)上单调递增，在[50,80]上单调递减，∴当x＝50时，L(x)max＝1000ln50－250；当x∈(80,100]时，L(x)＝1000lnx－eq\f(20000,\r(x))单调递增，∴L(x)max＝L(100)＝1000ln100－2000.∵1000ln50－250－(1000ln100－2000)＝1750－1000ln2>1750－1000>0，∴当x＝50，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为(1000ln50－250)万元．22.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间，当a>0时，f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)＝eq\f(x－\r(a)x＋\r(a),x)，∴当0<x<eq\r(a)时，f′(x)<0；当x>eq\r(a)时，f′(x)>0.∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(eq\r(a)，＋∞)，单调递减区间为(0，eq\r(a))．综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(eq\r(a)，＋∞)，单调递减区间为(0，eq\r(a))．(2)①解由已知得f′(x)＝x＋eq\f(1,x)，当x∈[1，e]时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1