2024年高考数学二轮复习：平面向量及其应用（分层练）解析版

专题验收评价

专题3-3平面向量及其应用

内容概览

A•常考题不丢分

向量的概念与向量的模（共2小题）

二.平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）

三.平面向量数量积的性质及其运算（共8小题）

四.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）

五.投影向量（共2小题）

六.平面向量的基本定理（共2小题）

七.数量积表示两个向量的夹角（共1小题）

A.数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）（8题）

C•挑战真题争满分（10题）

A•常考题不丢分、

一.向量的概念与向量的模（共2小题）

1.（2023•普陀区二模）设x、ycA,若向量b,c满足a=（x,l）,b=（2,y）,c=（1,1）,且向量a-b

与。互相平行，则|〃|+2g|的最小值为_36_.

【分析】可求出a-b=（x-2,l-y）,本艮据〃一人与c平行可得出y=3-x,从而得出a+2b=（x+4,7-2x）,

根据（\a\+2\bI）?..3+2b丫进行数量积的坐标运算即可求出最小值.

【角军答】解：a-b=（x-2,l-y）,且。一方与C互相平行，

二.x—2—（1—y）=0,

y=3—x,

/.a+2b=(%+4,7—2%),

(|a|+2|6|)2ffi；a+26)2=(x+4)2+(7—2x)2=5f—20x+65=5(无一2了+4545,

\a\+2\b\..3^f5,

；.|即+2方|的最小值为3遍.

故答案为：3A/5.

【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，配

方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题.

2.(2023•奉贤区二模)在集合｛1,2,3,4｝中任取一个偶数。和一个奇数6构成一个以原点为起点的向量

a=(a,b),从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行

四边形的个数是3.

【分析】可得出满足题意的向量为：(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),然后根据三角形面积公式及向量夹角的

余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：S=J|a|2g|2—m4)2,然后可分别求出以:(2,1),

(2,3),(4,1),(4,3)中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案.

【解答】解：由题可得满足题意的向量有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),

以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为：S=|。||6|sin<a,b>=|a\\b\Jl-a『也『-①金了,

V\a\-\b\

.♦.以(2,1),(2,3)为邻边的平行四边形面积为：-5x13-49=4；

以(2,1),(4,1)为邻边的平行四边形面积为：,5x17-81=2；

以(2,1),(4,3)为邻边的平行四边形面积为：75x25-121=2；

以(2,3),(4,1)为邻边的平行四边形面积为：713x17-121=10；

以(2,3),(4,3)为邻边的平行四边形面积为：713x25-289=6；

以(4,1),(4,3)为邻边的平行四边形面积为：717x25-361=8,

综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能

力，属于中档题.

二.平面向量数量积的含义与物理意义(共2小题)

3.(2023•普陀区模拟)已知向量。=(1,2),6=(3,-4),则a在6方向上的投影为_一1_.

【分析】由本题的条件向量a=(l,2),6=(3,-4),。在b方向上的投影可用两者的内积除以6的模求出，

故需要先求出两者的内积及6的模

【解答】解：由题意。=(1,2),6=(3,-4),

a-b=3-8=-5,|Z?|=5

&在6方向上的投影为0=-1

5

故答案为-1

【点评】本题考查平面向量数量积的含义及物理意义，解答本题的关键是熟练掌握投影的概念及公式，本

题是概念型题，对概念的熟练掌握与运用对正确解题很重要.

4.(2023•普陀区校级三模)若。=(1,2),。=(3,7),则。在6方向上的投影为_-1_.

【分析】投影即为|a|cos。，利用数量积运算求出cos。即可.

【解答】解：设。,6的夹角为。

。=(1,2),6=(3,-4)

|。|=占，\b\=5,a-b=-5

故投影为|a|cos6=-1

故答案为：—1

【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.

三.平面向量数量积的性质及其运算(共8小题)

5.(2023•浦东新区校级一模)已知向量a,b,2满足〃+Z?+d=O,且则〃♦/?、、a»c

中最小的值是()

A.a»bB.b・cC.D.不能确定的

【分析】利用已知条件，结合向量模的大小，转化求解数量积的大小即可.

【解答】解：向量b,。满足a+b+c=0,可得：a・c+b・c+c2=0,c?=-a*c-b・c,

同理，b?=-a.b—c・b,a2=­a・b—a・c,

a2<b2<c2,b.c<a・c<a.b.

故选：B.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的大小以及数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，

是中档题.

6.(2023•普陀区模拟)在AABC中，AB=AC=3,BD=2DC.若AD-BC=4,贝i]AB-AC=()

A.3B.-3C.2D.-2

【分析】用向量AB、AC表示出向量AD和2C,再利用BC=4求出A3•AC的值.

【解答】解：AABC中，AB=AC=3,BD=2DC,

7

所以5。=—3C,

3

2212

所以=+=+—5C=AB+—(AC-A5)=-AB+—AC,

3333

因为AD-3C=4,

bi、il222112211

所以(—AB+—A0-(AC—A3)=-AC-—ABAC-—AB=-x392-—ABAC-—x392=4,

33333333

解得A8-AC=-3.

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题.

7.(2023•宝山区校级模拟)已知。、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c-a).(c-6)=(),

贝U|c|的最大值是()

A.1B.2C.友D.—

2

【分析】由向量垂直的条件可得。山=0,运用向量的平方即为模的平方，可得|a+b|=&,再化简运用向

量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值.

【解答】解：由题意可得a.6=0,

可得|a+6|=y/a2+b2+2a»b=,

(c-a\(c-b)=c2+O.b-c»(d+b)

=|c|2-1c|.|tz+/?|cos<(a+b,4>=0,

即为Ic1=3cos<a+b,c>9

当cosva+b,c>=1BPa+b,。同向时，

|c|的最大值是0.

故选：C.

【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运

用，属于中档题.

8.(2023•杨浦区校级模拟)若向量。与b不共线也不垂直，且c=a-(3)6,则向量夹角〈&C〉=_工

a-b2

【分析】根据平面向量的数量积求夹角，即可得出答案.

【解答】解：c=a-(—)b,

a-b

/.a-c=a'(a—(-----)b)=a--------X(Q•/?)=〃—a=U,

a-ba-b

则Q_Le,即向量夹角〈a©=~-

故答案为：

2

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

9.(2023•浦东新区校级一模)已知向量〃=(岔sinx,1),b=(cosx,-l).

(1)若a//Z?,求tan2x的值；

(2)若/(X)=(〃+/?)・》，求函数f(x)的最小正周期及当工£［0,李|时的最大值.

【分析】(1)由向量〃=(6sinx,1),b=(cosx,-l),a//6得lxcosx=-lxGsinx,即tanx=-Y^,

3

可得解，

(2)由/(%)=(.+〃)•〃=sin(2x+马+L函数/(冗)的最小正周期T=纭=%,所以2x+工w［三,卫］,则

622666

了=工时，函数取最大值3.

62

【解答】解：(1)向量a=(Gsinx,1),b=(cosx,-l).

又allb,

1xcosx=-lx(6sinx),

乌

3

c2tanxrr

tan2x=---------=-v3，

1一tarrx

(2)•.f(x)=(a+b)»b,

二•f(x)-A/3sinxcosx+cos2x

.101

——sin2%~\—cos2xH—，

222

•/c万、1

—sin(2xH—)H—，

62

/.函数/(x)的最小正周期T=半=»，

xe[0,—],

2

c717l7»r

2%HGr—,1,

666

即2%+生=生即x=工时，函数取最大值3,

6262

故函数的周期为：万，当xe[0,时的最大值|.

【点评】本题考查了平面向量数量积公式，平面向量共线的坐标表示及三角恒等变形，属中档题

10.(2023•黄浦区模拟)已知单位向量d与6,向量b在。方向上的投影向量为4,且4=4a(2eR),若

缶,。〉的取值范围是号素，则X的取值范围是

【分析】根据投影向量可得力/)cos〈a，6〉=cos〈a,6〉,根据余弦函数的值域即可得2的取值范围.

lol

【解答】解：根据题意可知Ia|=|)|=1,

.,.向量E在。方向上的投影向量为4=|方|cos(3,•—=—cos(a,b')-a,

|o|\a\

\b\cos(a,b)_

..A/——C0S\4Z,u/,

\a\

〈。,力的取值范围是2],

36

2=cos〈a,Z?〉G.

故答案为：J*,;1.

【点评】本题考查投影向量的概念，函数思想，属中档题.

11.(2023•黄浦区校级三模)已知向量机=(25]!15：,(：0523：),〃=(3(：055,1),其中G>0,若函数

f(x)=m-n的最小正周期为万.

(1)求/(%)的单调增区间；

(2)在AABC中，若f(B)=一2,BC=y/3,sinB=y/3sinA,求BA-BC的值.

【分析】(1)根据题意，由辅助角公式将函数/(尤)化简，再由函数周期即可求得。，再根据正弦型函数的

单调区间即可得到结果；

(2)根据题意，由(1)中函数/(尤)的解析式可得2=(,再由正弦定理可得a=c,再结合平面向量数

量积的定义代入计算，即可得到结果.

【解答】解：(1)/(x)=m-n=y/3sin2a>x+cos2a>x=2sin(2<yx+—),

6

/(X)的最小正周期为71,

••1—-----71,

2a)

.,.(2)=1.

故=2sin(2x+—)，

6

令2左〃"一工张必x+22k7r+—,解得左左一生麴kk7r+—,kELZ,

26236

故函数/(x)的单调增区间为内万-工,族+生HeZ；

36

(2)设AABC中角A,B,C所对的边分别是。，b,c.

jrTT2%

f(B)=—2,/.2sin(2B+-)=-2,即sin(2B+—)=—1,解得5=—.

663

BC=石，/.a=6，sin3=6sinA,

b—，

〃=3,sinA=g,

JLJLJL

0<A<-,/.A=-,C=-,

366

a=c=yfi,

BA-BC=c-a-cosB=3x(―^)=—^.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

12.(2023•黄浦区校级三模)在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,P为AABC所在平面内的动点,

且PC=2,若CP=2C4+〃C8,则给出下面四个结论：

①彳+〃的最小值为-1；

②4+〃的最大值为士;

③P4PB的最小值为-6；

④的最大值为8.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】以C为坐标原点，分别以C4、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，可得C(0,0),A(3,0),

A(0,4),设P(2cosO,2sin。)，利用CP=2C4+〃CB,可得彳=至|叱，，得至!］彳+〃，再由辅助

角公式化积，即可求得几+〃的最值，从而判断①②；利用数量积的坐标运算求出PA-P8,然后利用三角

函数求最值判断③④.

【解答】解：如图，

以C为坐标原点，分别以6、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系,

则C(0,0),A(3,0),6(0,4),设尸(2cosa2sin6),

CA=(3,0),CB=(0,4),CP=(2cos6»,2sin0),

由CP=2CA+〃CB,得(2cos0,2sin0=(3/l+4H),即4=^2^,u=^-,

32

12[i~~454

/.2+//=—sin+~cos=+—sin(0+(p)=—sin(0+(p),tan^?=—,

2+〃的最小值为-焉，最大值为:，故①②错误；

PA=(3—2cos。,一2sin6),P3=(—2cos6,4—2sin9),

3

PAPB=4cos1234^-6cos^+4sin2-8sin=4-(8sin+6cos0)=4-10sin(6+①),tan①二一.

4

二.PA・P5的最小值为-6,大值为14,故③正确，④错误.

/.正确结论的个数是1,

故选：A.

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用三角函数求最值，建系是关键，是中档题.

四.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(共1小题)

13.(2023•嘉定区模拟)已知向量。=(2,-1),6=(1,f),S.\a+b\=\a-b\,则f=2.

【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可.

【解答】解：|a+b|=|a-b|,则a_L6,

a.b=2x1-lxt=0,//=2,

故答案是：2.

【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键.

五.投影向量(共2小题)

14.(2023•南岗区校级二模)已知向量4=(1,8)，且°,。的夹角为工，m+b)―(2a-36)=4,则方在a

3

方向上的投影向量等于-a.

~4~

【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出|加，再结合投影向量的公式，即可求解.

【解答】解：向量。=(1,6)，

贝Ha1=2,

(a+b)-(2a-3b)=4,

则26-。.6—362=4,即8-2x|6|x；-3g『=4,解得|6|=1,

故6在a方向上的投影向量等于16|cos(x告=%.

故答案为：-G.

4

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

15.(2023•松江区校级模拟)已知向量a=(1,6)，6=(0,1),则6在a方向上的投影向量等于_(字

【分析】求出。电=也,|。|=2,根据投影向量的概念即可求得答案.

【解答】解：由题意向量。=(1,若)，6=(0,1),

贝!Ja/=代a|=2,

则b在a方向上的投影向量为".g=走［0白)=(1,3).

|a|\a\2244

故答案为：(¥,手.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题.

六.平面向量的基本定理(共2小题)

16.(2023•徐汇区校级三模)如图，在AABC中，点、D,E是线段3c上两个动点，5.AD+AE=xAB+y,

【分析】根据平面向量的线性运算可得尤+y=2,再利用乘1法结合基本不等式可解.

【解答】解：如图可知，x,y均为正数，设=+AE=AAB+JLIAC,

由3,C,D共线设=则由向量的加法法则可得54+=+,

/.AD-ctBA.—BA+ciAC—(1—ci)AB+QAC.

=l,同理X+〃=l,

AD+AE=xAB+yAC=(m+A.)AB+(〃+//)AC,

:.x+y=m+n++]u=2,

-+-=-(-+-)(%+y)=-(5+^+—)...-(5+2t--)=-,当且仅当y=2x,即无=2,y=d时，取

xy2xy2xy2\xy233

等号，

故答案为：--

2

【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及基本不等式相关知识，属于基础题.

17.(2023•青浦区校级模拟)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与3。相切的

圆上，若AP=XA8+〃AO,则1+〃的最大值为3.

【分析】如图：以A为原点，以至，AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准

方程，再设点P的坐标为cos6+1,2*sind+2),根据AP=XA8+〃A£),求出X,月，根据三

角函数的性质即可求出最值

【解答】解：如图：以A为原点，以AB,4)所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,

则A(0,0),8(1,0),0(0,2),C(l,2),

动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r,

BC=2,CD=1,

:.BD=4》=芯

-BC.CD=-BD.r,

22

.2^/5

/.r------,

5

圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=|,

设点P的坐标为(竿cosO+1,当sind+2),

AP=AAB+4Ao,

.•.(平cosO+1,平sin6+2)=2(l,0)+〃(0,2)=(2,2〃)，

，^^cos6+l=2,^^sin6+2=2〃，

/.2+jLi=^^cos0+sin+2=sin(^+(p)+2,其中tan°=2,

•.•一掇瓦n(e+0)1,

.,.啜叫+〃3，

故4+4的最大值为3,

故答案为：3

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生

的运算能力和转化能力，属于中档题.

七.数量积表示两个向量的夹角（共1小题）

18.(2023•杨浦区校级三模)对任意两个非零的平面向量。和〃，定义a®8=若.若平面向量。，b

满足|a|...|b|>0,a与6的夹角。e(0,e)，且。。*6和6凶a都在集合｛勺〃eZ｝中，则“区)。=—.

42一2一

【分析】根据题中的定义，化简整理得aNbJ'ssO/且田区叱叫侬瞋',其中机、〃都是整

\b\2\a\2

数.两式相乘可得cos?，=也，由|a|...|b|>0且。与6的夹角6e(0g),讨论可得根=1且〃=3,从而

44

得出。凶人的值.

【解答】解：由题意，可得

a®b~_I1*11cos0_\a\cosOn

a~b.b~\b\2~\b\"2)

同理可得：b(S)a=]b｝COs3=-,其中机、”都是整数

|a|2

将化简的两式相乘，可得cos?。：”.

4

■\a\..]b\>0f切且机、riGz,

jr_1

4与6的夹角de(Oq),可得cosZdeq,1)

即取e(J_,1),结合加、,均为整数，可得帆=1且力=3,从而得aW)b=4=3

4222

故答案为：-

2

【点评】本题给出新定义，求式子的值.着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和

整数解的讨论等知识，属于中档题.

八.数量积判断两个平面向量的垂直关系(共1小题)

19.(2023•闵行区校级三模)已知向量。=(x,1),6=(-2,3),若。，匕，则实数x=

【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

【解答】解：。=(无』),6=(-2,3),aLb,

贝lJ—2x+3=0,解得了=-.

2

故答案为：-.

2

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

B•拓展培优拿高分、

选择题(共2小题)

1.(2022•上海自主招生)\b\^a\=\c\=l,a-b=~,则(a+b)(2b-c)的最小值为()

2

A.3+括B.3-5/3C.2+-J2D.2-V2

【分析】设b=(l,。)，a=(；,c=(cos%sine),根据向量的数量积以及三角函数的有关知识即可

求解结论.

【解答】解：|。目"|二|。|=1,

2

可设匕=(1,0),〃=(；,,c=(coscr,sincr),aw[0,2%),

33TC

(a+Z?)•(2Z?—c)=(一,2)•(2—cosa,—sina)=3一~cosa—sina=3—^3sin(a+-),

当sin(a+5)=1时，(a+b)•(2b-c)取最小值3-百.

故选：B.

【点评】本题主要考查向量数量积的应用以及三角函数的有关知识，属于中档题.

2.(2022•上海自主招生)AABC,M为平面上一点，AM=-AB+-AC,^^-=()

34

Q3

A.3B.8C.-D.-

38

【分析】延长40交3C于G,贝ljAG=XAB+(1—X)AC,因为A,M,G三点共线，所以AG=/A〃，

2

♦3-

2.1.--则上二号，故4=_1且”乜，又CG=ACB,故

即;L4B+(l—>l)AC=«—AB+ZAC)，所以1

1-A31111

4-

CG=«CB'所以累=履—,从而可得面积之比.

GA12

【解答】解：如图，延长40交3。于G,则AG=2AB+(1-2)AC,因为A,M,G三点共线，所以

AG=tAM,

21

即AAB+(1-2)AC=Z(-AB+-AC),

2

所以上=?，则/-色且Y

—,故％=

1-211-A31111

4

Q

又CG=ACB,故CG=—CB,

11

二匚aBG3GM_1

所以一=-

CG8^4~12

所以S2MC=1S帖GM=WX打1^^ABM

所以也吼=3.

SAfiCM

故选：A.

G

【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于中档题.

二.填空题（共5小题）

（•上海自主招生）在中，若为内心，且满足

3.2020AABCcosNB4c=g,OAO=xAB+yAC,贝！Jx+y的

最大值为—-

【分析】设==+根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答.

【解答】解：延长AO交于O,设与圆O相切于点石，AC与圆O相切于点方，则=OF,则

OE”OD,

设AD=AAO=AxAB+AyAC,

因为区、。、。三点共线,

匚匚…cc।目"1AOAOAO111

所以Ax+A,y=1,即x+y=-=-----=-------------,,------------

AADAO+ODAO+OE.OEOF~7^4

1+——1+——1+sin—

OAOA2

A1A

因为cosA=l-2sin2—=-,所以sin—=

232

所以》+为」r=上£

1+32

3

故答案是：三回

【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于

中档题.

4.（2022•宝山区校级模拟）已知向量2）,其中|4|=」,|切=1,0加=工且弓=。+4佝（00=&）.设

28|a|

g

q与-Z?的夹角为4,若对于任意4,0＞。，总有女＞lcosq-cos%I，则左的最小值为_—_.

8

【分析】不妨设。=。4,b=OB,则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；

【解答】解：不妨设Q=Q4,b=OB,则向量问题可转化为如下解三角形问题：

由a•。=|OA|•|051cosZAOB=＞cosZAOB=—,-b=BO，

4

同时由余弦定理，|AB|=7lOA|2+|0B|2-2|OA|-1OB|-cosZAOB=1,

而c；=a+r;a0（r；.＞0）实际上表示的是OA的延长线OA'.

^Ci-b=OA'-OB=BA',而，则与一。的夹角。=//98。.

可知，随着10Al的增大，NA;BO也在增大，贝hos19在减小，

由题意，只需求cos。所趋近的最大值和最小值即可.

第一种极限情况，当A'与A重合时，cos。=cos/ABO=网『+冏『一|所=',

2-\BO\-\BA\8

第二种极限情况，当A位于。4的延长线无穷远处时，区4'可看作与QT平行，根据两条平行直线同旁内角

互补的性质，cos0=cos（^--ZAOB）=-cosZAOB=,

71Qg

由于左＞|cos4—cos%I恒成立，则左…|—+—|二一，则k的最小值为一.

8488

故答案为：

8

【点评】本题考查平行向量的综合运用，同时也涉及了余弦定理以及极限思想的运用，考查数形结合思想

及运算求解能力，属于难题.

5.(2022•浦东新区校级模拟)已知非零平面向量°力,c满足|a-b|=4,且(a-c)•(6-c)=-1,若d与6的

夹角为6,且则|c|的取值范围是」2-两

【分析】由向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.

C

令a=OA,b=OB,c=OC,

贝|J|A4|=4,取AB中点

由（Q—C）•（Z?—C）=—1,

可得04。=-1,

CACB={CM+MA）■（CM-MA）CM|2-|M4|2=|CM|2--\AB|2=-1,

4

所以|CM「=3,

即C在以〃为圆心石为半径的圆上.

由|c|=|+MC|,

当。、M,C三点共线时（M在线段OC上）,©“皿=|0M|+6，©,四=1。加|+右.

由于。在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G,

由正弦定理可知2|03|=四，

sin。

BP|OG|=^-,^e［-,-］，

sin。32

当。=生时，圆G半径|OG|取得最大值壮君，

33

|GM|=4GB『一|BM『=Jg同一2?=乎,

当。、M,G三点共线（G在线段上），且。=三时，|0M|取得最大值，

3

此时IOM1mm=|G>G|+|GM|=2A/3；

显然当。、M.C三点共线（点C在线段上），|c=|0M|-73,

当工时，圆G半径|OG|取得最小值2,

2

IGM\=^\GB^-\BM^=^22-22=0,即M、G两点重合.I。加I取得最小值为2,

则0=］时，|0位=2-月・

故向量e的模取值范围是［2-括,3括］,

故答案为：［2-也,3力］.

【点评】本题考查了向量的几何意义，平面向量数量积的性质及运算，属于难题.

6.(2022•闵行区校级模拟)已知平面向量4,b,c满足|a|=l,|6|=2,\a-c\=\b-c\=3,

c=2a+>0,〃>0).当2+〃=4时，|c|=_.

【分析】分析题目条件，作。4=。,05=6,6^=。得到|。|=口@=3,画出草图，得至UOC=4OP,过。点，

C点分别向AB作垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出NG4B=6,然后利用角表示边，通

过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出卜|的大小.

【解答】解：作：OA=a,OB=b,OC=c,

由题意有：=3,同理：|c@=3,

设直线OC与直线AB交于点P,

c=Xa+>0,〃>0),

点尸在线段相上(不含端点)，

又力+〃=4,可知。。=4。尸，

作OG_LAB于G,CW_LAB于X,

有CW=3OG,PH=3PG,

记NCBA=6,

(1)当点G在线段钻上时，CH=3sin3,

BH=AH=3cos。nOG=-CH=sin0,

3

.­.AG=yJo^-OG2=cos6>,故BGnScos。，

又因为心+叱=。笈,

可得：sin26»+25cos26»=4,

可解cos0=—，进而sin0=翅4,

44

3333.3/_

止匕时，PH=—GH=—(BG—BH)=—cos8=-^-,CH=3sin^=-A/14,

44284

可得CP=JP42+C52=3回,

8

所以OC=±PC=U^

32

(2)当点G在线段AB的反向延长线上时，同(1)方法可推得点尸与点A重合，矛盾,

综上，|c|=|(5c|=~^~'

故答案为：叵.

2

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质与运算，属于难题.

7.(2023•闵行区校级一模)已知e为单位向量，向量41满足|〃-2e|=21Z?-3e|=3,则〃久的取值范围是

[-3-24]_.

【分析】建立平面直角坐标系，设e=(1,0),。=(羽y)/=(私〃)，确定点A,_8的轨迹，从而设

A(2+2cosa,2sina),B(3+3cos/7,3sin/3),求出〃的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性

质即可求得答案.

【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，令6=(1,0),。4=氏05=6，

设A(%,y),30,〃)则由|。一26|=2,|8—36|=3,可得(兄一2)2+丁=4,(m-3)2+n2=9,

即点A轨迹为以Q(2,0)为圆心，半径为2的圆，

点8轨迹为以Q(3,0)为圆心，半径为3的圆，

则设A(2+2cosa,2sina),8(3+3cos/3,3sinfJ),

则4•A=(2+2cosa)(3+3cos/)+2sini・3sin[3

=6+6cosa+6cos/3+6costrcos力+6sinasin/3

=6+6cos/3+6sin力sina+(6cos0+6)cosa

=6+6cosp+6y/sin2/3+(1+cos/3)2sin(6Z+(p)»(cp为辅助角)

=6+6cos/3+6^/sin2£+1+2cos°+cos20sin(a+夕)

=6+6cos°+6^/2+2cospsin(a+9),

令，2+2cos尸=A,贝ij2+2cos/3=A1,

2cos，=22-2,

贝U=6+3A2-6+62sin(a+(p)=3A2+6Xsin(a+°),

又一费瓦n(a+(p)1,/.3A2-62M-b322+62,

而—1麴bos/?1,怎见2,?.3A2-62G[-3,0],322+6^G[0,24],

故—3轰女包24,故。力的取值范围是[—3,24].

故答案为：[-3,24].

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题.

三.解答题(共1小题)

,O77-

8.(2022•徐汇区校级模拟)已知AABC中，AC=1,ZABC=—,设44C=x,记/(x)=AB・5C；

(1)求函数/(%)的解析式及定义域；

(2)试写出函数了(无)的单调递增区间，并求方程f(x)=」的解.

6

【分析】(1)由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数/(X)的解析式.

(2)利用正弦函数的单调性求得了(尤)的单调区间，并求出x的值.

【解答】解：(1)由正弦定理有匹=—

sinx•.71

sin飞sin(y-X)

sin(--x)

BC=——-»sinxAB=^--

.2兀.2%

sin——sin——

33

二.f(x)=AB»BC=—sinsin(——x)«—=—(-^cosx——sinx)sinx=—sin(2x+—)——,

332322366

其定义域为(0,工)

3

(2)-—+2k7i^&x+——+2k7ikeZ,

262

.•.-------F左TT用!—Fkji,kJZ,

36

尤e(0()

递增区间(0,工］,

6

•方程/(x)=—=-sin(2x+

6366

71

sin(2x+-)=l,

解得％=工.

6

【点评】本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力

和计算能力，属于中档题.

C•挑战真题争满分、

选择题(共1小题)

1.(2021•上海)在AA5c中，。为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在AABC,使得

ABCE=O；②存在AABC,使得CE//(CB+CA)；它们的成立情况是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【分析】设A(2x,2y),3(-1,0),C(l,0),0(0,0),E(x,y),由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB

中点，可得(C5+C4)=2CF,由。为中点，可得CF与")的交点即为重心G,从而可判断②

【解答】解：不妨设A(2x,2y),B(-l,0),C(l,0),£>(0,0),E(x,y),

①A8=(-l-2x,-2y),CE=(x-l,y),

^ABCE=0,则-(l+2x)(x-l)-2y2=0,即-(1+2x)(尤-1)=2/，

满足条件的(x,y)存在，例如(0,?),满足上式，所以①成立；

②F为AB中点,(CB+C4)=2CB,CF与AD的交点即为重心G,

因为G为4)的三等分点，