天津市和平区2024届中考数学最后冲刺模拟试卷（含解析）

天津市和平区2024届中考数学最后冲刺模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.二次函数尸-*2_4*+5的最大值是（）

A.-7B.5C.0D.9

2.明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼•明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）.明明从A

地出发，同时亮亮从B地出发•图中的折线段表示从开始到第二次相遇止,两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的

函数关系的图象，贝（K）

A.明明的速度是80米/分B.第二次相遇时距离B地800米

C.出发25分时两人第一次相遇D.出发35分时两人相距2000米

3.某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛.小颖已经知道了自己

的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）

A.方差B.极差C.中位数D.平均数

4.正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25,它们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR

相交于S点，则四边形RBCS的面积为（）

5.如图，扇形AOB中，OA=2,C为弧AB上的一点，连接AC,BC,如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分

的面积为（）

B

A.生一0B.生-2®c-D-2

33-T^-T^

6.计算士回的值为（）

A.±3B.±9C.3D.9

7.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,NDBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时

针旋转，记旋转后的ABCE为ABUE，.当线段BE，和线段BC都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD

为等腰三角形，则线段DG长为（）

8.如果3a2+5a—l=0,那么代数式5a（3a+2）—（3a+2）（3a—2）的值是（）

A.6B.2C.-2D.-6

b

9.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=—在同一坐标系中的大致图象可能是（）

x

10.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线

外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，将AAOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到AC8,若ZAO3=15。，则N4O。的度数是.

12.已知关于x的方程x2-2x+n=l没有实数根，那么|2-n|-|1-n|的化简结果是.

13.若方程x2+（m2-l）x+l+m=O的两根互为相反数，则m=

14.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sinNOCE=▲

15.在4/B。中，化=90°，AC=3,BC=4,点DEP分别是边阳NC3C的中点，则）的周长是---------

16.因式分解：9a3b-ab=.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了

旗杆的高度.如图2,某一时刻，旗杆A8的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长

3c为4米，落在斜坡上的影长为3米，ABVBC,同一时刻，光线与水平面的夹角为72。，1米的竖立标杆产。在

斜坡上的影长0?为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin72-0.95,cos72-0.31,tan72°~3.08）

图1

18.（8分）如图，△ABC中，AB=AC,以A3为直径的。。与3c相交于点。，与CA的延长线相交于点E,过点O

作DF±AC于点F.

（1）试说明。尸是。。的切线；

（2）若AC=3AE,求tanC.

19.（8分）抛物线y=Q%2+匕%—3。经过A（-1,0）,C（0,-3）两点，与x轴交于另一点B.求此抛物线的解析式;

已知点D（m,-m-l）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D，的坐标;在（2）的条件下，连结BD,

问在x轴上是否存在点P,使NPCB=NCBD,若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（8分）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，

二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.求

二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%,

求每辆山地自行车的进价是多少元？

21.（8分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,AD=DC,DC2=DE«DB,求证：

（1）ABCE^AADE；

22.（10分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻

炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试.现将项目选择情况及

训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.

项目选择人数情况统计图训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图

请你根据上面提供的信息回答下列问题：扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为..度，该班共有学生人，训练

后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是,.老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学

生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率.

23.（12分）春节期间,，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.

租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费.

共享汽车：无固定租金，直接以租车时间（时）计费.

如图是两种租车方式所需费用yi（元）、y2（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题:

（1）分别求出yi、y2与x的函数表达式;

（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案.

24.计算：-22+2COS60°+(n-3.14)°+(-1)2018

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解题分析】

直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案.

【题目详解】

y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9,

即二次函数y=-x2-4x+5的最大值是9,

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键.

2、B

【解题分析】

C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；

A、当x=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程+时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二

者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；

B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度x第二次相遇的时间—A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇

时距离B地800米，B选项正确；

D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度x出发时间，

即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误.

【题目详解】

解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3x2800米，且二者速度不变，

c=60+3=20>

，出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；

亮亮的速度为2800+35=80（米/分），

两人的速度和为2800+20=140（米/分），

明明的速度为14。-80=60（米/分），A选项错误；

第二次相遇时距离B地距离为60x60-2800=800（米），B选项正确；

出发35分钟时两人间的距离为60x35=2100（米），D选项错误.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

3、C

【解题分析】13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，

故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了.

故选C.

4、D

【解题分析】

根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR,求出AABRs^DRS,求出DS,根据面积公式求出即可.

【题目详解】

•正方形ABCD的面积为16,正方形BPQR面积为25,

•*.正方形ABCD的边长为4,正方形BPQR的边长为5,

在RtZkABR中，AB=4,BR=5,由勾股定理得：AR=3,

•••四边形ABCD是正方形，

ZA=ZD=ZBRQ=90°,

.,.ZABR+ZARB=90°,NARB+NDRS=90。，

；.NABR=NDRS,

VZA=ZD,

/.△ABR^ADRS,

*_A_B____AR

••DR—DSf

••一9

1DS

......阴影部分的面积S=S正方形ABCD-SAABR-SARDS-4X4--x4x3--x—xl=—,

2248

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出AABR和ARDS的面积是解此题的关键.

5、D

【解题分析】

连接OC,过点A作ADLCD于点D,四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2,再由OA=OC可知△AOC是等边三角

形，可得NAOC=NBOC=60。，故AACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出

-

AD=OA«sin60°=2义旦=6,因此可求得S阴影=S扇彩AOB-2SAAOC=I2。"*2-2x—x2x^/3=-2y/3•

2360

点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键.

6、B

【解题分析】

V(±9)2=81,

.,.+781=±9.

故选B.

7、A

【解题分析】

25257

先在RtZkABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=—，则AF=4--.再过G作

888

25

GH/7BF,交BD于H,证明GH=GD,BH=GH,设DG=GH=BH=x,贝！|FG=FD・GD=--x,HD=5-x,由GH〃FB,

8

后।FDBD口f

得出而=而’即可求解.

【题目详解】

解：在RtAABD中，・.・NA=90。，AB=3,AD=4,

；.BD=5,

在RtAABF中，；NA=90°,AB=3,AF=4-DF=4-BF,

.\BF2=32+(4-BF)2,

解得BF=—,

o

257

・・AF=4--=—・

88

过G作GH〃BF,交BD于H,

.\ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

.\ZFBD=ZFDB,

AZFDB=ZGHD,

Z.GH=GD,

111

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

又・.・NFBG二NBGH,ZFBG=ZGBH,

.\BH=GH,

25

设DG=GH=BH=x,贝！JFG=FD-GD=—-x,HD=5-x,

8

VGH/7FB,

FDBD口口2々55

••----=-----,BPg=-----，

GDHD—5-x

x

25

解得X=

13

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是

解题关键.

8、A

【解题分析】

【分析】将所求代数式先利用单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后利用整体代入思想

进行求值即可.

【题目详解】••,3a2+5a-l=0,

.'.3a2+5a=l,

:.5a(3a+2)-(3a+2)(3a-2)=15a2+10a-9a2+4=6a2+10a+4=2(3a2+5a)+4=6,

故选A.

【题目点拨】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行

解题是关键.

9、D

【解题分析】

根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0,bVO和a<0,b>0两方面分类讨论得出答案.

【题目详解】

解：Vab<0,

.••分两种情况：

(1)当a>0,bVO时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此

选项；

(2)当aVO,b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合.

故选D

【题目点拨】

本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

10、C

【解题分析】

根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解.

【题目详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11>60°

【解题分析】

根据题意可得ZAOD=ZAOB+ZBOD，根据已知条件计算即可.

【题目详解】

根据题意可得：ZAOD=ZAOB+ZBOD

ZAC®=15。，ZBOD=45°

.-.ZAO£>=45°+15°=60°

故答案为600

【题目点拨】

本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.

12、-1

【解题分析】

根据根与系数的关系得出b2-4ac=(-2)2-4xlx(n-1)=-4n+8<0,求出n>2,再去绝对值符号，即可得出答案.

【题目详解】

解：关于x的方程x2-2x+n=l没有实数根，

/.b2-4ac=(-2)2-4xlx(n-1)=-4n+8V0,

/.|2-n|-11-n|=n-2-n+l=-l.

故答案为-1.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.

13、-1

【解题分析】

根据“方程/+6/-1)x+l+m=0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式,

解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可.

【题目详解】

•••方程r2+(7«2-1)X+1+»I=0的两根互为相反数，

/.I-m2=d,

解得：m—1或-1,

把机=1代入原方程得：

x2+2—Q,

该方程无解，

・••根=1不合题意，舍去,

把机=-1代入原方程得：

x2=0,

解得：Xl=X2=0,(符合题意)，

:.m=-1,

故答案为-L

【题目点拨】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键.若XI,X2

hc

为方程的两个根，贝Uxi,X2与系数的关系式：%+4=——,可々=一•

aa

14、—

13

【解题分析】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，

设AB与CD相交于点E,则根据直径AB=26,得出半径OC=13；由CD=24,CD1AB,根据垂径定理得出CE=12；

在RtAOCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin/OCE的度数：

sinZOCE=。

OC13

15、6

【解题分析】

首先利用勾股定理求得斜边长，然后利用三角形中位线定理求得答案即可.

【题目详解】

解：；RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

AB'AC2+8产耳+产5,

;点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，

.*.DE='BC,DF='AC,EF=〈AB,

222

ACADEF=DE+DF+EF=/BC+/AC+/AB=i_(BC+AC+AB)=^(4+3+5)=6.

22222

故答案为：6.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理和三角形中位线定理.

16、ab(3a+l)(3a-l).

【解题分析】

试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.

试题解析：原式=ab(9a2-l)=ab(3a+l)(3a-l).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

三、解答题(共8题，共72分)

17、13.1.

【解题分析】

试题分析：如图，作CM〃AB交AD于M,MN_LAB于N,根据型=骂，可求得CM的长，在RTAAMN中利用三

CDQR

角函数求得AN的长，再由MN〃BC,AB〃CM,判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据

AB=AN+BN即可求得AB的长.

试题解析：如图作CM〃AB交AD于M,MN_LAB于N.

由题意韶,哼蒋CM=1

在RTAAMN中，・・・NANM=90。，MN=BC=4,ZAMN=72°,

AN

Atan72o=—,

NM

•••ANR2.3,

VMN/7BC,AB//CM,

J四边形MNBC是平行四边形,

3

.*.BN=CM=-,

2

AAB=AN+BN=13.1米.

A

考点：解直角三角形的应用.

亚

18、(1)详见解析；(2)tanC=—

2

【解题分析】

(1)连接OD,根据等边对等角得出NB=NODB,ZB=ZC,得出NODB=NC,证得OD〃AC,证得OD_LDF,从

而证得DF是。。的切线；

(2)连接BE,AB是直径，NAEB=90。，根据勾股定理得出BE=2&AE,CE=4AE,然后在R3BEC中，即可求

得tanC的值.

【题目详解】

/.ZB=ZODB,

VAB=AC,

.•.NB=NC,

/.ZODB=ZC,

.\OD#AC,

VDF1AC,

AOD1DF,

；.DF是。。的切线;

(2)连接BE,

VAB是直径，

...NAEB=90°,

VAB=AC,AC=3AE,

；.AB=3AE,CE=4AE,

：•BE=1AB°—AE°=2应AE，

在RTABEC中,tanC嚷二噜考

19、(1)y=x2-2x-3

(2)(0,-1)

(3)(1,0)(9,0)

【解题分析】

(1)将A(-1,0)、C(0,-3)两点坐标代入抛物线y=ax?+bx-3a中，列方程组求a、b的值即可;

(2)将点D(m,-m-1)代入(1)中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D，

的坐标;

(3)分两种情形①过点C作CP〃BD,交x轴于P,则NPCB=NCBD,②连接BD，，过点C作CP，〃B»,交x轴

于P',分别求出直线CP和直线CP，的解析式即可解决问题.

【题目详解】

解：(1)将A(-1,0)、C(0,-3)代入抛物线y=ax?+bx-3a中,

a—b—3a=0

得

—3a=—3

62—1

解得＜

b二—2

Ay=x2-2x-3；

(2)将点D(m,-m-1)代入y=x?-2x-3中，得

m2-2m-3=-m-l,

解得m=2或T,

■.•点D(m,-m-1)在第四象限，

・・・D(2,-3),

・・•直线BC解析式为y=x-3,

/.ZBCD=ZBCO=45°,CD'=CD=2,OD'=3-2=1,

二点D关于直线BC对称的点D，（0,-1）；

（3）存在.满足条件的点P有两个.

①过点C作CP〃BD,交x轴于P,则NPCB=NCBD,

\•直线BD解析式为y=3x-9,

•.•直线CP过点C,

二直线CP的解析式为y=3x-3,

••.点P坐标（1,0）,

②连接BD，，过点C作CP，〃B»,交x轴于P，，

/.ZP,CB=ZD,BC,

根据对称性可知ND，BC=NCBD,

.,.ZP,CB=ZCBD,

•.•直线BD，的解析式为y=gx—l

•.•直线CP，过点C,

直线CP，解析式为y=—3,

坐标为（9,0）,

“

综上所述，满足条件的点P坐标为（1,0）或（9,0）.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的综合运用.关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点

的坐标，学会分类讨论，不能漏解.

20、（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元.

【解题分析】

（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价+单价，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【题目详解】

(1)设二月份每辆车售价为X元，则一月份每辆车售价为(X+100)元,

3000027000

根据题意得:

x+100x

解得：x=900,

经检验，x=900是原分式方程的解，

答：二月份每辆车售价是900元；

(2)设每辆山地自行车的进价为y元，

根据题意得：900x(1-10%)-y=35%y,

解得：y=600,

答：每辆山地自行车的进价是600元.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解题分析】

(1)由NZMC=NOCA,对顶角可证△

(2)根据相似三角形判定得出A进而得出利用相似三角形的性质解答即可.

【题目详解】

证明：⑴VAD=DC,

.\ZDAC=ZDCA,

,.•DC2=DE«DB,

,/ZCDE=ZBDC,

EDDC

.,.△CDE-^ABDC,

/.ZDCE=ZDBC,

.\ZDAE=ZEBC,

VZAED=ZBEC,

/.△BCE^AADE,

(2)VDC2=DE»DB,AD=DC

.\AD2=DE«DB,

同法可得AADE^ABDA,

:.ND