数学（全国卷理科3）-2024年高考押题预测卷

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷03【全国卷】

数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1,若集合4=卜€叫了=67},8={0,1},则集合ZcB的真子集的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

ab,,z-i

2.定义运算,^ad-bc,则满足.=0（i为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（）

cal-i-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知向量£=（3,3卜5=（X,-3）,则+是“x=-3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，若输出的V的值为4,则输入的X的可能值有（）

否

y=Inx

y-y""

I输/

（A）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动

至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）

5698

A.~B.—C.-D.一

1825259

6.若x=a+lnZ>,y=a+；ln氏二=。+2皿（6=1）成等比数歹I],则公比为（）

11

A.-2B.-3C.—D.2

7.已知圆。的方程为：x、y2=i,点4（2,0）,5（0,2）,尸是线段48上的动点，过尸作圆。的切线，切

点分别为C,D,现有以下四种说法①四边形尸COD的面积的最小值为1；②四边形尸COZ）的面积的最

3

大值为百；③尸。丽的最小值为-1；④尸而的最大值为5.其中所有正确说法的序号为（）

A.B.（D@@C.②③④D.①④

8.已知函数/"）=5山0.丫+2852?（0>0）在[0.可上有且仅有4个零点.则〃x）图象的一条对称轴可能的

直线方程为（）

9.已知函数/卜）=（6+1«，，给出下列4个图象:

其中，可以作为函数/（x）的大致图象的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

10.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主

要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式

时，将正四棱台切割成九部分进行求解.右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E对应的是正

四棱台中间位置的长方体，B、D、H、厂对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥.若这

四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥/与三棱柱H的体积之比为（）

A.3:1B.1:3C.2:3D.1:6

22

11.已知双曲线C：三-4=1（0>0,6>0）的左、右焦点分别为耳、工，双曲线C的离心率为e,在第一

ab

象限存在双曲线上的点P,满足e-sin/38=l,且,“乙二4/,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

12.已知方程小-办廿+9。2/=0有4个不同的实数根，分别记为演"2，毛，招，则

]e一e][O_e]]之-e]的取值范围为（）

1网八马八%八匕）

A.（0,16e4）B.（0,12e4）C.（0,4e4）D.（0,8e4）

第二部分（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从

参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）.其

中，成绩分组区间为[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,

[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150].用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计

值为.

14.已知函数〃x）是奇函数,当x>0时，=+1，则〃x）的图象在点（-1,/（-1））处的切线斜率为.

x-j+l>0

15.已知实数满足3x—y—3K0,则2x+y的最小值为.

x+y-l>0

16.己知圆台。1。2的轴截面是梯形/BCD,ABUCD,BC=5y/2,CD=2AB,圆台QQ的底面圆周都在

球。的表面上，点。在线段。02上，且。。1=2。。2,则球。的体积为____.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

17.(12分)在AABC中，角4B,C所对的边分别为o,6,c,且满足6cosc+csinB=0.

(I)求角C的大小；

(H)若。=6，6=厢，线段的中垂线交48于点。，求线段8。的长.

18.(12分)如图，在三棱柱N8C-4与4中，平面/CG4，平面疑

(D若河,N分别为4G.明的中点，证明：〃平面4SC；

(2)当直线型与平面ACC^所成角的正弦值为1时，求平面A.BC与平面4片G夹角的余弦值.

19.(12分)甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲

首先发球，连续传球〃(〃eN*,〃之3)次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为月.

(1)当〃=4时，求球又回到甲手中的概率；

(2)当〃=4时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望；

(3)记2=%-白-1,求证：数列｛。“｝从第3项起构成等比数列，并求号.

20.在直角坐标系xQy中，设尸为抛物线C:/=2px(p>0)的焦点，M为C上位于第一象限内一点.当

布•丽=0时，△OEM■的面积为1.

(1)求C的方程：

(2)当归.赤=-3时，如果直线/与抛物线C交于A,8两点，直线MB的斜率满足总〃•小=-2.

证明直线/是恒过定点，并求出定点坐标.

21.(12分)已知函数分(x)=e'+(a-l)x-l,其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵当a>l时，证明：/(x)>.rln.r-ocosr.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

x=4t

,■为参数)，以坐标原点为极点，X轴的

{y=4(2

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为H&cos，-2sine)=2.

(1)写出曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程：

(2)若射线勿：8=《0<”右外0)与曲线G相交于点A,将逆时针旋转90。后，与曲线G相交于

点5,且|。8|=2百|。4|,求a的值.

23.(10分)已知函数分(x)=|x+2|+|2x-3|.

(1)求不等式/(》)>6的解集；

(2)若函数/(动的最小值为旭，正实数a,。满足/+(=m,证明：1+2>±^.

9ab7

2024年高考押题预测卷03【全国卷】

数学（理科）•全解全析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

123456789101112

DDBCCBBDDBAA

1.【答案】D

【详解】因为Z={xeN|3—X*0}={0,1,2,3},B={0,l},所以405={0,1},

所以集合4cB的真子集的个数为2?-1=3.

故选:D.

2.【答案】D

【详解】由题意，1二_4=0可化为一2七+i（1-i）=0.

所以―f

所以z在复平面内对应的点的坐标为

所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.

故选：D.

3.【答案】B

【详解】由题意5=(3,3)/=(x,-3),则a+Z)=(3+x,0),而(a+Z))_L6o(a+6)2=x(x+3)=()ox=0或

x=-39

所以“（；+5）J”是“x=—3”的必要不充分条件.

故选：B.

4.【答案】C

4八fx„0|0<x<2

【详解】由题意得了=e",o<x<2,若输出的V的值为4,则；一，或j_i，或

ln2x,x..2I*~4

解得X=或x=2-ln2或x=e?,所以输入的X的可能值有3个.故选：C

5.【答案】C

【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分配到三项活动中,

总方法数为A；=150,

因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人

分别在三项活动中选择，

54Q

其方法数为A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为尸=前=石.

故选:C.

6.【答案】B

【详解】"z成等比数列.二二=/，

即(a++21nZ>)=[a+；11仍j

.­.a2+3olnZ>+2(ln/>)2=a2+d\nb+—(liiZ>)2

4

8,..a+—lnZ>

：.--a=\nb,..公比为2：3,

a+\nb

故选：B.

7.【答案】B

【详解】如图，当点尸是疑的中点时，此时。尸人4B,|四最短，最小值为0,

当点尸与点A或点8重合时，此时|。耳最长，最大值为2,

因为尸CPZ)是圆。的切线，所以PC_LOC,PDLOD,

则四边形PCOD的面积为|PC||OC|=|PC|=^|PO|2-1,

所以四边形PCOZ>的面积的最小值为五二T=l，最大值为"万=石，故①②正确;

PC-PD=|PC||PD|COSZCP£>=|PC|2X(2cos2AOPC-1),

——►2

PC

2--1

PO

PI-------*"i2引_3,网中4],

23

设y=f+7-3je[2,4],函数单调递增，最小值为0,最大值为万，故③错误，④正确.

故选：B

8.【答案】D

【详解】/(x)=siiiox+2cos2曰=sinox+l+cosox=亚sin[ox+；J+1,

令〃x)=°,得sin(0X+；)=-*,

因为xe[0,7t],所以。x+]e—,OK+—,

若/(x)在[0,句上有且仅有4个零点，则野4。兀+：<孚，解得g«o<5,

7

+—=H+—,^eZ,得/=,尿+",卜eZ,因为不“。<5,

424co

所以誓(喏V誓当X,71n

—<x<—,

2014

当斤=1,;<XM.，当后=_1,一亲―器,只有D符合.

故选：D.

9.【答案】D

【详解】由题意知，/(x)定义域为R,

当。=0时，/(.r)=e\由指数函数的单调性可知函数/(x)单调递增，可对应①;

当。>0时，/'(x)=(ax+a+l)e、，令/'(x)=0可得x^---^<Q,所以当xe时，/'(x)<0,

当xe(—-■,+8)时，/'卜)>0,所以，函数/(x)先减后增，且当工〈一十时，/(x)<0,此时可对应②:

当a<0时,/,(x)=(ar+a+l)eI,当仆)=0时—守r(x)>。，当

时，/'(x)<0,所以，函数/(x)先增后减,

当a<-1时，x=----<0,且此时0<—<1,所以可对应③,

aa

当一l<a<0时，x=----->0,此时—>1,所以可对应④.

aa

故选：D.

10.【答案】B

如图，令四棱锥的底面边长为。，高为〃，三棱柱的高为6,

所以三棱柱的体积为g。站，

长方体的体积为/〃，因为四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积,

1

所以=所以6=2a,

因为四棱锥的体积为g/4，

—a2h]

所以四棱锥/与三棱柱"的体积之比为^-=".

—ahb

2

故选：B.

11.【答案】A

【详解】

设归耳|=/,^\\PF2\=t-2a,而e-sinN%B=l,所以sin/尸耳凡=1=色,

ec

所以点尸到片名的距离为|^|sin/PFE=吁，

又叱|=2%所以,"42.十4八

解得f=4a,即陷卜4a,从而卢月|=2a,

又因为sin/尸耳玛=i=g,

ec

所以cosNPE玛==-,

在△期玛中，由余弦定理有COSZPEG=2=(4)+(2。1一(2。『，

12c2-4a-2c

所以4仍=4/+c2-a2=b2+4a2,即与一竺+4=0,

aa

解得2=2,双曲线。的渐近线方程为2X土y=0.

a

故选：A.

12.【答案】A

【详解】易知x=0不是方程e21-arex+9e2x2=0的根，

故当xwO时，e2x-axe，+9e2x2=。可化为［土)-a—+9e2=0,

x

e、、

令/=—,^t2-at+9e2=0.

x

设/(x)!，则广(到=当辿，

令/'(x)<0,可得r<0或0<x<l,令/«卜)>0,可得x>l,

故/(x)在(-8,0)和(0/)上单调递减，在(1,+«)上单调递增,/⑴=e,

作出/(x)的大致图象，如图，

数形结合可得方程/-W+9e2=0有两个不相等的实数根，设为G，芍，

则。+弓=。,y2=9/，且4>e/2>e,

△=/-36e2>0

则<—1*>e,解得6evivl0e,

e2-t7e+9e2>0

eX1e。eX2eX3

不妨设A=——=—$=—=—，

』x4x2x3

=（柱一防_%+«2）=^10e2-ao^,

由6e<qvlOe,可得0<（lOe?—aej<16/.

故选：A.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】114

【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间［60,110)的频率为(0.01+0.005+0.01+0.015)x10=0.4,

数学成绩在区间［60,120)的频率为0.4+0.025xl0=0.65,

因此数学成绩的中位数加e(110,120),且此-110)x0.025=0.1,解得%=114,

所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114.

故答案为：114

14.【答案】2e

【详解】当x<。时，-x>0,则/(-外=-疵-'+1,此时/(x)=-〃-x)=xeT-l,所以「(x)=(l-x)eT,

所以/'(-l)=2e.

故答案为：2e

15.【答案】1

x-y+l>0

【详解】画出不等式组3x-歹-3W0所表示的平面区域，如图所示，

1+歹一120

设2=2x+y,可得歹=-2x+z,

结合图象可得，当直线V=-2x+z经过点A时，直线在了轴上的截距最小，

即Z取得最小值，即目标函数n=2X+V取得最小值,

[Y_v+l=0

又由.-[八，解得x=Oj=l,所以二1nm=1.

[x+y-l=O

故答案为：1.

【详解】由题意可设圆台QQ的高为A，上、下底面半径分别为，，2L

球。的半径为因为oq=2OC>2，

所以。。1=学,。。2=?,

2/、2

2

所以‘+仁“=(2r)+f|/}j=R'

得h=3r,R=y[^r,

贝ijBC=业+(2一.J=加.=50,

所以厂=6，R=5,

所以球。的体积为g成3=?X53=等.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

【详解】(I)在A4BC中，・・・AosC+csinB=0,

・••由正弦定理知，sinBcosC+smCsiiiS=0

V0<B<n,

/.sinB>0,于是cosC+sinC=0,即tanC=-1

V0<C<n

c3

4

(II)由(I)和余弦定理知，c2=a2+Z>2-2<7Z>co5C=(V5)2+(>/i0)2-2xVi0xV5x=25,

・・C=5,

/+,2-人5+25-102石

：•cosB=

2ac2X-75x55

设5c的中垂线交BC于点E,

BE

;在RtABC。中，cosB=——

BD

18.（12分）

【详解】（1）如图，取ZC的中点P,连接MP交4c于点Q,连接。,

因为M是4G的中点，N是的中点，

斫以BN"AAJIPM,BN=QM,所以四边形MNB。是平行四边形，所以QB"MN,

又0Bu平面4BC,MN(z平面4BC,所以MN//平面48c.

(2)因为平面4CG4_L平面NBC,平面ZCQ4n平面4BC=4C,4Bu平面/BC,

所以N81平面ZCG4，

2

所以直线48与平面ZCG4所成的角为3B,则sin-441s=§,

在RtZ\R44中，不妨设/B=/C=2,则43=3,%=逐，连接CA/,

因为曰=4C=CG，所以CM14G.

又平面/3C〃平面4片G，所以平面4CG4_L平面48C，

且平面ACQ4n平面44G=4G，awU平面ZCG4，故CM1平面481G.

设4G的中点为E,连接ME,

以“为坐标原点，ME，MG，MC所在直线分别为X轴」，轴、Z轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(O,—I,O),C(O,O,2)，3(2,—LO)，G(O』,O),

则示=(0,1,2),前=丽=(-2,2,0),

设平面4BC的法向量为"=(x,y,z),则搂__0,即2+2丁=0

不妨取X=2,则有万=(2,2,-1),

易知平面48c的一个法向量为而=(0,0,1).

设平面AfiC与平面44G的夹角为8,

_,____|w-w||-1|1

则cos0Hcos〈私〃〉1==,===-,

iwii»i72+2+(-1)3

所以平面4BC与平面44。夹角的余弦值为1.

19.（12分）

【详解】（1）传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有3x3x3x3=81种;

传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有3x2x2x1=12种，

传球的过程中传给甲，有3xlx3xl=9种；

12+97

故传球4次，球又回到甲手中的概率为［「二=.

(2)根据题意可得X=2,3,4,

/x_3xlx3xl_1/、_3xlx3x2+3x2xlx3+3x2x2xl_48_16

v7819v7818127

故X的分布列如下所示:

X234

]_168

尸(X)

92727

贝EI！]E厂(/sX)—2cx—1Fr3x-1-6F4.x—8=—86.

v79272727

（3）〃次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：

第一种，“24时，〃-1次传球后，止匕3人均接过他人传球，则其概率为RT；

第二种，”24时，次传球后，止匕3人中只有2人接过他人传球，则第〃次传球时将球传给剩余的1人,

其概率为：［1-匕一1-3乂，?卜；；

所以当“24时，Pn=41+11-只「3**］、；=；+*_］一击，

所以数列｛2｝从第3项起构成等比数列,

1-2",

则匕=---i—1•

3"一1

20.（12分）

【详解】（1）由赤•砺=0，所以血牛_1。9，设%>0,

',%=/w=p，

:.SVOE=:*Xp=\,解得p=2,

所以抛物线C的方程为v=4x.

2

(n1—(“2A_

(2)如图，设，H>0,-0.MF=1--,—77,OF=(1,0),

2

1——=—3,解得〃=4,

4

所以点”的坐标为(4,4).

由题意直线/的斜率不为0,设/：x=〃?y+f,4(再,%)，5(x2,y2),

fx=wv+Z.

联立2)，消去x整理得/一4〃V一4，=0,

[y=4x

则乂+%=4"?,必必=・力，A=16(/w2+r)>0,

因为=一2,所以"x河=一2,

七一qXj~

.Vi-4,,v2-4_2

即y；.Vj.,整理得％%+4(%+%)=-24,

--------4---------4

44

将M+%=47〃,yxy2=-4f代入上式，

f=4加+6,满足A>0,

所以直线/为x=〃i(y+4)+6,恒过定点(6,-4).

21.(12分)

【详解】(1)因为〃x)=e'+("l)x-l,所以r(x)=e'+a-l,

当awl时，/'(x)=e、+a-l>0,函数/(x)在R上单调递增:

当3<1时，由/'(x)=e*+a_l>0,得x>ln(l-a),

函数〃X)在区间(ln(l-a),+8)上单调递增，

由r(x)=e'+(a-1)<0,得x<ln(l-a),函数〃x)在区间(-叫111(1-。))上单调递减.

(2)要证/(x)>xlnx-acosx,即证e"+(Q—1)%-1>xlnx—QCOSx,x£(0,+”),

即证e"+a(<x+cosx)-x-1-x\wc>0,xe(0,+e),

设化(x)=%+cosx,左'(x)=1—sinx>0,

故在(0,+8)上单调递增,又左(0)=1〉0,所以左

又因为,所以Q(X+COSX)>X+COSX,

所以e"+a(%+cosx)-x-1-x\wc>ex+cosx-1-x\nx,

①当0<xWl时，因为e”+cosx-l>0,xhu«0,所以e"+cosx—l-xlnx>0;

②当x>1时，令g(x)=e'+cosx-xlnx-1,贝Ijg'(x)=ex-lnx-sinx-1,

设=g'(x),则”(x)=ex----cosx,设m(x)=ex---cosx,

XX

则加'(x)=eX+±~+sinx,因为x>l,所以加'(x)〉0,

所以加(x)即/⑺在(1,+8)上单调递增,

所以『(%)>"(1)=e-l-cosl>0,所以在(l,+oo)上单调递增，

所以〃(x)>〃(l)=e—sinl—l〉0,HPgr(x)>0,

所以g(x)在(1,+8)上单调递增,g(x)>g(l)=e+cosl-l>0,

即ex+cosx-1-xlnx>0.

综上可知，当a>1时，e"+a(x+cosx)-x-1-xlwc>e"+cosx-1-x\nx>0,

即f(%)>x^wc-acosx.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

22.(10分)

f%=4/_

【详解】(1)由曲线G的参数方程为人，a为参数)，可得其普通方程/=4歹，

U々

X=PCOS0c.

由产a。,得曲线。的极坐标方程。cos2=4sin氏

C2:CpcosB-2Psme=2,

(x=pQOSOL

由.a，得曲线G的直角坐标方程后-2y-2=0.

[y=0sme

(2)将6=。(夕>0)代入HQcosg-2sin8)=2,

得〃.卜AJ-2smG

将。4逆时针旋转90。，得03的极坐标方程为6=a+gs>0）,代入曲线G的极坐标方程，得

4sin|a+y

4cosa

PB=1。51=---

nsin2a

cos2aH—

2

4^/J

^\OB\=2>/3\OA\,得匕警-1=--------;---,5/3cos2a—y/3sin2a—2sinacosa=Q.

sinay/3cosa—2sma

即sin2a=6cos2a,解得tan2a=.

因为ae[o.q

，所以a=二.

O

23.(10分)

【详解】(1)/(x)=|x+2|+|2.r-3|=.

3x-l>65-x>6

—3x+1>6

即，3,或，,3,或

x>—-24X4一x<-2

2I2

7

解得或x<-l,

7

所以原不等式的解集为卜卜>（或x<-i}.

37

（2）证明：由（1）知当x=a时，/（M有最小值万,

■二I、]72b~1

所以初=5，a+y=-

13?_196

因为LgJ=/+7+万

广“1962|196

所以7+庐+益=va2+—2+4+也+竺+干)

9部+房+五9/b3ab2)

因为累猾2当且仅当人州时取等号,

JL+之丫之竺，当且仅当b=3〃时取等号,

所以

ab7

所以工+3士生巨，当且仅当&=立，占=逆时取等号.

ab722

2024年高考押题预测卷（全国卷）

理科数学03■答题卡

姓名:_________________________

贴条形码区

1.答题前，考生先将自己的姓名、准

考证号填写清楚，并认真检查监考

员所粘贴的条形码。

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选准E考证号

注择题必须用0.5mm黑色签字笔答

意题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字

事体工整、笔迹清晰。OOO0。OOOO

项3.请按题号顺序在各题目的答题区域4一一-—一一444

内作答，超出区域书写的答案无效2222222222

在草稿纸、试题卷上答题无效。3333333333

444444444

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄