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文档简介

专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)

一、必备秘籍

1、曲线方程的定义

一般地,如果曲线。与方程F(x,j)=o之间有以下两个关系:

①曲线。上的点的坐标都是方程尸(x,y)=0的解;

②以方程尸(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线。上的点.

此时,把方程R(x,y)=0叫做曲线。的方程,曲线。叫做方程少(x,y)=0的曲线.

2、求曲线方程的一般步骤:

(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步骤省略);

(2)设曲线上任意一点的坐标为(x,y);

(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式;

(4)用坐标X、V表示这个等式,并化简;

(5)确定化简后的式子中点的范围.

上述五个步骤可简记为:求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

3、求轨迹方程的方法:

3.1定义法:

如果动点尸的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨

迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。

3.2直接法:

如果动点尸的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点尸满足的等量关系易于建立,

则可以先表示出点尸所满足的几何上的等量关系,再用点尸的坐标(xj)表示该等量关系式,即可得到轨

迹方程。

3.3代入法(相关点法):

如果动点尸的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线

方程),则可以设出尸(X/),用(X/)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即

可得到动点尸的轨迹方程。

3.4点差法:

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点4(七,%),8(々,%)的坐标

代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得%+%,%+匕,苞-々,%等关系式,由于

弦的中点P(x,y)的坐标满足2x=X]+%,2了=%+%且直线48的斜率为及子,由此可求得弦

AB中点的轨迹方程.

二、典型题型

题型一:定义法求轨迹方程

1.(2023上•高二课时练习)分别写出满足下列条件的动点P的轨迹方程:

⑴点P到点片(-3,0)、外(3,0)的距离之和为10;

(2)点尸到点耳(0,-2)、玛(0,2)的距离之和为12;

⑶点P到点耳(-4,0),F2(4,0)的距离之和为8.

2.(2022上•高二课时练习)求下列动圆的圆心M的轨迹方程:

⑴与圆C1:x2+(y-2)2=l和圆G:x2+&+2)2=4都内切;

(2)与圆G:(x+3y+y2=9内切,且与圆。2:口一3)2+必=1外切;

⑶在“3C中,3(-3,0),C(3,0),直线"的斜率之积为华,求顶点A的轨迹方程.

3.(2023•全国•高三专题练习)在直角坐标系xOy中,点p到x轴的距离等于点尸到点的距离,记动

点P的轨迹为少,求少的方程.

题型二:直接法

3

1.(2024•全国•高三专题练习)已知点/(-2,0)与点8(2,0),P是动点,且直线NP与8P的斜率之积等于三

4

求动点尸的轨迹方程;

2.(2024•全国•高二专题练习)在平面直角坐标系中,点48的坐标分别为(-4,0),(4,0),点M(x,y)为

9

坐标系内一点,若直线与直线9的斜率的乘积为-77-

16

⑴求点M的轨迹方程;

(2)说明点M的轨迹是何种几何图形.

3.(2024上•广东广州•高二统考期末)已知两个定点4(-2,0),4(2,0),动点M满足直线血区与直线初出

的斜率之积为定值:(-<0).

⑴求动点M的轨迹方程,并说明随加变化时,方程所表示的曲线C的形状;

题型三:代入法(相关点法)

1.(2024•全国•高二专题练习)如图,已知点5的坐标为(2,0),P是以点。为圆心的单位圆上的动点(不与

点重合),/尸08的角平分线交直线PB于点。,求点。的轨迹方程.

2.(2024上•河南南阳•高二南阳市第五中学校校联考期末)已知圆C的圆心为直线x+y-2=0与直线

3x-y-6=0的交点,且圆C的半径为火.

⑴求圆C的标准方程;

(2)若P为圆C上任意一点,河(8,0),点。满足同7=2断,求点。的轨迹方程.

3.(2024•全国•高三专题练习)已知点/(14,0),点p是圆,+/=16上的动点,M为线段尸/的中点,当

点尸在圆上运动时,求动点M的轨迹方程,并分析此轨迹与圆/+/=16的位置关系.

题型四:点差法

fv2

1.(2023上•广东深圳•高二校考期末)已知椭圆氏=+4=1(0>6>0)的右焦点为尸(3,0),过点尸的直线

ab

交椭圆于A,5两点,若45的中点坐标为(L-1),则£的方程为()

,2「2

A.B

189-

22

xy1

C.——+—=i

3627°^a

22

2.(2023上•湖北•高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习)已知点厂为椭圆.+方=1

(a>6>0)的左焦点,点P为椭圆的下顶点,平行于FP的直线/交椭圆于A,B两点,且的中点为

则该椭圆的方程为()

C.《+片=1D.—+y2

652-

三、专项训练

一、单选题

1.(【名校面对面】2022-2023学年高二大联考(12月)数学试题)已知圆C:(X-3)2+J?=9,。是圆C上

的动点,点£(2,4),若动点M满足丽=2瓦,则点M的轨迹方程为()

A.2x+y+3=0B.xy=9

C.(x-l)2+(y-8)2=9D.(x—8)2+3—iy=9

2.(2024上广东梅州•高二统考期末)已知定点/(TO)*为圆Cd+r=4的动点,则线段/尸的中点M

的轨迹方程为()

A.++y2=1B.(x+1)2+y2=1

c-+y2=2D.(x+l)2+/=2

3.(2024上•四川达州•高二统考期末)已知平面内一动点P到两定点与(-2,0),F2(2,0)的距离之和为8,

则动点P的轨迹方程为()

2222

AXV1CX--1

A.——+—=1BD.—

164-03952016

4.(2024上•贵州黔南•高二统考期末)若动点尸(x,y)满足方程旧+W+2『+旧+(y-2丫=60,则动

点P的轨迹方程为()

A.J22

B,工+二=1

181484

2222

C.匕+上=1D.乙-土=1

16121814

2

5.(2024上•湖北•高二校联考期末)已知一个动圆尸与两圆G:(X+3)+/=1^C2:(%—3『+y=9者B

外切,则动圆尸圆心的轨迹方程为()

2

A.x2--=1(X<-1)B.

8

22

C.x2--=1(X>1)D.x2--=1(X>1)

810

6.(2023上•全国•高二专题练习)设椭圆G的离心率为:,焦点在X轴上且长轴长为26,若曲线C?上的

点到椭圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C?的标准方程为()

BVV1

Ab.--------=1

-16925

22x2J

c.土-匕=1D.

916169144

7.(2023上•四川凉山•高二校联考期末)已知点”(2,0),#(-2,0),动点产满足条件声叫-|尸叫=2,则

动点P的轨迹方程为()

nf

A.=1(X>V3)D.----V=l(xV—V3j

3

22

c.x2-^-=l(x>l)D.x2-^-=l(x<-l)

8.(2023上•辽宁沈阳•高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习)与圆A:(X+5)2+J2=49和圆B:(x-5)2+y2=1

都外切的圆的圆心尸的轨迹方程为()

22

%y1

A

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