2024年高考数学专项复习：数列中的奇偶项问题（解析版）

2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）

数列中的奇偶项问题（微专题）

题型选讲

题型一、分段函数的奇偶项求和

dl（深圳市罗湖区期末试题）已知数列｛源｝中，©=2,+1）册=l（nGN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

l+1，n

（2）设bn=h]鬻求数列｛bn｝的前100项和.

[2Q九+1,71为偶数，

；题目回（2023•黑龙江大庆•统考三模）已知数列｛册｝满足出+3a2+•••+（2n-l）a„=n.

（1）证明/上）是一个等差数列；

（2）已知c“=（人”为奇数、，，求数列｛金｝的前2九项和S2”.

、Q/W2,几为偶数

•••

题目叵（2023•吉林・统考三模）已知数列｛册｝满足册=夕）々为瞽粕｛%｝的前n项和为S”.

[3n—2,4为偶数

（1）求出，a2,并判断1024是数列中的第几项；

⑵求S2…

题目叵（2023•安徽蚌埠•统考三模）已知数列｛册｝满足。尸1,。2九+1=。2九+1，。2九=2a2九-

（1）求数列｛QJ的通项公式；

（2）设£=—+—H-----1■-—，求证：&V3.

电02册

题目瓦（2023•湖南邵阳•统考三模）记S”为等差数列｛册｝的前n项和，已知O3=5,S9=81,数列也｝满

=n+1

足Q/I+Q2b2+。3b3+—H（znbn（?2—1）,3+3.

（1）求数列｛Q/与数列｛鼠｝的通项公式；

%72为奇数

（2）数列｛品｝满足品=1n为偶数,n为偶数,求｛q｝前2n项和2n.

、QyjQn+2

题目[J]（2023•湖南岳阳•统考三模）已知等比数列｛册｝的前4项和为S”,其公比1,笑”=《

且s4=（Z3+93.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

loglClmTl为奇数

（2）已知b=｛3,求数歹（J｛0｝的前n项和Tn.

、厮,71为偶数

•M

题型二、含有(T)"类型

而]2[2020年新课标1卷文科】数列｛%｝满足an+2+(-1)X=3九—1,前16项和为540,则a产

1瓶目叵(2021.山东济宁市.高三二模)已知数列｛an｝是正项等比数列,满足是2电、3a2的等差中项,

。4=16•

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若bn=(-1)"log2a2„+i，求数列｛5„｝的前九项和Tn.

题目|T)[2022•广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列｛册｝前n项和为S”,a5=9,S5=25.

(1)求数列｛aj的通项公式及前n项和Sn；

(2)设b=(―求｛bn｝前九项和Tn.

题型三、Qn+Qn+l

2

（13（2023•广东深圳・统考一模）记S”,为数列｛%｝的前n项和，已知Sn=黑+n+l,n6N*.

⑴求Q1+Q2,并证明｛册+%+1｝是等差数列；

（2）求S叱

题目|T）（2022•湖北省鄂州高中高三期末）已知数列｛册｝满足的=1,即+册+尸2打；数列仍“｝前九项和

=

为Snt且&i1>2Sn=bn+i—1.

（1）求数列｛④｝和数列｛0｝的通项公式；

（2）设c„=an-bn，求｛品｝前2八项和T2M

题目叵（2022.湖北省鄂州高中高三期末）已知数列｛%｝满足的=1,册+册+1=2出数列也｝前几项和

为S”,且仇=l,2S“=b”+i—l.

（1）求数列｛飙｝和数列｛b„｝的通项公式；

（2）设cn=an-bn，求｛c„｝前2n项和T2n.

•••

数列中的奇偶项问题（微专题）

题型选讲

题型一、分段函数的奇偶项求和

dl（深圳市罗湖区期末试题）已知数列｛源｝中，©=2,+l）an=l（nGN）

（1）求数列｛飙｝的通项公式；

l+1，n

（2）设bn=h］鬻求数列｛bn｝的前100项和.

［2Q九+1,71为偶数，

【解析】

【小问1详解】

册册+册+

/na—(n+1)%=1,/.。九+1J.11+11

n+ln+1nnn+1*n+1n

所以是常数列，即&±1=牛1=3,...册=3九一1；

InJn1

【小问2详解】

由（1）知，｛册｝是首项为2,公差为3的等差数列,

由题意得b2„-i=a2n-i=6n-4,b2n=2a2n+i=12rl+4,

设数列｛LT｝,MJ的前列项和分别为Z,T2,

..50(bi+b)50x(6+BIOO)

所以Z=―'；99.=25x298=7450,£=----32一—=25x620=15500,

所以｛bJ的前100项和为工+十=7450+15500=22950：

综上，册=3八一1，｛晨｝的前100项和为7]+(=7450+15500=22950.

［题目|T］（2023•黑龙江大庆•统考三模）已知数列｛a„｝满足电+3a2+•••+（2n-l）a„=n.

（1）证明：［工1是一个等差数列；

〔QTJ

，n

（2）已知品=［i为奇数，求数列｛cn｝的前2n项和S2„.

1册册+2,八为偶数

【答案】（1）证明见详解

⑵S2.=生♦+n

3(4n+3)

【详解】（1）当九=1时，可得Q尸1,

•••

当72>2时，由电+3。2+—F(2n—l)czn—n,

则。1+3a2+—F(2n—3)an_i=n—l(n^2),

上述两式作差可得a“=—^―(n>2),

2n—1

因为。尸1满足an=1，所以｛an｝的通项公式为an=1,所以——2n—

2n—12n—1an

因为—-------=2n—l—(2n-3)=2(常数)，

an_]

所以是一个等差数列.

van)

驾为奇数

（2）cn=]

,71为偶数

(2九一1)(2?i+3)

所以G+&+…—=1+5+9：;(4…(2n—l)n

iy~~19

_1/11,11.111n

rG„-z^-Y+Y-ir+-+1^rT-1^TI；-3(4n+3)

所以数列｛c.｝的前2n项和S%=0九］应+J

3（4n+3;

：W@叵(2023•吉林・统考三模)已知数列｛飙｝满足％=(2'：为需粕｛%｝的前7

项和为5九.

[3n—2,4为偶数

(1)求s,a2,并判断1024是数列中的第几项；

⑵求S2…

【答案】⑴a产a2=4;1024是数列｛aj的第342项

(2)$2八-尸4r+3八2-5九+4

66

【详解】⑴由/HE之慧数可得心。”幺

令2k2=1024=210,解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；

令3几一2=1024,解得：n=342,符合题意.

因此，1024是数列｛aj的第342项.

2n-3

(2)S2n-i=。1+。2+。3+。4~1-----1~。2九-2+。271-1=[+4+2+10~\--F(6n—8)+2

/12n-3\//fc仆c\—4)(n—1)(4+6n—8)

=仁+2+-+22n3)+(4+io+-+6n-8)=气=一+-----1--------

=-^-(4n—1)+(n—1)(3n—2)=4+3n2—5n+4.

ooo

另解：由题意得.产22n-3,又强生=4,

a2n-l

所以数列是以方为首项，4为公比的等比数列.

a2Tl=6n—2,又。2九+2—a2Tl=6,

所以数列｛a2n｝是以4为首项，6为公差的等差数列.

$2九~L为数列｛02口-1｝的前几项和与数列｛。2九｝的前n—1项和的总和.

故&一坐J+（…，+6…）7（4­）+（1）（3­）=胄+37f+f.

题目IJO（2023•安徽蚌埠•统考三模）已知数列｛厮｝满足a产1,a2n+1=a2n+l,a2n=一

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设T*=—+—H---1■-—，求证：Tz<.3.

Q1。2Q/ln

，71+1

【答案】⑴T"为奇数，

［22—2,n为偶数.

（2）证明见解析.

【详解】（1）由题意a2n+i=a2n+l=2a2n-i+l,

所以02九+1+1=2（。271-1+1）,

因为的+1=2W0,所以数列｛电-i+l｝是首项为2,公比为2的等比数列，

nn

所以a2n-i+l=2,即电n-产2—1,

而a2n=2。2kl=2n+1-2,

7l+l

~22—l,n为奇数,

所以an=<

121—2,n为偶数.

3y2i+1-l

⑵方法一：由⑴得&»=+工)

i=l'a2i-la2i)=翦上2与⑵-1)(2计-I)

i+1

3y2y___上_____

2与⑵-1)(2"」1)=3士(2;-1)(2;+1-1)

方法二：因为2"—1>2"T("eN*),

所以(八=*('+工)=3y1

-2白21-1

勿=1'Cb2i-1a2if

［题目|J］（2023•湖南邵阳•统考三模）记S”为等差数列｛飙｝的前几项和，已知a3=5,Sg=81,数列｛均｝满

足0161+0262+0363+—HQ九匕九=(n-1),3n+1+3.

（1）求数列｛册｝与数列｛bn｝的通项公式;

h，72为奇数

nc

⑵数列｛品｝满足A=]n为偶数'为偶数,求｛n）刖2n项和T2n.

、QnQn+2

n

【答案】（1）册=2n—l,bn=3

3-9n17

⑵容=

816n+1224

【详解】（1）设等差数列｛QJ的公差为d,

..p=5Qi+2d=5

9x8a1=l,d=2,an=2n—1.

9。1+

'U=8r2

n+1

丁。1仇+。2b2+0363+—Fan6n—(n-1)•3+3,①

:.Q/I+Q2b2+—Fdn-i6n-i—(n-2),3n+3(n>2),②

=n

所以①—②得,CLnbn(2n—1),3,

nn

/.bn=3(n>2).当=1时，。1仇=3,仇=3,符合bn=3.

n

/.bn=3.

⑵密=Ci+c2+c3+卜。271,依题有:

^2n—(仇+b3H-----Fb2n-1)+

Q2a4Q4a6a2na2n+2

3(1-32n)32n+1-3

记琦=fci+b+,•,+b2n-i，则琦=

31-328

记北禺=

a2a4。4。6a2na2n+2

x_x

++•••+J____L_

d-4CCQa2na2n+2

111~3~4n+3)'

2dVa2a2n+2'4

32n+1-3113-9n17

所以

8434n+3816n+1224

题目叵（2023•湖南岳阳•统考三模）已知等比数列｛册｝的前几项和为S”,其公比q¥—l,04+05_1

Q7+Q827

且S4=a3+93.

⑴求数列｛册｝的通项公式;

匕且避中⑥为奇数

⑵已知bn=<3，求数列｛bJ的前几项和北・

、M,n为偶数•••

【答案】（1）册=3"

|x3n+1-1-包出,九为奇数

(2)7；=

^-（3n—1）—号,n为偶数

6

【详解】⑴因为｛aj是等比数列，公比为qW—1,则a7=aiQ,a8=,

1

甑1、/Q4+Q5a^+a^q11畲刀用Q

所以工=-—F=T=Q，解付q=3,

斯+。8axq+axqq27

由S=CZ3+93,可得可一：）=9囱+93,解得a尸3,

41—3

所以数列｛册｝的通项公式为an=3".

—n,n为奇数

（2）由（1）得b“=

3”,"为偶数'

当n为偶数时，£=仇+戾+,,,+&„­(61+63+…+鼠-1)+(62+64+…+bn)

,af-[1+(n-1)]9(1—9食)

=-(1+3+-+n-1)+(32+34+…+3")=----------------X+^--

21—9

n+12n+,n+1

当71为奇数时T=Tn+-bn+1=-|-(3-l)-⑺：D-3=yX3-1-_

gx3-1-1->±i)i)n为奇数

综上所述：方=

1)—(,八为偶数

题型二、含有（-1）"类型

厕2[2020年新课标1卷文科】数列｛册｝满足an+2+(—1)%”=3九—1,前16项和为540,则a尸

【答案】7

【解析】册+2+(―1)%九=3n—1,

当n为奇数时，an+2=an+3n—1;当n为偶数时，an+2+an=3n—1.

设数列｛册｝的前几项和为Sn,

Si6=Q1+Q2+Q3+Q4+----HQI6

=01+03+05----bai5+(0)2+04)H----(014+016)

=Qi+(Q-1+2)+(Qi+10)+(di+24)+(0-1+44)+(cii+70)

+(为+102)+4+140)+(5+17+29+41)

8^1+392+92=8的+484=540,

•••

Q1=7.

故答案为：7.

;题目区(2021.山东济宁市.高三二模)已知数列｛册｝是正项等比数列，满足a3是2出、3a2的等差中项,

。4=16.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若bn=(―1卢log2a2n+i,求数列｛6”｝的前n项和Tn.

【解析】⑴设等比数列｛册｝的公比为q,

因为<23是2。1、3a2的等差中项，所以2a3=2ai+3a2,即2ad=2a1+3a1q,

因为(iiW0,所以2qJ3q—2=0,解得q=2或q=―5,

因为数列｛aj是正项等比数列，所以q=2.

n

因为a4=16,即a4=ad=8al=16,解得出=2,所以an=2X2'=2";

(2)解法一：(分奇偶、并项求和)

由⑴可知，a2n+i=22E,

n2+1

所以,b=(-1)--log2a2n+1=(-l)-log22"=(-1)--(2n+1),

①若ri为偶数，4=—3+5—7+9----(2n-l)+(2n+1)=(-3+5)+(-7+9)+-••

+[—(2n-1)+(2n+1)]=2X=n;

②若n为奇数，当九>3时，北=£_1+勾=n—1—(2n+1)=—n—2,

当"=1时，7]=—3适合上式，

综上得T=[鹏：(或T=(n+,n£N*)；

解法二：(错位相减法)

由⑴可知，。2n+1=22八+1,

nn2n+1n

所以,b=(-l)-log2a2n+1=(-l)-log22=(-l)-(2n+1),

Tr=(—Ipx3+(-l)2x5+(-l)3x7+…+(—1)%(24+1),

所以_£=(-l)2x3+(-l)3x5+(-l)4x7+---+(M)n+1-(2n+1)

所以27；=3+2[(-l)2+(-l)3+•••+(-1)"]-(-l)n+1(2n+1),

1—f—nn-1

=-3+2x———+(-l)n(2n+1)=—3+1-(-l)n-1+(-l)n(2n+1)

——2+(2n+2)(—l)n,

所以q=(n+l)(-l)"-l,nGN*

题目区|【2022•广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列｛册｝前n项和为Sn,a5=9,S5=25.

(1)求数列｛aj的通项公式及前n项和Sn；

(2)设bn=(—1)*〃,求｛bn｝前n项和Tn.

【答案】⑴2n-l,S=n2;(2)7；=(_夏一『).

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和

即可；

(2)根据⑴中所求即可求得廉,对九分类讨论,结合等差数列的前九项和公式，即可容易求得结果.

【详解】(1)由S5=地詈1=2等1=5a3=25得。3=5.

又因为&5=9,所以4=矢％=2,

则03=Qi+2d=QI+4=5,解得。尸1;

故an=2n—1,

_n(l+2n—1)_2

bn-2-n-

(2)6„=(-l)n2.

当71为偶数时：

Tn=(bx+bo)+(仇+d)H----->"(幻-1+图)

=(-12+22)+(-32+42)+-+[-(n-l)2+n2]

=(2-1)x(2+l)+(4-3)x(4+3)+--+[n-(n-l)]x[n+(n-1)]

=1+2+3H-----1-(n—1)+n

_n(n+1)

―2'

当n为奇数时：

Zi=(仇+戾)+(仇+仇)H-----b(bn-2+bn-i)+bn

=(-12+22)+(—32+42)+[-(«-2)2+(n-I)2]-.

=(2-1)x(2+l)+(4-3)x(4+3)+---+[(n-l)-(n-2)]X[(n-1)+(n-2)]-n2

=1+2+3H-----1-(n—2)+(n—1)—n2

：(♦T)(1+u—1)2

2

n(n+1)

=2,

nn1

综上得T=(,1)n(+)

题型三、QTI+QTI+I类型

2

tl3（2023・广东深圳・统考一模）记S",为数列｛%｝的前n项和，已知Sn=粤+n+l,n£N*.

⑴求Ql+电，并证明｛飙+%+1｝是等差数列；

（2）求S公

【解析】⑴已知Sh=*+/+l,口GN*

当71=1时，Q1=券+2,Ql=4；当72=2时，。1+。2=2+5,电=2,所以。1+。2=6.

22

因为Sn=+n+l①，所以S九+1=—+（n+1）+1②.

2—2

②一①得，为+产.~+（九+1）n，整理得an+an+i=4n+2,nEN*,

所以（Q—i+Qn+2）—（an+M+i）=[4（?2+1）+2]—（4九+2）=4（常数），72CN*,

所以｛册十册+J是首项为6,公差为4的等差数列.

（2）由（1）知，。九_1+。九=4（n—1）+2=4几一2,eN*,2.

-y（6+4n—2）

2

当九为偶数时,Sn=（的+&）+（小+禽）H-----F（%T+册）=-------------=n+n;

7221（10+4n—2）

1+（Q2+Q3）+（Q4+Q5）-----F（a-i+a）=2

当几为奇数时,Sn=。nn4H----------------=n+n+2.

衿卜所讲q_J4+应当"为偶数时

练上所述+2,当"为奇教时

]题目[〔（2022•湖北省鄂州高中高三期末）已知数列｛%｝满足%=1,即+飙+1=2小数列出｝前九项和

为S”,且仇=1,2S,=bn+-l.

（1）求数列｛an｝和数列｛幻｝的通项公式;

（2）设c„=an-bn，求｛c„｝前2八项和T2n.

n,(n=2k—l,kEZ)

【答案】（1）飙=4=3口

n—1,(ri=2k,kEZ)

5(8"—5)9"

⑵

8•M

【解析】

【分析】

(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；

(2)利用错位相减法进行求解即可.

⑴

>2,。九_1+。九=2(n—1),Q九+i-an_i=2,又Qi=1,。2=1,

九=2k—l(k为正整数)时，｛02»1｝是首项为1,公差为2的等差数列，

a2fc_i=2fc—1,an—n,n=2k(k为正整数)时，｛a2k\是首项为1,公差为2的等差数列.

1-f%(n=2k—l,kGZ)

：,a2k=2k-l,：,an=n-l,：,a=[n_1^n=2k；kEzy

,•*2Sn-bn+i—1,；・八)26寸,2Sn_i=bn—1,2bn=bn+i—bn,

n-1n-1

又b2—3,・\n>2时，bn=3,b产1=3°,bn=3;

⑵

击小尸fn3n-1,(n=2fc-l,fceZ)

由⑴付—i)3K，S=2/aez)'

GG„=(1x3°+3x32+5x3,+…+(2n—1)•32"-2)+(1x3x+3x33+5x35+-+(2n-l)-32"-1)=

4(1x3°+3x32+5x34+-(2n-1)-32"-2)

242-2

设Kn=1x3°+3x3+5x3+-(2n-1)-3"①

2462

则9Kl=1x3+3x3+5x3+-+(2n-l)-3"②

①一②