2024年上海市长宁区中考数学三模试卷

2024年上海市长宁区中考数学三模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正

确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）下列二次根式中，与我是同类二次根式的是（）

A.V6B,V9c.V12D.718

2.（4分）用换元法解方程X；+X_2=2时,若设q=y,则原方程可化为关于y的方程是（）

X-XX

A.y2-2y+l=0B.y2-2y-1—0C.y^+y-2—0D.y2-y-2=0

3.（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显由数

据所表现出来的部分与整体的关系的是（）

A.条形图B.扇形图

C.折线图D.频数分布直方图

4.（4分）如果反比例函数图象经过点（4,-2）,则这个反比例函数的解析式为（）

A.y=-B.y=-?-C.y=-D.y=-?-

XXXX

5.（4分）下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6.（4分）如图，在中，NC=90°,3c=7,点。在边3c上，的半径长为3,与。/

相交，那么的半径长厂的取值范围是（）

C.l<r<8D.2<r<8

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.（4分）计算：2a，（3a6）=.

第1页（共22页）

8.（4分）已知/（x）=_2_,那么/（3）的值是.

x-l

9.（4分）已知正比例函数〉=依（后是常数，R0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增

大而.（填“增大”或“减小”）

10.（4分）如果关于x的方程/-4x+机=0有两个相等的实数根，那么加的值是.

11.（4分）如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取1个数，那么取到的数恰好是

3的倍数的概率是.

12.（4分）如果将抛物线y=f向左平移3个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式

是.

13.（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有170

名学生会游泳.

14.（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口3处立一根垂直于井口的木杆

BD,从木杆的顶端。观察井水水岸C,如果测得NB=1.6米，米，那么NC为米.

15.（4分）如图，AC.AD是平行四边形的对角线，设前=W，CA=b）那么向量而二、E表示

为_______________________

16.（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线0/8反映了小明从家步行到学校所走

的路程s（米）与时间f（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行

米.

第2页（共22页）

5（米）

17.（4分）如图，在△48。中，AB=S,N8=60°,点。在边8C上，联结如果将△NCD沿直线

4D翻折后，那么点£到直线BD的距离为

18.（4分）在矩形48CD中，AB=12,2C=16,。。的半径为4,如果。。与矩形/BCD的各边都没有

公共点.

三、解答题：（本大题共7题，10+10+10+10+12+12+14=78分）

32

19.（10分）计算：64+^_2-（y）~+|3-V5|­

‘2x+l>x

20.（10分）解不等式组：x+5、•

C一.31

21.（10分）如图，在直角梯形45C。中，AB//DC,AB=T6,CD=10,BC=6V5.

（1）求梯形48CD的面积;

（2）联结3D,求/。3C的正切值.

22.（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用

课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，小组在测最仰角的度

数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（不完整）.

课题测量旗杆的高度

第3页（共22页）

成员组长XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器、皮尺等

测量示意图说明：线段G8表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度/C=2D=

C1.5m,测点/,A,8之间的距离可以直接测得，且点G,H,A,B,

C,D,E在同一条直线上，点E在G77上.

nBA

测量项目第一次第二次平均值

测量数据NGCE的度数25.6°25.8°25.7°

/G0E的度数31.2°30.8°31°

42之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量，A,2之间的距离的平均值是m.

任务二:根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆G"的高度.

(参考数据：sin25.7°仁0.43,cos25.7°20.90,tan25°心0.48,sin31°~0.52,cos31°-0.86,tan31°

-0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方

案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？

23.(12分)已知：如图，在菱形中，点E、F分别在边48、4D上，CE的延长线交的延长线

于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：ABECsABCH；

(2)如果求证：AG=DF.

第4页(共22页)

C

D■B

HG

24.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点/(-I,0)(3,0)、C(0,3),抛物线y=a/+6x+c

经过/、3两点.

(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点P为该抛物线上一点，当时，求点P的坐标；

(3)如果抛物线y=ax2+6x+c的顶点D位于△20C内，求a的取值范围.

25.(14分)已知是。。的一条弦，点C在。。上，联结CO并延长，且CD=C2.

(1)如图1,如果3。平分/48C,求证：益=前；

(2)如图2,如果/O_LO8,求N。：的值；

(3)延长线段/。交弦3c于点E,如果AEOB是等腰三角形，且OO的半径长等于2

第5页(共22页)

2024年上海市长宁区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正

确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）下列二次根式中，与正是同类二次根式的是（）

A.V6B,V9c.V12D.V18

【解答】解：A.泥与我的被开方数不相同；

B.愿=3与心

C.V12=5V3＞与愿，故是同类二次根式；

D.小比=8近与丁5被开方数不同.

故选：C.

2.（4分）用换元法解方程（\=2时，若设号=y，则原方程可化为关于y的方程是（）

X1-XX

A.y2-2y+l=0B.y2-2y-1=0C.y2+y-2=0D.y2-y~2=0

5

【解答】解：_,

2l-=乙2

xxAx

设则原方程可化为y-L,

x5y

方程两边都乘y,得廿-8=2了，

即f-5'-]=0.

故选：B.

3.（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显由数

据所表现出来的部分与整体的关系的是（）

A.条形图B.扇形图

C.折线图D.频数分布直方图

【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，

故选：B.

4.（4分）如果反比例函数图象经过点（4,-2）,则这个反比例函数的解析式为（）

第6页（共22页）

【解答】解：设反比例函数解析式为＞=上&wo）,

x

•.•函数经过点（4,-6）,

；«=4X（-2）=-8.

反比例函数解析式为y=-呈.

x

故选：C.

5.（4分）下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

【解答】解：A,对角线相等的梯形是等腰梯形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

C、正确；

。、有一个角是直角的梯形是直角梯形；

故选：C.

6.（4分）如图，在RtZX/BC中，NC=90°,BC=I,点。在边3c上，的半径长为3,与

相交，那么的半径长r的取值范围是（）

A.l<r<4B.2<r<4C.l<r<8D.2<r<8

【解答】解：连接/D,

,：AC=4,CD=3,

.\AD=3,

,：QA的半径长为3,QD与ON相交，

第7页（共22页）

：.r>5-2=2,

,:BC=I,

：.BD=3,

:点2在O。外，

：.r<4,

：.QD的半径长r的取值范围是2<Y2,

故选：B.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.（4分）计算：（3a6）=6a2b.

【解答】解：2a•（3仍）=2/6.

故答案为：602b.

8.（4分）已知/（x）=_2_,那么/（3）的值是1.

X-1

【解答】解：：/（尤）=-2_,

x-l

故答案为：1.

9.（4分）已知正比例函数>=依"是常数，及0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增

大而减小.（填"增大"或"减小"）

【解答】解：函数"W0）的图象经过第二、四象限，

故答案为：减小.

10.（4分）如果关于x的方程/-以+加=0有两个相等的实数根，那么心的值是4.

【解答】解：依题意，

:方程f-4x+加=4有两个相等的实数根，

A=b2-4ac=（-7）2-4m=2,解得m=4,

第8页（共22页）

故答案为：4.

11.（4分）如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取1个数，那么取到的数恰好是

3的倍数的概率是_』一.

—10―

【解答】解：：从1，2,2,4,5,7,7,8,2,10这10个数中任意选取1个数，6,2,

取到的数恰好是3的倍数的概率是：A.

10

故答案为：A.

10

12.（4分）如果将抛物线＞=，向左平移3个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是v=（x+3）

2

【解答】解：将抛物线＞=，向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y=（x+5）2,

故答案为：＞=（x+3）5,

13.（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有170

名学生会游泳3570.

【解答】解：8400x112=3570.

400

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3570.

故答案为：3570.

14.（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口3处立一根垂直于井口的木杆

BD,从木杆的顶端。观察井水水岸C,如果测得N3=1.6米，米，那么NC为7米.

【解答】解：'JBDLAB,ACLAB,

：.BD//AC,

'△ACEs^BDE,

A-C-A--E-,

BDBE

A-C

1:1.6

072

第9页（共22页）

：.AC=2（米）,

故答案为：7.

15.（4分）如图，AC,3。是平行四边形48CD的对角线，设BC=a，CA=b，那么向量BDa、b表示为

2a±b—•

【解答】解：•••四边形/BCD是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,AB//CD,

AD=BC=a>

VCD=CA+AD=b+a，

BA=CD=b+a，

VBD=BA+AD，

故答案为：2软+b.

16.（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线0/8反映了小明从家步行到学校所走

的路程s（米）与时间f（分钟）的函数关系，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行

【解答】解：当8WK20时，设5=左+6,

将（8,960）,1800）代入

pk+b=960

l20k+b=1800,

第10页（共22页）

解得：K：400

5=70？+400；

当f=15时,5=1450,

1800-1450=350（米）

当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350.

17.（4分）如图，在△48C中，48=8,N8=60°,点。在边5。上，联结4D,如果将沿直线

/£（翻折后，那么点E到直线3。的距离为

_^V3_.

【解答】解：如图，过点£作于

・.・5C=14,CD=6,

:,BD=BC-CD=8,

・：AB=7=BD,Z5=60°,

.*•AABD是等边三角形，

AZADB=60°,

AZADC=ZADE=120°,

:・NEDH=60°,

■:EH1BC,

：.ZEHD=90°,

•:DE=DC=6,

：.EH=DE*sm6Q°=3通，

：.E到直线BD的距离为3a，

第11页（共22页）

故答案为：7A/^.

18.（4分）在矩形488中，AB=12,BC=16,。。的半径为4,如果。。与矩形N5CD的各边都没有

公共点型＜/。＜也.

—33―

【解答】解：•••四边形是矩形，

：.CD=AB=n,AD=BC=16,

.,./C={AB2+BC2=20,

如图①，当圆与AD相切时，

连接（W,

：.OM±AD,

"：CDLAD,

：.OM//CD,

：.AA0Ms/\ACD,

：.OMtCD=AO：AC,

：.2：12=/O：20,

；./O=型，

3

如图②，

当圆与3C相切于N时，

同理证明：△CONs/\CAB,

：.OC：AC=ON：AB,

：.OC-.20=4：12,

OC=型，

3

：.AO=20-型=也，

33

...线段/o长的取值范围是型v/o〈也.

53

故答案为：型＜/o〈9.

36

第12页（共22页）

三、解答题：（本大题共7题，10+10+10+10+12+12+14=78分）

19.（10分）计算：64?+信2.-育厂2+।3-粕卜

_6_

37+浜+2

【解答】解：原式=（4）--9+6-/5

(V5-2)(V5+2)

=4+77+2-9+2-V5

=0.

f2x+l>x

20.（10分）解不等式组：x+5

-x>l

2

'2x+l>x①

【解答】解：,x+3

-x>1(2)

I2

解不等式①得，%>-8；

解不等式②得，xW3；

所以不等式的解集为：-1<XW8.

21.(10分)如图，在直角梯形/BCD中，AB//DC,AB=16,CZ)=10,BC=6V5.

（1）求梯形/BCD的面积;

（2）联结8。，求NO8C的正切值.

【解答】解：（1）如图，过点C作CEL/2于点E,

'：AB//DC,ZDAB=90°,

四边形/DCE为矩形,

：.CE=AD,AE=DC=10,

：AB=16,

第13页（共22页）

:・BE=AB-AE=16-10=6,

由勾股定理得：CE=JBC2-BE，=12,

，梯形/BCD的面积为：-lx(10+16)X12=156；

2

(2)如图，连接

则/C77D=/ZM3=90°,

在中，40=12,

则^^VAB5+AB2=2°-

,:AB〃DC,

：.ZCDH=/DBA,

:•△CHDs^DAB,

・CH-DCpnCH_10

ADBD1220

解得：CH=6,

由勾股定理得：9rBe4_CM=12,

22.（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用

课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，小组在测最仰角的度

数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器、皮尺等

测量示意图说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度/C=2D=

1.5m,测点/,A,8之间的距离可以直接测得，且点G,H,A,B,

C,D,E在同一条直线上，点E在G77上.

第14页（共22页）

C

BA

测量项目第一次第二次平均值

测量数据ZGCE的度数25.6°25.8°25.7°

/GDE的度数31.2°30.8°31°

48之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量，A,8之间的距离的平均值是5.5m.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆G8的高度.

（参考数据：sin25.7°七0.43,cos25.7°口0.90,tan25°心0.48,sin31°"0.52,cos31°20.86,tan31

入0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方

案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？

【解答】解：任务一：两次测量，A,8之间的距离的平均值是C5.4+2.6)+2=11+5=5.5(%).

故答案为：2.5；

任务二：设£G=x%,

在RtZXOEG中，ZGDE=31°,

■an31。=里

DE

：.DE=——?------

tan310

在RtZ\C£G中，/GCE=25.7。，

第15页(共22页)

Vtan25.3°=也，

CE

：.CE=------------------

tan25.7°

•：CD=AB=52,CD=CE-DE,

・・・x_x=54,

tan25.7°tan310

••x—13.2,

/.GH=GE+EH=13.2+4.5=14.7（米），

即旗杆GX的高度约为14.7米.

任务三：原因可能是没有太阳光，或旗杆底部不可能达到.

23.（12分）已知：如图，在菱形/BCD中，点E、尸分别在边A8、AD上,CE的延长线交£）/的延长线

于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：△BECs^BCH；

（2）如果BE?求证：AG=DF.

【解答】(1)证明：：四边形N3CD是菱形,

：.CD=CB,/D=/B,

,:DF=BE,

:ACDF空MCBE(SAS),

：.NDCF=/BCE,

'JCD//BH,

：.NH=/DCF,

/H=NBCE,

'：NB=/B,

:.ABECsABCH.

(2)证明：'：BE1=AB'AE,

•••A-B---B-E,

BEAE

第16页（共22页）

.CB//DG,

：.△/EGSABEC,

A-E-AG

BEBC

AGBE

--AB

BC

"：BC=AB,

：.AG=BE,

:ACDF咨ACBE,

:.DF=BE,

：.AG=DF.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点/(-1,0)(3,0)、C(0,3),抛物线y=af+6x+c

经过N、3两点.

(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点尸为该抛物线上一点，当时，求点P的坐标；

(3)如果抛物线y=ax2+6x+c的顶点。位于△8OC内，求a的取值范围.

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1).

将点C的坐标(7,3)代入得：-3a=6,

...抛物线的解析式为＞=-X2+2X+6；

(2)如图1,设尸2交y轴于点£,

第17页(共22页)

：・OB=OC=3,

*：ZCOB=9Q°,

:・NOCB=/OBC=45°,

又「NACB=/PBC,

：.ZACB-ZOCB=ZPBC-AOBC,即NOG4=N%。,

tanZOCA=tanZPBO,即与&

OCOB

•・•—2=—OE,

33

：.OE=2,

:点P在第三象限，

：.E(0,-1),

设尸3的解析式为：y=kx+b(左W8),

把£(0,-1)和8(8代=-1,

l3k+b=8

解得：/3,

上=-5

，尸2的解析式为：>=1-5,

3

2

y=-x+2x+3fx,=3乂2=万

则《1,解得：《或

y=TX-8了5=°13

3v

：.p(-A,-里)；

36

第18页（共22页）

(3):抛物线y=a/+6x+c经过/、2两点，

，对称轴是：直线x=213=l,

2

；B(6,0),3),

同理得3c的解