湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的中位数是（）A.5 B.5.5 C.6 D.7〖答案〗A〖解析〗将从小到大排列为：，这9个数的中位数为5.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，得，解得，所以，又，所以，故选：D.3.已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为，则其体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可设圆柱底面半径为，由圆柱的轴截面为正方形可知圆柱的高，所以圆柱的表面积，所以，则体积，故选：A.4.已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗“在上单调递增”当且仅当，即当且仅当，换言之，“在上单调递增”的充要条件是.故选：B.5.在中，，为线段的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，则，又为线段的中点，所以，所以，即，，所以，故选：C.6.已知在中，，，且的面积为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知的面积，则，又，且，所以，，由余弦定理可得，即，故选：D.7.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，又，且，所以，又，所以，故选：B.8.若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，画出在的图象，也画出的草图，函数与的图象有且仅有4个交点，则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.满足，解得．故选：C．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第四象限D.是纯虚数〖答案〗BCD〖解析〗由，得，设，则，所以，所以，解得，即，A选项错误；则，B选项正确；且复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，C选项正确；为纯虚数，D选项正确；故选：BCD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最大值与最小值之差为1B.在区间上单调递增C.的图象关于点中心对称D.若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数〖答案〗AD〖解析〗.则函数,，之差为，则A正确．，则区间上有增有减，则B错误.将代入〖解析〗式得，，则不是对称中心，则C错误.将的图象向左平移个单位长度得到.则,则是偶函数，则D正确.故选：AD11.已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中点，，，，是棱上的动点，，是棱上的动点，且，则（）A.平面B.C.该三棱柱的外接球的体积为D.三棱锥的体积恒为〖答案〗ABD〖解析〗如图所示，由已知三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中点，则，又，，，，又，且，平面，平面，故A选项正确；又平面，所以，又由正三角形可知，，，平面,则平面，又平面，所以，B选项正确；所以该三棱柱为正三棱柱，则其外接球球心为中点，又，则，，所以，外接球体积，C选项错误；又正三棱柱可知平面，即平面，所以到平面的距离，且，所以三棱锥体积，D选项正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量，，若，则实数__________.〖答案〗〖解析〗由已知，，则，又，所以，又，即所以，故〖答案〗为：.13.袋子中装有6个质地､大小均相同的球，其中有3个红球､2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为__________.〖答案〗〖解析〗设3个红球分别为：，2个绿球分别为：，一个蓝球为：，则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为：，共15个基本事件；事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有：，共11个基本事件；故所求概率为：.故〖答案〗为：.14.记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗设t=min{y-x,z-y,1-z},则t≤y-x,即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1,所以t≤.取显然满足且此时t=，所以，故〖答案〗为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：甲击中的环数乙击中的环数（1）求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差；（2）用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.解：（1）由已知，；（2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，；又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环，所以若甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等，则第十次射击甲击中的环数需比乙少环，概率.16.已知数列是递增数列，其前项和满足.（1）证明：是等差数列；（2）记，数列的前项和为，求.解：（1）当时，，解得，当时，，则，即，即又数列为递增数列，所以，故，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，则.17.如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，为棱的中点，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）设，因为和均为等腰直角三角形，且，可得,如图所示，取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，又因为，所以，因为为等腰直角三角形，，所以且，所以是二面角的平面角，又由，所以，所以，所以平面平面.（2）由（1）知两两垂直，故以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量为，可得，设二面角的平面角的大小为，即，所以，即二面角的正弦值为.18.已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点.（1）求的方程；（2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.（i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系；（ii）证明：直线经过轴上的定点.解：（1）由已知设椭圆方程为，又椭圆离心率为，即，所以椭圆方程为，又椭圆过点，所以，则，，所以椭圆方程为；（2）（i）设，则，又，，因为，所以，即，解得，则，即，，所以，即直线和垂直；（ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立，所以直线与轴不平行，设，且，，联立直线与椭圆，得，，则，，又，即，即，即，化简可得，则或，又当时，，，又因为直线不过点，所以,所以，无解，综上所述，，直线方程为，所以恒过轴上定点.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若的极大值为，求的取值范围；（3）若，证明：当时，.解：（1）我们有.当时，.所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程是.（2）若，则对有，对有.从而在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；若，则对有，对有.从而在和上递增，在上递减，故的极大值