湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合表示函数的定义域，则，集合表示函数的值域，则，故.故选：A.2.在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗复数对应的点在第三象限，设，则，，由，则复数对应的点在第四象限.故选：D.3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.“直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件〖答案〗B〖解析〗对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则或与相交，故C错误；对于D，直线不相交，则直线平行或异面，故“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，故D错误.故选：B.4.设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（）A. B.或 C. D.〖答案〗D〖解析〗有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件.故选：D.5.在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由，得，得，即得，则C选项正确.故选：C.6.在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设中点为中点为中点为，外接球球心在中点处，设，该三棱柱的体积为，该三棱柱的外接球表面积为，外接球半径，即，，，，，底面内切圆半径，，因此该球最大半径为.故选：B.7.矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，其中，则，在直角中，由勾股定理得：，解得：，，，当且仅当，即时等号成立.故选：B.8.定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，在上单调递增，则在上单调递减，所以越靠近对称轴函数值越小，由得，由于，所以，故，可得，即时恒成立，可得，由于在时单调递增，，此时，时单调递减，，此时，则实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（）A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分C.分数在区间内的频率为0.2D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人〖答案〗BC〖解析〗对A，平均成绩为，故A错误；对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内，则第75百分位数为，故B正确；对C，分数在区间内的频率为，故C正确；对D，区间应抽取人，故D错误.故选：BC.10.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.在上的投影向量为C.若与的夹角为锐角，则D.若要使最小，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为，所以，又，且，所以，解得：，故A正确；对于B：由，则，所以在上的投影向量为，故B正确；对于C：当与共线时，有，此时与方向相同，当与的夹角为锐角，有，解得，所以且时，与的夹角为锐角，故C错误；对于D：由，，结合二次函数的性质可知，时取最小值，故D正确.故选：ABD.11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（）A.翻折过程中存在某个位置，使B.当时，与平面所成角的正弦值为C.在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2D.当时，的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于：当平面平面时，，证明如下：因为平面平面，平面平面，，平面，则平面，因为平面，所以，故A正确；对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有，，平面，则平面，平面，有平面平面，由A选项知平面，所以是直线与平面所成的角；由，有，，，，，则，故B错误；对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面，即是三棱锥的高，，故C正确；对于D：当时，因为为的中点，所以，则，又因为的中点，所以，又，所以，所以，如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，则当三点共线时，最小，即的最小值为，在中，，则，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角满足，则______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴，，，.13.已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为______.〖答案〗2〖解析〗由题意得，当时，，即，即时，解得，符合题意；时，解得，舍；当时，，即，时，解得，舍；时，，解得，符合题意；综上，关于的方程的不等实根为和，共2个.故〖答案〗为：2.14.在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由，则，所以，即，即，解得或（舍去），可得，，因为是锐角三角形，则有，所以，，，则，有，由于，所以，可得的取值范围为.故〖答案〗：.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知关于的不等式.（1）若，求不等式的解集；（2）解关于的不等式.解：（1）由，当时，可得解集为.（2）对应方程的两个根为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或，当时，原不等式的解集为或.16.如图，在梯形中，为线段中点，记（1）用表示向量；（2）求的值；（3）求与夹角的余弦值.解：（1）.（2）由于，可得，又有，所以.（3）由于，可得，又有，所以，由，可得，.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为.（1）求证：面；（2）当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值.解：（1）证明：面面，，又面面，在面内，，底面是正方形，，又面面.（2）因为平面，平面，所以，设，设四棱锥的外接球的半径为，则（当且仅当，即取等号），可得，故，过作交于，连接，由，则，故为平面与平面所成的二面角的平面角，由（1）知面，面，故，在中，可得，由等面积可得又，平面与平面所成二面角的余弦值为.18.已知函数，若函数在上恰好有两个零点.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，关于方程有两个不同的实根，求实数的取值范围；（3）在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度.解：（1）由得，由函数在上恰好有两个零点得，∴，由，得函数的单调递增区间为.（2），令，则，由题意得在上有两个不同的实根，.（3）由得，，因为，则由，解得：，由，得，.19.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；（2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；（3）若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.解：（1）因为，则，任取，令，可得，即或，可得，或，所以对于任意，能找到两个，使得，所以是的“重覆盖函数”，且.（2）可得的定义域为，即对任意，存在3个不同的实数，使得（其中），，则，，即，即对任意有3个实根