人教版初中数学同步讲义八年级下册第01讲 平行四边形的性质（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第01讲平行四边形的性质课程标准学习目标①平行四边形的概念②平行四边形的性质③平行线间的距离掌握平行四边形的概念并能够进行简单的判断。掌握平行四边形的性质并能够熟练的进行相关的应用。掌握平行线间的距离并熟练应用知识点01平行四边形的概念平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。知识点02平行四边形的性质平行四边形的性质：①边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。②角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。（由平行与邻角转换可得）③对角线的性质：平行四边形的对角线相互平分（连接两条对角线证明全等可得）。④平行四边形的面积计算：等于底×高。⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。【即学即练1】1．以下平行四边形的性质错误的是（）A．对边平行 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相垂直【解答】解：A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意；B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线相互平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意；故选：D．【即学即练2】2．如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【即学即练3】3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝12，CD＝4，则△ABO的周长是（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝4，∵AC+BD＝12，∴AO+BO＝6，∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝6+4＝10．故选：B．知识点03平行线间的距离平行线间的距离的定义：一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的距离是这一组平行间的距离。平行线间的距离的性质：①两条平行线间的距离处处相等。②平行线间的平行线段相等。【即学即练1】4．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（）A．AB＝CD B．CE＝FG C．A、B两点间距离就是线段AB的长度 D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AB＝CD，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE＝FG，故本选项正确；C、∵AB是线段，∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项正确；D、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误．故选：D．题型01平行线的性质的理解判断【典例1】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（）A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等【解答】解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．∴B、C、D正确，A错误，故选：A．【变式1】平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分【解答】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选：C．【变式2】如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝DC，故A、C、D错误，不符合题意；故选：B．【变式3】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（）A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD【解答】解：∵∠AOB+∠BAO+∠OBA＝180°，∠AOB＝180°﹣2∠BAO，∴∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，故选：C．题型02平行四边形的性质与角度的计算【典例1】在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为65度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B+50°，∴∠B＝65°，∠A＝115°，故答案为：65．【变式1】在▱ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数是（）A．70° B．80° C．90° D．110°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵∠A+∠C＝220°，∴∠A＝∠C＝110°，∴∠D＝180°﹣∠B＝70°．故选：A．【变式2】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（）A．155° B．130° C．125° D．110°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式3】如图，在▱ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为22°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝68°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD＝68°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．故答案为：22°．【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，在△BAC和△AED中，，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．故选：C．题型03平行四边形的性质与线段长度的计算【典例1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，∴AE＝AB＝3，∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，故选：C．【变式2】在▱ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，∴AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4（cm），故选：C．【变式3】如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB＝，线段CE的长为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．3【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE，∴AB＝AE＝，DE＝DC＝，∴AD＝BC＝2，∴CE＝＝＝3，故选：D．【变式4】如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝5，AB＝CF＝3，∴CD＝3，BC＝5，∴BF＝BC+CF＝8，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝8，DG＝EG，延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝3，BE＝8，∴HE＝3，BH＝5，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝5，∴CG＝CH＝，故答案为：．题型04平行四边形的面积【典例1】观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（）A．它们形状相同，面积相等 B．它们形状相同，面积不相等 C．它们形状不相同，面积相等 D．它们形状不相同，面积不相等【解答】解：图中三个平行四边形的形状不相同，但面积均为：3×5＝15（cm2），故选：C．【变式1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm，且一条底边上的高是7cm，则这个平行四边形的面积是（）cm2．A．42cm2 B．56cm2 C．48cm2 D．42cm2或者56cm2【解答】解：∵一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm，且一条底边上的高是7cm，当底是8时，高如果为7，则7＞斜边6，不符合题意，∴这个平行四边形的面积＝6×7＝42（cm2），故选：A．【变式2】图中，平行四边形的面积是30平方厘米，下列说法错误的是（）A．S甲＝S乙+S丙 B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3 C．S甲＝15平方厘米 D．S丙＝6平方厘米【解答】解：∵平行四边形的面积是30平方厘米，∴甲的面积＝（平方厘米），乙的面积＝（平方厘米），丙的面积＝（平方厘米），故选：D．【变式3】如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（）cm2A．24 B．17 C．18 D．10【解答】解：连接EF，∵F是▱ABCD的边CD上的点，∴BE∥CF，∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，∵BQ＝FQ，∴△EBQ≌△CFQ，∴EQ＝CQ，∴四边形EBCF是平行四边形，∴，∵S△AED＝S△AEF，∴，∴，故选：C．题型05平行四边形的周长【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周长为13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形的周长为2（AD+DC）＝18cm．故选：D．【变式1】如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22．【变式2】如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（）A．30 B．25 C．20 D．15【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝5，AE＝CF，∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，∵▱ABCD的周长为30，∴2AB+2CB＝30，∴AB+CB＝15，∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，∴四边形ABFE的周长是25，故选：B．【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（）cm．A．11 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式4】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．题型06利用平行四边形的性质求坐标【典例1】在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交于点O．若点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵▱ABCD的对角线交于点O．点A的坐标为（﹣2，3），∴点C的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【变式1】（多选）29．如图，在直角坐标系中，以点O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣3） C．（3，3） D．（2，3）【解答】解：∵O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2），∴OB＝2，当OB为边时，第四个点的坐标为（﹣2，1），（﹣2，﹣3）；当OB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），∴0+0＝﹣2+x，0+2＝﹣1+y，∴x＝2，y＝3，∴第四个点的坐标为（2，3），故选：ABD．【变式2】在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∴DC∥AB，DC＝AB＝5，∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3，即点C的坐标是（7，3），故选：A．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵A（2，0），则OA＝2，∵∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，在Rt△AOB中，，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∴BC＝AD＝5，∴C，故选：C．题型07平行线间的距离【典例1】如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：如图，作AC⊥BC，∵直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，∴∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝×AB＝2．故选：D．【变式1】如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是3．【解答】解：作AC⊥b于点C，∵a∥b，∠1＝60°，∴∠ABC＝∠1＝60°，∴AC＝AB•sin60°＝6×＝3，∴直线a与直线b之间的距离是3．故答案为：3．【变式2】如图，a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a、b之间的距离为3，则线段AC的长度为6．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵a∥b，∴AH＝3，∠ACH＝∠2，∵∠1＝45°，∠BAC＝105°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝30°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AH＝6．故答案为：6．【变式3】在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（）A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；当直线c在直线a、b外部时，如图（2），直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），∴直线a、c间的距离是4或10cm．故选：A．1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（）A．ABCD B．OB＝OD C．AB＝AD D．∠ABC＝∠ADC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，故A正确、B正确、D正确；∵任意平行四边形的邻边不一定相等，∴AB与AD不一定相等，故C错误，故选：C．2．在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，故选：D．3．如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（）A．AB B．AC C．AD D．DE【解答】解：∵m∥n，AC⊥n，∴AC⊥m，∴AC可以表示平行线m与n之间的距离，故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．5．平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵A（0，0），B（0，﹣4），C（﹣3，3），∴AB＝4，当AB为边时，第四个点的坐标为（﹣3，﹣1），（﹣3，7）；当AB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），∴0+0＝﹣3+x，0﹣4＝3+y，∴x＝3，y＝﹣7，∴第四个点的坐标为（3，﹣7），故选：A．6．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上都不对【解答】解：如图①，a与c之间的距离为5+3＝8（cm）；如图②，a与c之间的距离为5﹣3＝2（cm）．∴a与c之间的距离为8cm或2cm．故选：C．7．如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（）A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB交CD于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD：AB＝3：4，∴DE：AB＝3：4，故选：A．8．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③错误；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．正确的有3个，故选：C．10．如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150° B．145° C．135° D．120°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°，∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故选：A．11．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为3cm．【解答】解：∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5cm，BC＝4cm．∴AC＝＝3（cm），∴平行线l1，l2之间的距离为3cm．故答案为：3．12．如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），则BC＝+1．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，又∵点O为坐标原点，∴点A和点C关于原点对称，∵点A的坐标为（﹣，1），∴C点坐标为（，﹣1），∵B（﹣1，﹣1），∴BC＝+1．故答案为：+1．13．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为14或22．【解答】解：当E在BC上时，如图，∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，∴sinB＝，∴AB＝＝＝6，∵BE＝AB＝3，∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22；当E在BC延长线上时，如图，由以上解答知：AB＝6，BE＝3，∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14，∴平行四边形ABCD的周长是14或22．故答案为：14或22．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为．【解答】解：如图所示，连接EF、AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC∵点E，F分别是AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠ADC＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵ME∥CD，EF∥CD，∴M、E、F三点共线，∴MF∥AB，∴∠MEN＝∠BAN，在△EMN和△ABN中，∴△ABN≌△EMN（AAS），∴AN＝NE，∴，FN⊥AE，∴，故答案为：．16．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACE，∵AE⊥BC，DF⊥AC，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，在△ADF与△ACE中，，∴△ADF≌△ACE（AAS），∴AE＝DF．17．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．（1）若∠1＝70°，求∠2的度数；（2）若AC＝5，AB＝