人教版初中数学同步讲义八年级下册第04讲 菱形（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第04讲菱形课程标准学习目标①菱形的定义与性质②菱形的判定熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。知识点01菱形的定义与性质分式方程的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的性质：①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。特殊性：②边的特殊性：四条边都相等。即：AB=BC=CD=AD③对角线的特殊性：对角线相互垂直且平分每一组对角。即：AC⊥BD，且∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD。④面积计算：等于对角线乘积的一半。即。⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．菱形不具有的性质是（）A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，∴选项D符合题意，故选：D．【即学即练2】2．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°，∴点O为BD的中点，，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∴，∴∠OED＝∠ODE＝30°，故选：C．【即学即练3】3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴AC＝6，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝9，∴BD＝3，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝．故选：C．知识点02菱形的判定直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。符号语言：∵AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形平行四边形判定：①邻边相等的平行四边形是菱形。符号语言：∵在▱ABCD中，AB=AD∴四边形ABCD是菱形②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。符号语言：∵在▱ABCD中，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形【即学即练1】4．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．故选：B．【即学即练2】5．要使▱ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD【解答】解：A、由AB＝AD，能判定▱ABCD为菱形，故选项A符合题意；B、由AB⊥AD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、由AD＝BC，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【即学即练3】6．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．题型01利用菱形的性质求线段或周长【典例1】菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（）A．12cm B． C．4cm D．24cm【解答】解：如图，∵菱形的两条对角线长分别为10cm，8cm，∴AO＝4cm，BO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理，AB＝＝cm，所以，周长＝×4＝4（cm．）．故选：C．【变式1】若菱形的面积为216，其中一条对角线的长为24，则该菱形的周长为（）A．36 B．24 C．48 D．60【解答】解：如图，菱形ABCD的面积为216，AC与BD交于点O，AC＝24，∵AC⊥BD，∴AC•BD＝×24BD＝216，∴BD＝24，∵∠AOB＝90°，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝9，∴AB＝＝15，∴菱形ABCD的周长＝15×4＝60，故选：D．【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则AD与BC之间的距离为（）A．6 B． C． D．4【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OA＝AC＝4，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝5，∵S菱形ABCD＝AD•BE＝AC•BD，∴5BE＝24，∴BE＝，故选：B．【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故选：B．【变式4】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）A． B．2 C． D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE，∴，∴EF+EG＝2，故选：A．题型02利用菱形的性质求角度【典例1】如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为70°．【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2，∴∠DAB＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠2＝70°．故答案为：70°．【变式1】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是20°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴OE＝BD＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝70°，∴∠OED＝90°﹣∠OEB＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．【变式2】如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形ABCD和一个等边△DEF，使得点E，F分别在AB和BC上，那么∠B的度数为（）A．105° B．100° C．95° D．80°【解答】解：设∠A＝x°，∵菱形ABCD和等边△DEF的边长相等，∴DA＝DE，DF＝DC，∴∠DEA＝∠A＝x°，∠C＝∠DFC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝x°，DC∥AB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝180°﹣2x°，∵∠A+∠ADC＝180°，∴x+180﹣2x+180﹣2x+60＝180，∴x＝80，∴∠A＝80°，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∴∠B＝100°．故选：B．【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（）A．80° B．82° C．86° D．88°【解答】解：如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°，∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°，∴∠FAD＝43°，又∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA＝43°，∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°，故选：C．【变式4】如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，故选：A．题型03利用菱形的性质求点的坐标【典例1】如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（）A． B． C． D．（﹣2，﹣2）【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点O为坐标原点，∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，∵点A的坐标为，∴C点坐标为（2，﹣2），故选：B．【变式1】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是（10，0）．【解答】解：∵四边形OABC是菱形，对角线OB、AC交于点D，∴AC⊥OB，∴∠ADO＝90°，∵AC＝12，OB＝16，∴AD＝CD＝AC＝6，OD＝BD＝OB＝8，∴OA＝＝＝10，∴A（10，0），故答案为：（10，0）．【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（4，5），则C点的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣2.5） D．（﹣2，0）【解答】解：∵A（4，5），∴OD＝4，AD＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝5，在Rt△ODC中，OC＝＝＝3，∴C（0，﹣3）．故选：B．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝4，∴AB＝＝＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，AD∥BC，∴点D坐标为（2，4），故选：A．【变式4】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点E的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：过E作EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AE＝CE，AB＝BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AO⊥BC，∴OC＝OB，∵B的坐标是（﹣1，0），∴OB＝1，∴OC＝1，∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴AO＝OB＝，∵AO⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥AO，∵AE＝EC，∴CH＝OH＝OC＝，∴EH是△AOC的中位线，∴EH＝AO＝，∴E的坐标是（，）．故选：A．题型04菱形的判定方法【典例1】下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故该选项符合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；故选：A．【变式1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【解答】解：A、由AB⊥BC，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、由AB＝CD，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；故选：B．【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选：B．【变式3】如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（）①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD；A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；③∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；综上所述，能使▱ABCD是菱形的为②③④，故选：D．题型05菱形的判定与性质【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．【解答】证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴平行四边形ADCE为菱形．【变式1】如图，在▭ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，∵CF⊥AB，DE⊥BC，∴∠CFB＝∠DEC＝90°，又∵CF＝DE，∠B＝∠DCE，∴△BFC≌△CED（AAS），∴BC＝CD，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵△BFC≌△CED，∴BC＝DC＝AB，设BC＝x，∴CD＝AB＝x，在Rt△BCF中，∠B＝60°，∴∠BCF＝30°，∴FB＝BC，∴x﹣5＝x，解得x＝10，∴BC＝10．【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE，∵AB＝2CD，∴2AE＝2CD，∴AE＝CD，∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵∠DCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四边形AECD为菱形．（2）解：∵AE＝CE＝DC＝4，∴AE＝BE＝CE＝4，∵∠CEB＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，∵∠ACE＝∠CAE，∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°，∵AB＝2AE＝8，∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝BC•AC＝×4×4＝8，∴△ABC的面积为8．【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，∴OA＝OC，∵OE＝OD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）解：∵四边形AECD是菱形，∴OE⊥OA，∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，∴BF＝OB，∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），∴AF＝OA＝OC，∵BF＝OB＝3，BE＝5，∴EF＝，∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠∠FEB＝∠∠AEO，∴△AEO∽△EBF，∴，即，∴AE＝10，∴AD＝AE＝10．【变式4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是菱形；请说明理由．②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为6．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AD＝CD＝BD，∴四边形ADCE是菱形，故答案为菱形；②∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形ECBD是平行四边形，∴DE＝BC＝4，∵AB＝5，∴AC＝＝3，∴四边形ADCE的面积为．故答案为6．【变式5】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为：或4．【解答】解：（1）（2）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵∠C＝30°，BC＝5，∴AC＝10，AB＝5，∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t，若使△DEF能够成为等边三角形，则平行四边形AEFD为菱形，则AE＝AD，∴t＝10﹣2t，∴t＝；即当t＝时，△DEF为等边三角形；（2）当t＝或4时，△DEF为直角三角形．理由如下：①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE．即10﹣2t＝2t，∴t＝；②∠DEF＝90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°．∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，∴AD＝AE•cos60°．即10﹣2t＝t，∴t＝4；③∠EFD＝90°时，∵DF⊥BC，∴点E运动到点B处，用了AB÷1＝5秒中，同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，点F也就和点B重合，点D，E，F不能构成三角形．此种情况不存在；综上所述，当t＝或4时，△DEF为直角三角形．故答案为：或4．1．下列选项中，菱形不具有的性质是（）A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，∴选项C符合题意，故选：C．2．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，A、∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意；故选：D．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AFB＝90°，∵E为AB的中点，且EF＝2，∴AB＝2EF＝4，即菱形ABCD的边长是4，故选：B．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝3，DB＝4，则点A到BC的距离为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴BC＝＝，菱形的面积为＝6，设点A到BC的距离为h，∴×h＝6，解得h＝，∴点A到BC的距离为．故选：C．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．24 B．8 C． D．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，故选：D．6．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（）A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α【解答】解：连接AC，EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF＝α．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵∠AFC＝∠FAD+∠D，∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，∴∠CEF＝α，不能证出∠AFD＝90°﹣α，故选：D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（）A． B． C．4 D．8【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，∴∠BAD＝60°，AD＝AB，则△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°，故AO＝4cos30°＝2，∴AC＝2AO＝4．故选：A．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DAO和△BCO中，，∴△DAO≌△BCO（ASA），∴OA＝OC，∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；③∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形．综上所述：选择①③④，使得四边形ABCD是菱形，故选：C．9．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM为菱形；乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；根据两人的做法可判断（）A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误【解答】解：甲：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，由作图可知，AM＝AB，BN＝AB，∴AM＝BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∵AM＝AB，∴平行四边形ABNM为菱形，故甲的作法正确；乙：如图，设AH交BE于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BHO，∵AH垂直平分BE，∴BO＝EO，又∵∠AOE＝∠HOB，∴△AOE≌△HOB（ASA），∴AE＝HB，∴四边形ABHE为平行四边形，又∵AE＝AB，∴平行四边形ABHE为菱形，故乙的作法正确；故选：C．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（）A． B． C． D．【解答】解：过P作PM⊥CD于M，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，∵PF⊥BC于F，∴PF＝PM，∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，∴P、E、M共线，∴PE+PF＝PE+PM＝ME，∵AC＝8，BD＝6，∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，∴AB＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝AB•EM＝AC•BD，∴5EM＝×6×8，∴EM＝．∴PE+PF的值为．故选：C．11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等），使四边形ABCD成为菱形．【解答】解：当添加“AD∥BC”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“AB＝CD”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．12．在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长是4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的边长＝＝，∴菱形ABCD的周长是4，故答案为：4．13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为60．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半，∵菱形的两条对角线的长分别为10和24，∴菱形的面积为×10×24＝120，∴阴影部分的面积为60，故答案为：60．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝8，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值为，故答案为：．15．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为240．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD与AC互相垂直平分，∴OA＝OC＝24，∴OB＝OD＝＝10，∵DA∥CB，∴∠DAB＝∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE＝CBE，∴∠CAB＝∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG＝S△ABG，∴S△ACG＝S△ABC＝×AC•OB＝×48×10＝240，则△ACG的面积为240．故答案为：240．16．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；（2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长．【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形；（2）由（1）知四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，DF＝AF，∴＝，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，即＝，解得：DF＝．17．如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠OCD，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，在△AOB和△OCD中，，∴△AOB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°，∴∠DCE+∠AEC＝180°，∴∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°，∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°，∵∠AEC＝90°，OA＝OC，∴OE＝AC＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝63°，∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°，即∠CFO的度数为99°．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是