人教版初中数学同步讲义八年级下册第05讲 正方形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第05讲正方形课程标准学习目标①正方形的定义与性质②正方形的判定③中点四边形熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。知识点01正方形的定义与性质正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。正方形的性质：同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。【即学即练1】1．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（）A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等【解答】解：A．因为菱形的对角线互相垂直，所以A选项错误，不符合题意；B．因为矩形的对角线相等，所以B选项错误，不符合题意；C．正方形、矩形的四个角相等，所以C选项错误，不符合题意．D．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以D选项正确，符合题意；故选：D．【即学即练2】2．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（）A． B． C．0.5 D．1【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴BD＝BC＝2，∴BO＝，∴BP＝OB＝，∴CP＝BC﹣BP＝2﹣，故选：A．【即学即练3】3．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，故选：D．知识点02正方形的判定直接判定：四条边相等，四个角也相等的四边形是正方形。符号语言：∵AB=BC=CD=AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°。∴四边形ABCD是正方形利用平行四边形、矩形以及菱形判定：先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。①平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。符号语言：在▱ABCD中，∵AB＝BC，且∠ABC=90°∴▱ABCD是正方形②平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。符号语言：▱ABCD中∵AB＝BC且AC＝BD∴▱ABCD是正方形③平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°符号语言：▱ABCD中∵AC⊥BD且∠ABC＝90°∴▱ABCD是正方形④平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。符号语言：▱ABCD中∵AC⊥BD且AC＝BD∴▱ABCD是正方形可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形。【即学即练1】4．若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（）A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形 B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形 D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形【解答】解：当OA＝OD时，平行四边形ABCD是不一定是菱形，故选项A不符合题意；当AB＝AD时，▱ABCD不一定为正方形，故选项B不符合题意；当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形，故选项C符合题意；当AC⊥BD时，▱ABCD为是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．【即学即练2】5．已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件AC＝BD或AB⊥BC可使菱形ABCD成为正方形．【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．【即学即练3】6．如图，已知矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°，∵AE，DE平分∠BAD与∠CDA，∴，，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，∴▱AEDF是正方形．知识点03中点四边形中点四边形的定义：连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形。中点四边形的形状：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。②对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。【即学即练1】7．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为矩形．【解答】解：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，则AC⊥BD，∴EH∥AC，FG∥AC，∴EH∥FG，同理得EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，同理得：四边形ENOM是平行四边形，∴∠FEH＝∠NOM＝90°，∴▱EFGH是矩形，∴顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是矩形；故答案为：矩形．【即学即练2】8．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线互相平分【解答】解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，理由是：连接AC、BD，两线交于O，根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH一定是平行四边形，∴EF∥AC，EH∥BD，∵BD⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF＝90°，故选：A．题型01利用正方形的性质求线段或周长【典例1】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（）A． B． C．4 D．2.5【解答】解：∵边长为6的正方形ABCD，∴AD＝6，∠EAF＝45°，∵DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2﹣4，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝∠EAF＝45°，∴EF＝AF＝4，由勾股定理，得．故选：B．【变式1】如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（）A．2 B． C． D．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，∵DN⊥CM，BE⊥CM，∴∠DNC＝∠CEB＝90°，∴∠DCN+∠CDN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠DCN+∠BCE＝90°，∴∠CDN＝∠BCE，∴△DCN≌△CBE（AAS），∴DN＝CE，CN＝BE，∵DN＝2CN＝2，∴CN＝BE＝1，CE＝2，∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，∴EN＝BE＝1，∵∠BEN＝90°，∴△BNE是等腰直角三角形，∴BN＝BE＝．故选：B．【变式2】如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，又∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），∴BE＝CF＝3，又∵AB＝BC，∴AE＝BF＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．故选：C．【变式3】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（）A． B． C． D．【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DAF＝∠DCE，∵AF＝CE，∴△DFA≌△DEC（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，∵BF＝2AF，∴AF＝1，BF＝2，∴DF＝＝＝DE，∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝2，∵FH∥BC，∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，又∵∠BAC＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AF＝CE，∵∠FGH＝∠EGC，∴△FGH≌△EGC（AAS），∴FG＝EG，∵∠ABC＝90°，∴BG＝EF＝，故选：A．【变式4】如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美长方形”如图，“优美长方形”ABCD的周长为78，则正方形c的边长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a、c、d的边长分别为2x、3x、5x，∵“优美长方形”ABCD的周长为78，∴2（AB+BC）＝78，∴2（5x+8x）＝78，∴x＝3，∴正方形c的边长为3x＝9，故选：B．【变式5】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP＝EF；⑤AP⊥EF．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∵PF⊥CD，∴PD＝PF．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PF＝EC，∴PD＝EC．∴①的结论正确；②∵∠CDB＝∠CBD＝45°，PE⊥BC，PF⊥CD，∴△PBE和△PDF为等腰直角三角形，∴PE＝BE，PF＝DF∴四边形PECF的周长＝EC+CF+PF+PE＝EC+BE+CF+DF＝BC+CD＝4+4＝8，∴②的结论正确；④连接PC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，AD＝BC，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS）．∴AP＝PC．由①知：四边形PECF为矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF．∴④的结论正确；③由④知：AP＝EF，∴当AP取最小值时，EF取得最小值，∵点P是对角线BD上一点，∴当AP⊥BD，即点P为对角线的中点时，AP的值最小，此时AP＝AB＝2，∴EF的最小值为2，∴③的结论不正确；⑤延长AP交EF于点H，延长FP交AB于点G，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，∵PE⊥BC，PG⊥AB，∴四边形GBEP为正方形，∴PG＝PE＝BG，∠GPE＝90°，∴∠APG+∠EPH＝90°．∵FG＝BC，BC＝AB，∴FG＝AB．∴FG﹣PG＝AB﹣BG，∴AG＝PF．在△AGP和△FPE中，，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠APG＝∠FEP．∴∠FEP+∠HPE＝90°，∴∠PHE＝90°．∴AP⊥EF．∴⑤的结论正确；综上，正确结论的序号为：①②④⑤，共4个．故选：B．题型02利用正方形的性质求角度【典例1】如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°．∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：C．【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【解答】解：连接DQ，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵点P，Q分别是DF，CE的中点，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故选：B．【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（）A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D．【解答】解：过点C作CG⊥DE于G，则∠DGC＝∠CGE＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠DGC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDE＝90°，又∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF≌△DCG（AAS），∴DF＝CG，AF＝DG，∵AF＝2DF，∴DG＝2DF，∴DF＝FG，∴CG＝FG，∴△CFG是等腰直角三角形，∴∠CFG＝45°，∵∠DAF＝α，∴∠CDE＝α，∵∠CFG＝∠CDE+∠DCF，∴∠DCF＝∠CFG﹣∠CDE＝45°﹣α；故选：A．【变式3】如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（）A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴四边形AMEN是矩形，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴EM＝EN，四边形AMEN是正方形，∴∠MEN＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠MEF＝∠NED＝90°﹣∠FEN，在△EMF和△END中，，∴△EMF≌△END（ASA），∴EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∵∠ADF＝α，∴∠AFD＝90°﹣α，∴∠BFD＝180°﹣（∠AFD+EFD）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴BE＝EF，∴∠BFE＝∠EBF＝45°+α，∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠EBF）＝180°﹣2（45°+α）＝90°﹣2α．故选：C．【变式4】如图，正方形ABCD中，点M、N、P分别在AB、CD、BD上，∠MPN＝90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN＝α，则∠AMP一定等于（）A．2α B．45°+α C．90﹣ D．135°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP＝MN＝OM，∵∠PMN＝α，∴∠MPO＝α，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝α+45°，故选：B．题型03利用正方形的性质求点的坐标【典例1】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1）【解答】解：有两种情况：（1）连接AC，∵四边形OABC是正方形，∴点A、C关于x轴对称，∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，又∵A、C关于x轴对称，∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1，故A点坐标（1，1），（2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标（1，﹣1），故选：D．【变式1】如图，正方形ABCO中，O是坐标原点，A的坐标为，则点C的坐标为（﹣，1）．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，∵∠AOC＝∠CDO＝90°，∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠AOE，在△OCD和△AOE中，，∴△OCD≌△AOE（AAS），∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，∴C的坐标为（﹣，1）；故答案为：（﹣，1）．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为（，1+）．【解答】解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴点C的坐标为：（，1+）．故答案为：（，1+）．【变式3】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为（﹣5，3）．【解答】解：作CE⊥x轴于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°，BC＝AB，∴∠EBC＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，在△BEC和△AOB中，，∴△BEC≌△AOB（AAS），∵A（0，2），B（﹣3，0），∴EB＝OA＝2，EC＝OB＝3，∴OE＝OB+EB＝5，∴C（﹣5，3），故答案为：（﹣5，3）．【变式4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，4），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝6，则点C的坐标为（12，8）．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，如图所示：∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，∴MF＝（AO+EC），∵MF⊥OE，∴MO＝ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB＝CE，AO＝BE．∴MF＝（BE+OB），又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE＝＝12，∵A（0，4），∴OA＝4，∴BE＝4，∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．∴C（12，8）．故答案为：（12，8）．题型04正方形的判定与性质【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴A、C不符合题意；∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴矩形ABCD成为正方形，∴B不符合题意；∵添加△OCD是等边三角形，不能使矩形ABCD成为正方形，选项D符合题意．故选：D．【变式1】如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：设对角线AC和BD交于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，①∵对角线相等的菱形是正方形；∴补充条件AC＝BD，可以使四边形ABCD成为为正方形，②∵菱形的对角线具有AC⊥BD，∴补充条件AC⊥BD，不能使四边形ABCD成为为正方形，③∵AB2+AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴菱形ABCD为正方形，∴补充条件AB2+AD2＝BD2，可以使四边形ABCD成为为正方形，④当∠ACD＝∠ADC时，AC＝AD，又∵AD＝CD，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC＝60°，∴补充条件∠ACD＝∠ADC，不能使四边形ABCD成为为正方形．综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形ABCD成为为正方形．故选：B．【变式2】如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．【解答】解：四边形EFMN是正方形．证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形．【变式3】如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴BO＝DO，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，∴AC•BD＝72，∴×4BO2＝72，∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，∴AC＝12，∵BF＝4，∴OF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面积＝AC•EF＝24，在Rt△AOE中，AE＝＝2，设点F到线段AE的距离为h，∴AE•h＝24，即2h＝24，∴h＝．即点F到线段AE的距离为．【变式4】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【变式5】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形；（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，，∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，∴四边形ABEF是正方形；∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，∴DF＝﹣1，∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°，∴DF＝OF＝﹣1．∴OF＝﹣1．【变式6】如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为12．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠FCB＝∠FBC，∵CF∥AE∴∠FCB＝∠CBE，∴∠FBC＝∠CBE，∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，∴△FDB≌△EDB（ASA），∴BF＝BE，∴BE＝EC＝FC＝BF，∴四边形BECF是菱形；（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵∠A＝45°，∴∠AEC＝90°，由（1）知四边形BECF是菱形，∴四边形BECF是正方形；故答案为：45；（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，∴四边形ABFC的面积为＝12，故答案为：12．题型05中点四边形【典例1】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形．故选：A．【变式1】顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：四边形EFGH是菱形；理由如下：连接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AC＝BD，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC同理，FG＝BD，FG∥BD，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【变式2】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，下列条件中能使四边形EFGH为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AB＝BD C．AC＝BD D．AC⊥BD【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，GH＝AC，∴EF＝GH，同理EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；当对角线AC、BD互相垂直时，如图所示，∴EF与FG垂直．∴四边形EFGH是矩形．故选：D．【变式3】如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合）．下列说法错误的是（）A．若E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH是平行四边形 B．若四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形 C．若四边形ABCD是任意菱形，则存在无数个四边形EFGH是矩形 D．若四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故A选项不符合题意；如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故B选项不符合题意；如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故C选项不符合题意；当四边形EFGH是正方形时，EH＝HG，则△AEH≌△DHG，∴AE＝HD，AH＝GD，∵GD＝BE，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故D选项符合题意．故选：D．1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．四条边相等，四个角相等 D．两组对边分别平行且相等【解答】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意；C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意；D、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意；故选：D．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；故选：D．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD不一定是矩形，故B错误；∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD不一定是正方形，故C错误，故选：B．4．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则四边形EFGH的面积是（）A．48cm2 B．32cm2 C．24cm2 D．12cm2【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AE＝AB＝3cm，AH＝AD＝4cm，AE＝DG，∴S△EAH＝×3×4＝6（cm2），在△EAH和△GDH中，，∴△EAH≌△GDH（SAS），同理可得：△EAH≌△GDH≌△GCF≌△EBH，∴四边形EFGH的面积为：6×8﹣6×4＝24（cm2），故选：C．5．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：如图，连接A'O，连接AO交A'D'于点E，∵PA＝14cm，AB＝28cm，∴cos∠PAB＝＝，∴∠PAB＝60°，∴∠PAO＝105°，∵A'D'∥PM，∴∠PAO＝∠A'EO＝105°，∴∠A'OA＝180﹣105°﹣45°＝30°，∴旋转角为30°，故选：B．6．如图，正方形ABCD的边长为10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，则EF的长为（）A．2 B． C． D．【解答】解：延长BF交AE于点G，如图所示：∵AE＝FC，BF＝DE，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠DAE＝∠BCF，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC，∵AD＝10，DE＝6，AE＝8，102＝62+82，∴∠DEA＝90°＝∠BFC，∵∠DAE+∠BAG＝∠DAE+∠ADE＝90°，∠CBF+∠ABG＝∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BAG＝∠ADE，∠ABG＝∠BCF，∴∠ADE＝∠CBF＝∠BAG，∠DAE＝∠BCF＝∠ABG，∵AD＝CB＝BA，∴△ADE≌△CBF≌△BAG（SAS），∴∠AGB＝90°，AG＝DE＝BF＝6，BG＝AE＝FC＝8，∴∠EGF＝90°，EG＝AE﹣AG＝2，GF＝BG﹣BF＝2，∴．故选：C．7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B． C． D．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，∴AB＝AD＝AC＝10cm，在图2中，连接BD交AC于O，∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，∴AO＝＝＝5（cm），∴AC＝2AO＝10（cm），故选：C．8．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠BCA＝∠DCA，∴EK＝EL，∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，∴四边形EKCL是矩形，∵四边形DEFG是矩形，∴∠KEL＝∠FED＝90，∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，∴△FEK≌△DEL（ASA），∴DE＝FE，∴矩形DEFG是正方形，故A正确；∵∠EDG＝∠ADC＝90°，∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，∵CD＝AD，GD＝ED，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴CG＝AE，∴CE+CG＝CE+AE＝AC，∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，∴AC＝AB＝9，∴CE+CG＝9，故D正确；∵△CDG≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠DCG＝45°，∴CG平分∠DCH，故C正确；∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，故选：B．9．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：①△ABP为等边三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠APD＝∠DEC，∴∠ADE＝∠APD，∴AP＝AD，∴AP＝AB∵∠EDC＝15°，∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，∴△ABP是等边三角形；故①正确．②如图，过点G作GK∥AD交CD于K，连接DG，则∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，∴∠GKH＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，∴四边形ADKG是矩形，∴GK＝AD＝CD，∵GH＝DE，∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），∴∠GHK＝∠DEC，∵∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠GHK+∠EDC＝90°，∴∠DPH＝90°，∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，∵∠DPG+∠BAD＝180°，∴四边形ADPG是圆内接四边形，∴∠DGP＝∠DAP＝30°，∴DG＝2PD，在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，故②正确；③如图，过点P作PL⊥AD于L，交BC于J，过点E作EM⊥BP于M，则四边形BALJ是矩形，∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，∵AP＝BP，∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），∴PL＝PJ，在△PEJ和△PDL中，，∴△PEJ≌△PDL（ASA），∴PJ＝PD，∵EM⊥BP，∴∠BME＝∠PME＝90°，∵LJ∥AB∥CD，∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，∴△PEM是等腰直角三角形，∴PM＝EM＝PE＝PD，∵∠ABP＝60°，∴∠EBM＝30°，∴BE＝2ME＝PD，∴BM＝＝＝PD，∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，∴S△PBE＝BP•EM＝×PD•PD＝PD2，故③错误；④过点B作BN⊥BP，交PG的延长线于N，连接DG，∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，∴∠GBN＝∠EBP，∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，∵∠BGP+∠BGN＝180°，∴∠BGN＝∠BEP，由②知，∠DGP＝30°，∴∠GDP＝60°，∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，∴△DGA≌△DEC（ASA），∴AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGN≌△BEP（ASA），∴BN＝BP，GN＝PE，∴△BPN是等腰直角三角形，∴PN＝BP，∵PN＝PG+GN＝PE+PG，∴BP＝PE+PG，故④正确；故选：C．10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2＝；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2＝；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．故选：D．11．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是有一组邻边相等（答案不唯一）．（写出一种即可）【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．12．已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵△BEC和△DCF都是等边三角形，∴BC＝EC，CD＝CF，∠BCE＝∠DCF＝60°，∴EC＝FC，∠ECF＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF＝150°，∴∠CEF＝15°，故答案为：15．13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为1．【解答】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，因为四边形ABCD是正方形，所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．∴∠AOE+∠BOE＝90°．又∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．所以△AEO≌△BFO（ASA）．∴四边形EBFO面积＝△BEO面积+△BFO面积＝△BEO面积+△AEO面积＝△ABO面积．因为正方形ABCD边长为2，∴正方形面积为4，∴△ABO面积为1．所以阴影部分面积为1．故答案为1．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝3s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝tcm，∴EF＝2tcm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为．【解答】解：如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P．∵∠CAB+∠PAB＝90°，∠PAB+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠PAE．在△BCA和△EPA中，∠BCA＝∠EPA，∠CAB＝∠PAE，BA＝EA，∴△BCA≌△EPA（AAS），即PE＝BC＝＝3，AP＝AC＝4．∴GE＝＝．故答案为：．16．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵∠PAE＝∠E，∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．17．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由．（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，若AB＝20，CD＝4，求BC的长．【解答】解：（1）四边形AFCE是“直等补”四