人教版初中数学同步讲义八年级下册第10讲 专题5 正方形中的三大模型（原卷版）

第10讲专题5正方形中的三大模型类型一：正方形中的十字架模型类型二：正方形中的半角（45°）模型类型三：正方形中手拉手模型类型一：正方形中的十字架模型1．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC边于点F，G，垂足为点H．若AB＝4，则GH的长为．第1题第2题2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE、AF，交于点G．（1）连接DG，则线段DG的最小值是；（2）取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值是．5．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：①△ABP为等边三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE＝CF．（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB＝2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．类型二：正方形中的半角（45°）模型7．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（）A．6 B．12 C．15 D．308．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α9．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（）A．2 B．3 C． D．11．在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面积分别记为：S1、S2、S3、S4，则等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S412．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，且∠EAF＝45°．则以下结论：①AF平分∠EFD；②BE+DF＝EF；③△ECF的周长为4；④△AEF的面积等于正方形ABCD的面积的一半．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个13．（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：．（2）如图2：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．请说明理由（提示：延长FD到点C，使DG＝BE，连结AG．）类型三：正方形中的手拉手模型（多选）15．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论正确的有（）A．DE＝EF B．CE＝CF C．AC⊥CG D．BC＝CG16．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．17．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．19．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．20．已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，（1）判