人教版初中数学同步讲义八年级下册第03讲 正比例函数（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第03讲正比例函数课程标准学习目标①正比例函数的定义②正比例函数的图像与性质③正比例函数的解析式掌握正比例函数的定义，能够准确的判断正比例函数以及根据定义求值。掌握正比例函数的图像与性质，并能够熟练的运用图像与性质解决相应的题目。掌握待定系数法求正比例函数的解析式。知识点01正比例函数的定义正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数。其中，叫做比例系数。注意：①自变量系数不能为0。②自变量次数一定是1。③正比例函数解析式中，自变量后面为0。【即学即练1】1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（）A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；故选：D．【即学即练2】2．在下列函数中，正比例函数是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x D．y＝2x2+1【分析】根据正比例函数的概念即可得出正确的答案．【解答】解：A．y＝2x﹣1不是正比例函数，故该选项不符合题意；B．y＝﹣2x+1不是正比例函数，故该选项不符合题意；C．y＝2x是正比例函数，故该选项符合题意；D．y＝2x2+1不是正比例函数，故该选项不符合题意．故选：C．【即学即练3】3．若函数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，则a+b的平方根为．【分析】根据正比例函数的基本形式y＝kx（k为常数），求出a，b的值，再求平方根即可．【解答】解：∵数y＝﹣xa﹣3+b﹣1是关于x的正比例函数，∴a﹣3＝1，b﹣1＝0，∴a＝4，b＝1，∴a+b的平方根为，故答案为：．知识点02正比例函数的图像与性质正比例函数的图像与性质：的取值经过象限大致图像随的变化情况一、三随的增大而增大二、四随的增大而减小正比例函数的图像是必经过原点的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。【即学即练1】4．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）A．当x＝3时，y＝1 B．它的图象是一条过原点的直线 C．y随x的增大而减小 D．它的图象经过第二、四象限【分析】根据正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、当x＝3时，y＝9，故本选项错误；B、∵直线y＝3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；D、∵直线y＝3x是正比例函数，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误．故选：B．知识点03正比例函数解析式待定系数法求函数解析式具体步骤：①设：设正比例函数解析式。②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可【即学即练1】5．已知y与x成正比例，且当x＝﹣6时，y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．【分析】（1）设y＝kx，然后把当x＝﹣6，y＝2代入求出k即可；（2）把（a，﹣3）代入（1）中的解析式可得到a的值．【解答】解：（1）设y＝kx，∵当x＝﹣6时，y＝2，∴2＝﹣6k，解得k＝﹣，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x；（2）把（a，﹣3）代入y＝﹣x得﹣3＝﹣a，解得a＝9，即a的值为9．题型01判断正比例函数【典例1】下列函数中是正比例函数的是（）A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5【分析】利用正比例函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝﹣7x是正比例函数，故此选项符合题意；B、y＝是反比例函数，故此选项不合题意；C、y＝2x2+1是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝0.6x﹣5是一次函数，故此选项不合题意；故选：A．【变式1】下列关系中，属于成正比例函数关系的是（）A．正方形的面积与边长 B．三角形的周长与边长 C．圆的面积与它的半径 D．速度一定时，路程与时间【分析】分别得出各个选项中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数．【解答】解：正方体的面积是边长的平方，即：S＝a2，因此A选项不符合题意；三角形的周长＝三边之和，变量不止一个，因此B选项不符合题意；圆的面积S＝πr2，S是r的二次函数，因此C选项不符合题意；路程＝速度×时间，因此选项D符合题意；故选：D．【变式2】x、y是两种相关联的量，下面（）中的x、y成正比例关系．A． B． C．x+y＝10 D．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：A、y＝x，x、y成正比例关系，故此选项符合题意；B、＝，则xy＝12，即y＝，x和y成反比例关系，故不符合题意；C、x+y＝10，x和y不成正比例关系，故此选项不符合题意；D、y＝，x和y成反比例关系，故此选项不符合题意．故选：A．题型02根据正比例函数的定义求值【典例1】若函数y＝﹣2x+m是关于x的正比例函数，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据正比例函数的定义，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y＝﹣2x+m是正比例函数，∴m＝0，故选：B．【变式1】若函数y＝x+1﹣m是正比例函数，则m的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据正比例函数的定义得出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y＝x+1﹣m是正比例函数，∴1﹣m＝0，解得m＝1．故选：B．【变式2】若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2【分析】根据正比例函数的定义可知k+1≠0，b﹣2＝0，从而可求得k、b的值．【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，∴k+1≠0，b﹣2＝0．解得k≠﹣1，b＝2．故选：D．【变式3】若函数y＝x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．±1【分析】根据正比例函数的概念和一般形式可得出关于k的式子，即可得出k的值．【解答】解：∵y＝x+k2﹣1，∴k2﹣1＝0，解得：k＝±1；故选：D．【变式4】若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值是（）A．k≠﹣2 B．k＝±2 C．k＝2 D．【分析】根据正比例函数的定义得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可．【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，∴k+2≠0且k2﹣4＝0，解得：k＝2．故选：C．【变式5】若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2023的值为﹣1．【分析】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，∴a2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．题型02正比例函数的图像与性质【典例1】已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值1（答案不唯一）．【分析】根据正比例函数的增减性可知k＞0，写出符合条件的k的值即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），y随x的增大而增大，∴k＞0，∴k的值可以为1．故答案为：1（答案不唯一）．【变式1】已知正比例函数y＝kx，当x每增加1时，y减少2，则k的值为（）A． B． C．2 D．﹣2【分析】根据题意可得：y﹣2＝k（x+1），再求解即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x每增加1时，y减少2，∴y﹣2＝k（x+1），即y﹣2＝kx+k，∴k＝﹣2．故选：D．【变式2】正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【分析】根据正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，可以得到a＞0，从而可以得到﹣a﹣1＜0，再根据正比例函数的性质，即可得到直线y＝（﹣a﹣1）x经过的象限．【解答】解：∵正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，∴a＞0，∴﹣a﹣1＜0，∴直线y＝（﹣a﹣1）x经过第二、四象限，故选：C．【变式3】已知正比例函数y＝（﹣k2﹣2）x，那么它的图象经过（）A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【分析】首先确定比例系数的符号，然后再由正比例函数的性质求解即可．【解答】解：∵﹣k2﹣2＜0，∴图象过二、四象限．故选：C．【变式4】对于正比例函数y＝3x，当2≤x≤4时，y的最大值等于12．【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．【解答】解：∵正比例函数y＝3x中，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，∵2≤x≤4，∴当x＝4时，y最大＝3×4＝12．故答案为：12．【变式5】若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b【分析】利用正比例函数的定义可求出m值，进而可得出正比例函数解析式，由k＝﹣4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合m＜﹣m，即可得出a＞b．【解答】解：∵y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，∴，∴m＝﹣2，∴正比例函数的解析式为y＝﹣4x．∵k＝﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函数的图象上，且m＜﹣m，∴a＞b．故选：B．题型02利用待定系数法求正比例函数解析式【典例1】已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，4），k的值是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．1【分析】把点（2，4），代入正比例函数y＝kx，求出k的数值即可．【解答】解：把点（2，4），代入正比例函数y＝kx得4＝2k，解得k＝2．故选：C．【变式1】已知y与x成正比例且当x＝2时，y＝4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y＝2时，x的值是多少？【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可；（2）利用（1）中解析式计算函数值为2所对应的自变量的值即可；【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0），将x＝2，y＝4代入得：4＝2k，k＝2，∴y＝2x；（2）当y＝2时，2＝2x，x＝1，∴当y＝2时，x的值为1．【变式2】已知：如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，（1）请你求出该正比例函数的解析式；（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝kx中求出k即可；（2）把点B（m，m+3）代入（1）中的解析式得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入y＝kx得﹣k＝2，解得k＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；（2）将点B（m，m+3）代入y＝﹣2x得﹣2m＝m+3，解得m＝﹣1即m的值为﹣1．【变式3】已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式．【分析】根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），从而可得y＝k1x+k2（x﹣3），然后把x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入联立方程组，进行计算即可解答．【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3），由题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3），即y＝2x+6，∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6．【变式4】已知y＝y1﹣2y2中，其中y1与x成正比例，y2与（x+1）成正比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5．（1）求y与x的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【分析】（1）y1与x成正比例，可设y1＝k1x，y2与（x+1）成正比例，可把x+1看成一个整体，设y2＝k2（x+1），利用待定系数法即可求解；（2）把x＝a，y＝3代入解析式解答即可．【解答】解：（1）设y1＝k1x，y2＝k2（x+1），则y＝k1x﹣2k2（x+1），根据题意得，解得：．∴y＝x﹣2×（﹣）（x+1）＝2x+1；（2）把x＝a，y＝3代入解析式y＝2x+1，可得：2a+1＝3，解得：a＝1．1．正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）k的符号即可确定正比例函数y＝﹣3x的图象经过的象限．【解答】解：在正比例函数y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限，故选：B．2．下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝﹣3x+2 D．y＝kx【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数的定义对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：A、y＝是反比例函数；B、y＝是正比例函数；C、y＝﹣3x+2是一次函数；D、当k＝0时，不是正比例函数．故选：B．3．点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则m的值是（）A．1 B．2 C． D．0【分析】用代入法即可．【解答】解：把x＝1，y＝m代入y＝2x，解得：m＝2．故选：B．4．已知函数y＝（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得m2﹣3＝1，且m+1＜0，解得m＝﹣2，故选：B．5．已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【分析】由函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，可得出k＜0，进而可得出正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，∴k＜0，∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．故选：C．6．若函数y＝（k+2）x+k2﹣4是正比例函数，则k的值为（）A．0 B．2 C．±2 D．﹣2【分析】根据正比例函数的定义得出k+2≠0且k2﹣4＝0，再求出k即可．【解答】解：∵y＝（k+2）x+k2﹣4中，y是x的正比例函数，∴k+2≠0且k2﹣4＝0，解得：k＝2，故选：B．7．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3【分析】首先根据图象是经过原点的直线可得此函数是正比例函数，故设解析式为y＝kx（k≠0），把图象所经过的点（3，﹣3）代入设出的函数解析式，计算出k的值，进而得到函数解析式．【解答】解：设函数解析式为y＝kx（k≠0），∵图象经过（3，﹣3），∴﹣3＝k×3，解得k＝﹣1，∴这个函数的关系式为y＝﹣x，故选：B．8．已知点P（m，0）在x轴负半轴上，则函数y＝mx的图象经过（）A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限【分析】根据题意得出m＜0，继而根据正比例函数图象的性质即可求解．【解答】解：∵点P（m，0）在x轴负半轴上，∴m＜0，∴函数y＝mx的图象经过二、四象限，故选：A．9．已知y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（）A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x【分析】根据正比例函数的定义和性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0，解得m＝±2，且，∴m＝﹣2．∴y＝﹣5x．故选：A．10．若函数y＝kx的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】利用正比例函数的增减性求出k的取值范围，结合选项即可得到答案．【解答】解：∵正比例函数y＝kx图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而减小，∴k＜0，结合选项，四个选项中只有﹣2在k＜0的范围内．故选：A．11．如果函数y＝（m+2）x|m|﹣1是正比例函数，则m的值是2．【分析】根据正比例函数的定义可得关于m的方程，解出即可．【解答】解：由正比例函数的定义可得：m+2≠0，|m|﹣1＝1，∴m＝2．故填2．12．函数（m为常数）中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是m．【分析】根据正比例函数性质解答即可．【解答】解：∵y＝kx，k＜0时，y的值随x的增大而减小，∴＜0，即2m﹣3＜0，解得m．故答案为：m．13．已知y与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4，则当x＝2时，y的值是6．【分析】设y＝k（x+1）（k≠0），把x＝1，y＝4代入并求得k的值；然后求当x＝2时所对应的y的值即可．【解答】解：设y＝k（x+1）（k≠0），把x＝1，y＝4代入，得k×（1+1）＝4．解得k＝2．所以当x＝2时，y＝2（2+1）＝6．故答案为：6．14．已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是﹣2．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函数，∴m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵y随x的增大而减小，∴m+1＜0，∴m＜1，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．在同一坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是k3＞k4＞k1＞k2．【分析】想知道k之间的大小关系，图中又无其他信息，对此我们可以自己找点来近似的估计k值，如可近似估计四条线上的各一个异于（0，0）的点，然后代入求出k1、k2、k3、k4．再比较即可．【解答】解：把x＝1代入y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x中，可得：k3＞k4＞k1＞k2．故答案为：k3＞k4＞k1＞k2．16．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3．（1）若y是x的正比例函数，求m的值；（2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值；（2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵y是x的正比例函数，∴m﹣3＝0，解得m＝3．故m的值为：3．（2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4，令y＝0，得4x+4＝0，解得x＝﹣1，∴当m＝7时，该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）．17．已知：函数y＝（b+2）x且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+c的平方根．【分析】（1）根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值；（2）把（1）中a，b，c的值代入计算求得2a﹣b+c，进而即可求得2a﹣b+c的平方根．【解答】解：（1）∵函数y＝（b+2）x且y是x的是正比例函数，∴，∴b＝2，∵5a+4的立方根是4，∴5a+4＝43，∴a＝12，∵c是的整数部分，∴c＝3；（2）2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5．18．已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数．（1）求m的值；（2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系．【分析】（1