人教版初中数学同步讲义八年级下册第01讲 勾股定理（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第01讲勾股定理课程标准学习目标①勾股定理②勾股定理的证明掌握勾股定理的内容并能够熟练的应用。掌握勾股定理的验证方法，并能够熟练的进行相关应用。知识点01勾股定理文字描述：在直角三角形中，。几何语言：如图。若直角三角形的两直角边分别是，斜边是，则有：。变形式：；；。【即学即练1】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长．（1）若a＝3，b＝4，则c＝；（2）若a＝5，c＝13，则b＝．（3）若b＝8，c＝10，则a＝；（4）若c＝20，a：b＝4：3，则b＝．知识点02勾股定理的验证勾股定理的验证方法：如图①：由边长为的4个全等的直角三角形构成：整体法表示面积：。用各部分面积之和表示面积：。整理可得：。如图②：由边长为的4个全等的直角三角形构成：整体法表示面积：。用各部分面积之和表示面积：。整理可得：。如图③：由边长为的2个全等的直角三角形构成：整体法表示面积：。用各部分面积之和表示面积：。整理可得：。【即学即练1】2．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（）A． B． C． D．题型01利用勾股定理求线段长度【典例1】一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A．10 B．13 C．7 D．14【变式1】若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为（）A．13 B．26 C． D．13或【变式2】如图，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD是斜边的高，则CD＝（）A．3 B．4.2 C．4.8 D．5【变式3】等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（）A．24 B．20 C．15 D．12【变式4】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，则PA的长度为（）A．3 B．4 C． D．题型02利用勾股定理求面积以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），验证他们的面积关系。【典例1】如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是（）A．12 B．24 C．30 D．10【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9 B．11 C．32 D．41【变式2】如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝6．【变式3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（）A．9 B．10 C．11 D．12【变式4】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．81【变式5】如图，Rt△ABC的两条直角边BC＝6，AC＝8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，则S2+S3﹣S1的值为（）A．4 B．3 C．2 D．0题型03利用欧勾股定理在数轴上表示无理数【典例1】如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A． B． C． D．【变式1】如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（）A． B．﹣3 C．1.2 D．﹣2【变式2】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A． B． C． D．【变式3】如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（）A． B． C． D．题型04特殊直角三角形三边的比值①30°所在的直角三角形：由30°所在直角三角形的性质以及勾股定理可得三边的比值为1：：2；②等腰直角三角形（45°）：由等腰直角三角形两腰相等以及勾股定理可得三边的比值为1:1：。【典例1】三角形三条边长之比为1：：2，那么这个三角形为（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【变式2】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，则CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【典例1】21．如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式1】下列四组数据中，能作为等腰直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10 B．7，13，7 C． D．【变式2】已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形题型05利用勾股定理求两点之间的距离在平面直角坐标系中，若和，由勾股定理可得【典例1】在平面直角坐标系中，点P（3，1）到原点的距离是（）A．1 B．3 C． D．【变式1】在平面直角坐标系中有两点A（3，0）和B（0，4），则这两点之间的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．7【变式2】如图，已知点A（2，3）和点B（4，1），在坐标轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．（1，0）或（0，﹣1） D．（2，0）或（0，1）题型06勾股定理的验证及其求值【典例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【变式1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3【变式2】如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周醇算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影邮分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9．较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（）A． B． C． D．1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．以上都不对2．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，则AB＝（）A． B． C． D．63．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3 B．8 C．6 D．3或84．如果直角三角形的三边长分别是6、8、x，则x满足（）A． B．x＝10 C．或x＝10 D．x＝285．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝16，且CD：BD＝3：5，则点D到边AB的距离为（）A．3 B．5 C．6 D．106．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣7．如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，6），（8，0），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（﹣10，0） B．（0，﹣10） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）8．已知x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．10 B．100 C．14 D．1969．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（）A． B． C． D．10．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A． B． C． D．11．点P（9，40）到坐标原点的距离是．12．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），M（﹣2，3），连接AM，以点A为圆心，以AM长为半径画弧．交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为．第12题第13题13．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝3，BC＝4时，则阴影部分的面积为．14．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则a+b的值为．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为．16．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．（1）如果a＝5，b＝12，那么c＝．（2）如果c＝61，a＝60，那么b＝．（3）若∠A＝45°，a＝2，则c＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20．（1）试说明：CE＝CF；（2）试着求出线段CE的长．18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．20．阅读下列材料，完成任务我们知道，平方差公式a2﹣b2＝（a+