2.2.3直线的一般式方程课件高二上学期数学人教A版选择性

直线的一般式方程2024.8教学目标：教学重点：教学难点：直线一般式方程、以及其特点及适用范围．1.掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围；2.理解直线的方程与二元一次方程的关系；3.会求直线的方程，点斜式（截距式）到一般式方程的转化．掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围．情境导入先来看看一条直线方程的几种形式y=x+1y－3=x－2点斜式，斜率为1，经过点(2，3)斜截式，斜率为1，在y轴上截距为1两点式，经过点(2，3)，(1，2)截距式，在y轴上截距为1，在x轴上截距为-1它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？知识点1

直线的一般式方程

每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)都表示一条直线吗？①当B≠0时，方程可化为

这是直线的斜截式方程，它表示斜率是在y轴上的截距是的直线.②当B=0时，方程可化为表示垂直于x轴的一条直线结论：每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)都表示一条直线．1.定义：关于x，y的二元一次方程

Ax＋By＋C＝0

（其中A，B

不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.强调:对于直线方程的一般式，规定：1)x的系数为正;2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.

在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合;(5)过原点;(1)A=0,B≠0,C≠0(2)B=0,A≠0,C≠0(3)A=0,B≠0,C=0(4)B=0,A≠0,C=0(5)C=0，A、B不同时为0Oxy2.一般式与其他形式的互化Ax＋By＋C＝0

(其中A，B

不同时为0)

点斜式

y-y1=k(x-x1)斜截式截距式两点式B≠0ABC≠01.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()理解自测A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0根据直线方程的一般式可知，要使Ax＋By＋C＝0表示

直线，则A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2.若直线l的方程为2x＋y＋3＝0，求直线l的纵截距、横截距及斜率.令x＝0，得y＝－3，故直线l的纵截距为－3.令y＝0，得x＝故直线l的横截距为2x＋y＋3＝0，即y＝－2x－3，故直线l的斜率为－2.知识点2两直线位置关系的判断直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，试讨论：(1)

l1∥l2(2)

l1⊥l2

A2≠0,B2≠0,C2≠0,先观察斜率是否存在，再看斜率是否相等，l1⊥l2

A1A2+B1B2=0直线系方程1)与直线l：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：Ax+By+m=0(其中m≠C，m为待定系数)

OxyAx+By+C=0只是常数不一样，其余相同2)与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为：Bx-Ay+m=0(m为待定系数)

OxyAx+By+C=0题型一直线的一般式方程角度1

求直线的一般式方程例1

根据下列条件求直线的一般式方程：（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；由直线的点斜式方程可得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，先求点斜式，再化成一般式（2）斜率为

，且在y轴上的截距为4；先求斜截式方程（3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）；由直线的两点式方程可得整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.（4）在x，y轴上的截距分别为2，－4.由直线的截距式方程可得整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.角度2

直线的一般式方程的几何意义例2（2024·济源质检）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的

截距，并画出图形.将直线的方程化为斜截式为y＝因此该直线的斜率为在y轴上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直线在

x轴上的截距是－4Oxy－4－3（2）4x－6y＋3＝0.将直线的方程化为斜截式为y=

因此该直线的斜率为在y轴上的截距是.令y＝0，得x＝Oxy题型二一般式下两直线的平行或垂直角度1

由平行、垂直求直线方程例3

（2024·莆田月考）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求

满足下列条件的直线l'的方程：（1）过点（－1，3），且与l平行；设直线l'的方程3x＋4y＋m＝0，又因为l'过点（－1，3），m＝－9即3x＋4y－9＝0.（2）过点（－1，3），且与l垂直.设直线l'的方程4x－3y＋n＝0，将（－1，3）代入上式得n＝13.所以所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.角度2

由直线的平行、垂直求参数例4

已知两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1

＝0平行，则a＝（

）A.－1B.2C.0或－2D.－1或2由两线平行斜率相等解得a＝－1或a＝2.验证当a

＝－1时，两线平行当a

＝2时，两线重合，故舍去练习：（2024·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx

＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝

；当l1∥l2时，m＝

.若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，经验证m＝1题型三由含参一般式求参数的值（范围）例5

（1）（2024·泰州质检）设直线

l

的方程为（

m

－1）

x

＋

y

－

m

＝0（

m

∈R）.若直线

l

不过第三象限，则

m

的取值范围为

；将直线l的方程化成斜截式，得y＝（1－m）x＋

m，解得m的取值范围为[1，＋∞）.当直线

不过第三象限，则该直线的斜率小于等于零，（2）直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.若l在两坐

标轴上的截距相等，则l的方程为

.当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，显然相等，a＝2，即l的方程为3x＋y＝0；当直线l不过原点，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.练习：(多选)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，下列说法正确的是(

)A.直线l1与l2在x轴上的截距相等，则a＝－1B.若l1∥l2，则a＝1或a＝－3C.若l1⊥l2，则a＝0或a＝2D.当a>0时，l1始终不过第三象限显然a≠0，