数学（人教版选修12）练习综合质量评估

综合质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：复数z＝a＋i的实部为a，虚部为1，则a＝1.答案：B2．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．()A．0.001 B．0.025C．0.05 D．0.01解析：可计算k≈11.377>10.828，故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．答案：A3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．答案：A4．下列有关样本相关系数的说法不正确的是()A．相关系数用来衡量x与y的之间的线性相关程度B．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越大解析：由相关系数的概念可知：相关系数用来衡量x与y的之间的线性相关程度，|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小，|r|越接近1，相关程度越大．答案：D5．在独立性检验中，随机变量K2有两个临界值：3.841和6.635；当K2>3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K2>6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K2≤3.841时，认为两个事件无关，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算得k＝20.87，根据这一数据分析()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为打鼾与患心脏病有关B．约有95%的打鼾者患心脏病C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为打鼾与患心脏病有关D．约有99%的打鼾者患心脏病解析：因为k＝20.87>6.635.根据P(K2>6.635)＝0.01可知，应在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为打鼾与患心脏病之间有关．答案：C6．将x＝2输入以下程序框图，若输入x＝2，则输出的结果是()A．3 B．5C．8 D．12解析：由题意知该程序框图的作用即为求一个分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x＜0,x2＋10≤x＜1,x3＋2xx≥1))的值，将x＝2代入上述函数表达式，显然2≥1，故将x＝2代入y＝x3＋2x得y＝12.答案：D7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R＝()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C8．已知x，y的值如表所示，若y与x呈线性相关且回归直线方程为y＝eq\f(1,4)x＋eq\f(7,2)，则a＝()x468y5a6A．4 B．5C．6 D．7解析：由题意可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,3)×(4＋6＋8)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,3)(5＋a＋6)，由于回归直线y＝eq\f(1,4)x＋eq\f(7,2)过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，故eq\f(1,3)×(5＋a＋6)＝eq\f(1,4)×6＋eq\f(7,2)，解得a＝4.答案：A9．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：按框图所示程序运行可得S＝1，A＝1；S＝3，A＝2；S＝7，A＝3；S＝15，A＝4；S＝31，A＝5；S＝63，A＝6.此时输出S，故M为6.故选B．答案：B10．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋eq\f(1,2)x D．y＝176解析：因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(174＋176＋176＋176＋178,5)＝176，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(175＋175＋176＋177＋177,5)＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A、B；又身高的整体变化趋势随x的增大而增大，排除D，所以选C．答案：C11．设0<x<1，a>0，b>0，a，b为常数，eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)的最小值是()A．4ab B．2(a2＋b2)C．(a＋b)2 D．(a－b)2解析：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)(x＋1－x)＝a2＋eq\f(a21－x,x)＋eq\f(b2x,1－x)＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.当且仅当x＝eq\f(a,a＋b)时，等号成立．故选C．答案：C12．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a2012－5＝()A．1009×2011 B．1009×2010C．1009×2009 D．1010×2011解析：由给出的三个图形可知，第n个图形中共有2＋3＋4＋…＋(n＋2)＝eq\f(n＋4n＋1,2)个点，因此数列的第2012项为a2012＝eq\f(2016×2013,2)，于是a2012－5＝eq\f(2016×2013,2)－5＝1008×2013－5＝1009×2013－2013－5＝1009×2011＋2018－2013－5＝1009×2011.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若回归直线方程的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________.解析：由条件知，eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5.设回归直线方程为y＝1.23x＋a，则a＝y－1.23eq\o(x,\s\up6(－))＝0.08.故回归直线的方程是y＝1.23x＋0.08.答案：y＝1.23x＋0.0814．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图(距离单位：km)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路最短总长度应该是________km.解析：要使电厂与四个村庄相连，则需四条线路，注意最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连，∴4＋5＋5.5＋6＝20.5答案：20.515．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，推测当n≥2时，有________.解析：f(4)＝f(22)＞eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)＞eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)＞eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)＞eq\f(5＋2,2)，…可推测当n≥2时，有f(2n)＞eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)＞eq\f(n＋2,2)16．已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥2，,2－x，x＜2.))如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________.解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x＜2？”，②就是函数的另一段表达式y＝log2x.答案：x＜2？y＝log2x三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－9m＋18)i在复平面内表示的点为A，实数m(1)z为纯虚数？(2)A位于第三象限？解：(1)当m2－8m＋15＝0，m2－9m＋18≠0即m＝5时，z(2)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15＜0,m2－9m＋18＜0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＜m＜5,3＜m＜6))，即3＜m＜5时，对应点在第三象限．18．(本小题满分12分)画出求形如eq\f(c,x＋a)＝eq\f(d,x＋b)的分式方程的解的流程图，其中a，b，c，d是已知数且均非零．解析：具体流程图如下图所示：19．(本小题满分12分)已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通过观察上述两个等式的规律，请你写出一般性的结论，并给出证明．解：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明如下：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos2α＋120°,2)＋eq\f(1－cos2α＋240°,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右边．将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2)等均正确20．(本小题满分12分)大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：阅读过莫言的作品数(篇)0～2526～5051～7576～100101～130男生36111812女生48131510(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下列的列联表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解：(1)由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为eq\f(11＋18＋12＋13＋15＋10,50＋50)＝eq\f(79,100)，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为P＝eq\f(79,100).(2)填表如下：非常了解一般了解合计男生302050女生252550合计5545100根据列联表数据得k＝eq\f(100×30×25－20×252,50×50×55×45)≈1.010＜1.323.所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关．21．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.转速x(rad/s)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图．(2)如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程．(3)若实际生产中，允许每小时生产出的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)画出散点图，如图．(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝12.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝8.25，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝438，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝660，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(438－4×12.5×8.25,660－4×12.52)≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈8.25－0.7286×12.5＝－0.8575.所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575.(3)要使eq\o(y,\s\up6(^))≤10，则0.7286x－0.8575≤10，x≤14.9019≈15.所以机器的转速应控制在15rad/s以下．22．(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表2：女生等级优秀合格尚待改进频数153y(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交