人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1.1导数与函数的单调性(一)【同步教学课件】

第五章5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性

第一课时导数与函数的单调性(一)1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.课标要求素养要求通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递____f′(x)<0单调递____f′(x)＝0常函数增减(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递____f′(x)≥0单调递____f′(x)≤0常函数f′(x)＝0增减1.思考辨析，判断正误×(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.()(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(

)提示

反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，当x＝0时，f′(0)＝0.(3)函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).(

)(4)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.(

)×√√2.函数f(x)＝2x＋cosx在(－∞，＋∞)上(

) A.是增函数

B.是减函数 C.单调性不确定

D.是奇函数A解析

∵f′(x)＝2－sinx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.3.函数f(x)＝3＋x·lnx的单调递增区间是(

)C解析

f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞).(－∞，－1)，(3，＋∞)课堂互动题型剖析2题型一函数图象与导函数图象的关系【例1】

(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)解析

由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.D(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，则满足f′(x)<f(x)的x的取值范围为(

)D函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.思维升华【训练1】

在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(

)A.①② B.①③

C.③④ D.①④解析

当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.C【例2】

求下列函数的单调区间题型二不含参数函数的单调区间解

f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，求不含参数函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(2)求导数y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.思维升华【训练2】

求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π).解

(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)<0解得

－3<x<2.故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2).(2)f′(x)＝cosx－1.因为0<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π).题型三含参数函数的单调性解

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间.思维升华①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.求可导函数f(x)的单调区间的2种方法 (1)解不等式法.步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，并写出解集；④根据③的结果确定函数的单调区间. (2)列表法.步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0；④列表；⑤得出结论.3.重视1个易错点

求函数的单调区间常常忽略定义域致误.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(

)DA.先增后减

B.先减后增C.单调递增

D.单调递减解析

易知f′(x)＝－sinx－1，x∈(0，π)，∴f′(x)<0，则f(x)＝cosx－x在(0，π)上单调递减.2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(

)D解析

由函数y＝f(x)的图象，知当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图象可能为D.3.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(

)B解析

由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B.4.函数f(x)＝lnx－4x＋1的单调递增区间为(

)A5.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(

)ABDA.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e) C.f(a)>f(d)

D.f(c)>f(e)解析

由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).二、填空题6.函数y＝x2－4x＋a的增区间为____________，减区间为____________.(2，＋∞)(－∞，2)解析

y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).(－1，1)8.函数f(x)＝x2－5x＋2ln(2x)的单调递增区间是____________________.解析

f(x)的定义域是(0，＋∞)，三、解答题9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.解

函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，(2)求函数f(x)的单调区间.可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，从而f′(x)>0.当x>1时，h(x)<h(1)＝0，从而f′(x)<0.综上可知f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).11.(多选题)若函数exf(x)(e＝2.71828……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(

) A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝3－x

D.f(x)＝cosxAB解析

设g(x)＝ex·f(x)，对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋