人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数【同步教学课件】

第五章5.2.3简单复合函数的导数能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.课标要求素养要求在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作____________________.y＝f(g(x))2.复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.yu′·ux′点睛对于复合函数的求导法则要注意以下三点：(1)yx′＝yu′·ux′也可表示为yx′＝f′(u)·g′(x)；(2)我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；(3)法则可以推广到两个以上的中间变量，例如yx′＝yu′·uv′·vx′.

1.思考辨析，判断正误(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx.(

)√×(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x.(

)提示f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.×2.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝(

)BB4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.2课堂互动题型剖析2题型一求复合函数的导数【例1】

求下列函数的导数.解

(3)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.思维升华(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.【训练1】

求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；解

(1)设y＝u4，u＝2x－1，则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设y＝10u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10×2＝2×102x＋3×ln10＝102x＋3×ln100.解

(3)yx′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x.【例2】

(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(

)题型二复合函数求导法则的综合应用A2(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.解由题意可知，设切点P(x0，y0)，则当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln(2x－1)有交点，则曲线上的点到曲线2x－y＋m＝0的距离为0，故m＝－12舍去.即实数m的值为8.【迁移2】

(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝lnx＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值.利用导数的几何意义解题时的注意点(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.思维升华【训练2】

已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是__________.2x－y＝0解析

设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.题型三复合函数导数的综合问题将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.思维升华【训练3】

已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.解析

s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.1.求复合函数的导数的3个注意点：①分解函数为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.2.和与差的运算法则的1个推广 [f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).课堂小结分层训练素养提升3

C2.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝(

) A.1 B.－1 C.2 D.－2A解析

y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.3.设函数f(x)＝(2021－2020x)3，则f′(1)＝(

)A.6060 B.－6060C.2020 D.－2020B解析

f′(x)＝3×(－2020)(2021－2020x)2，则f′(1)＝3×(－2020)＝－6060.4.(多选题)下列结论中不正确的是(

)ACD对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；B二、填空题6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24m/s时加速度为________(m/s2).7.6解析

当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).7.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.2解析

设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.0－1解析

由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率.所以a＝0，b＝－1.三、解答题9.求下列函数的导数：解

(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(3)y＝sin2x－cos2x；(4)y＝cosx2.解

(3)yx′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′(4)设y＝cosu，u＝x2，则yx′＝(cosu)′·(x2)′＝(－sinu)·2x＝(－sinx2)·2x＝－2xsinx2.10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线.求切线l的方程.解

f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.ABA.y＝2x＋6 B.y＝2x－4C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4解析

y′＝e2x(2cos3x－3sin3x)，∴y′|x＝0＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.2