2024年高考数学重难点复习：三角恒等变换八大题型原卷版

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

题型1辅助角公式的运用..............................................................1

题型2辅助角公式与最值..............................................................2

题型3凑角求值.......................................................................3

♦类型1诱导公式法............................................................4

♦类型2拆角...................................................................4

题型4分式型凑角求值................................................................5

题型5正切恒等变形..................................................................6

♦类型1正切化简求值..........................................................6

♦类型2与其他知识结合........................................................7

题型6正切求角.......................................................................8

题型7二倍角公式与升赛降森.........................................................9

题型8正余弦和差积问题.............................................................11

题型1辅助角公式的运用

非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tanp=b，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公

a

式I是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会"化正

",更要会"化余".

asina+bcosa=q+(^^sina+T^^cosa)

%bL+b2J+b?

令coscp=ia，sincp=~~b-

"+b2Va2+b2

asina+bcos0£=\、2+b2sira+bcosx)+^2(cospsira+sin

a2b2xa2b2

cpc。双)=\a2+b2sina+©

【例题1】（2023全国高三专题练习用辅助角公式化简si述_5co^=

22

【变式1F1.（202湫•湖南永州高三校联考开学考试）已知cosa+价sina=a,贝gs

5

A.3B.1C.—3D.—4

【变式1-1】2.(2023秋•广东揭阳•高三校考阶段练习)已知n<仇<<,—江<£<0,且

222

sin。+sin/?=、巧(cos。+cos/?),则下列结论一定不正确的是()

A.cos(a-£)=-lB.sin(a-0)=OC.cos(a+0)=一工0.j(a+/?)=_

2sn2

【变式1-1]3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函娄好O)=sin2x+cos2久的一

条对称轴是()

A.久=—B.久=—C.x--n-D.x—

18T41r84n

【变式1-114.(2023秋•江西南昌高三南昌二中校考开学考试)已知f(x)=sin(M+*-

^cos^x+A，则f(l)+f(2)+…+”2023)的值为(

33

A.2V3B.0C.1D.0

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)设d为动点P(cosasinJ)到直线x—y—2=0的

距离，则d的最大值为()

A.y/2-1B.诞c.1+#D.3

题型2辅助角公式与最值

辅助角公式满足:

sin(a+())

asina+bcosa=、：2+(--^sina+cosa)=x；a2+b2P

a°'a2+b2'a2+b2

II

-Ja2+b24asina+bcosa<Va2+b2

【例题2】(2023•陕西宝鸡・统考二模)已知函数了㈤=2sinx+4cosx在x=0处取得最大值,

则COSQ=()

A.2<5B.<5C.一送D.一应

5555

【变式2-1]1.(2023・河南•校联考模拟预测)若关于%的方程sin2x+2cos2x=—2在[0不)

内有两个不同的解a,4则cos(a—S)的值为()

A.一金B.&C.一湛D.

5555

【变式2-1】2.(2023秋•江西吉安•高三吉安一中校考开学考试)已知Sep,。，且sin

(a—20)+3sina=0,则tana的最大值为()

A.-iiB.近C.一近D.近

4444

【变式2-1]3.(2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数/。)=sinx+3cosx,当

/'(X)取得最大值时，tanx=.

[蛆2-1]4,(2023秋•襦1厦门•高三厦校考阶段练习)段口酸/(x)=sin3x—

"COS3X(3>0),若/(%)的图像在区间(O,TT)上有且只有1个最低点，则实数®的取值范围

为.

【变式2-1】4.(2021秋・广西南宁•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=W

(sin2x+4cosx)+2sinx则f(x)的最大值为()

A.443B.1Z

2

C.6D.5\,3+2

【变式2-1】5.(2023秋•四川成都・高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)若函数

/(%)=sinx-v3cosx,xe[科用的值域为[—1,2],贝血—m的取值范围为

题型3凑角求值

期重点

常见角的变换有:

a+Ba-B

①a二(a-B)+B；②a=---+----;③2a=(a+0)+(a-0);@2p=(a+P)-(a-

22

P).

♦类型1诱导公式法

【例题3-1](2023河南开封•统考三模)已知sin(a+J—cosa=：,则cos(a+„)=()

A.3B.1C.-1D.-1

5555

【变式(2023秋•江苏南通・高三统考开学考试)已知sin(a+J=*，则sinR-Za)

63、6

=()

A.-标B.9C.-1D.1

3333

【变式3-1]2.(2023秋•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试)已知sin(+9=一

A.2B.1C.—zD.-1

8888

【变式3-1】3.(2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习)设a为锐角，若

(«:+》=:，贝Usin(a_苏)=()

A.eB.-2(2C.eD.一运

101055

【变式3-1】4.(2023秋・河北•高三校联考阶段练习)已知sin^_%)=_*，且ae

(。》则s%+2a)=()

A.一闻B.C.近D.-Vz

9999

♦类型2拆角

【例题3-2】(2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知a,0均为锐

角，且tana=3,sin(a+£)=3,贝！]cos£=()

5

A.13dloRvioC.9J10D.Cio的iNio

5010501050

【变式3-2】1.（2022秋・陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若见。都是锐角,

且cosa=近,sin(a+/?)=3,则cosQ=

55

A.2X5B.2X5C.D.2*5nJ6<5

255255525

【变式3-2】2.(2022・云南•云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知sina=也，cos

7

(观_°)=且0<aV红，0<S<红，贝!JsinS=()

544

A.axisB.WLIQC.示D.近

35353535

【变式3-2】3.(2022秋•山东日照•高三校考阶段练习)已知a,£6(0,),tan(a+_)=

TTl卯

近，cos0+p)=近,贝!Jcos(2a—S)=()

263

A.一应B.一近C.芯D.近

9393

题型4分式型凑角求值

.，,茅r

Hf.|f■•&、一

分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简

【例题4】（2021・湖北黄冈•黄冈中学校考一模）求值:sinl0°cosl5°—cos65°_

sinl00sinl5°+sin65°

A.-2—yl3B.yj3—2C.2—FD.2+<3

【变式4-1】1.（2023吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）求值一皿』_

tan27.5°—8sin27.50+1

【变式4-1】2.（2022全国•高三专题练习）计算求值：

（1计算2COS10—2V3cost—100。）白勺彳直,

VI—sinlO

（2）已知a、夕均为锐角，sina=工，cos（a+0）=公3求si叩的值.

714

【变式4-1】3.（2022秋•黑龙江哈尔滨高三黑龙江实验中学校考阶段练习）化简求值:

1

（）sin20°-siri40o

cos20°-cos40

°(°)

(2)cos40-+sin50~ITtanlO

.+cos40°

sm70

【变式4-1】4.（2023•全国•高三专题练习）化简:

⑴______1+sina______1—sinaq<a<乎);

Cl+cosa-\I1-cosa+cosa+—cosa

(2)cos(亍一a)—tan：(1+cosa)(Q<(Z<).

\*1—cosaTU

题型5正切恒等变形

」.4，

型-塾亶点

两角和的正切公式的常见四种变形：

T(a+B)：

①tana+tanp=tan(a+p)(1-tanatanp);

@tana+tanp+tana-tanp-tan(a+p)=tan(a+p)

tana+tanp

④tanatanp=1-------------------.

tanDa+pD

tana+tanp

@1-tanatanp=__________;

tanEla+B口

1-f)，

①tana1tanp=tan(a1p)(1+tanatanp);

②tana-tanp-tanatanptan(a-P)=tan(a-p);

(4)tanatan|3=tana-tanp-1

tan(a-P)

@1+tanatanP=tana-tanp；

♦类型1正切化简求值

【例题5-1】（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若ae

（_[,_1），且cos2a+cos生+2a）=—3则tan（a—丘）=.

【变式5-1】1.（多选）（2023•河南信阳•信阳高中校考模拟预测）已知%（0,2）,。为

坐标原点，6终边上有一点M（、+0.则（）

'sin8cos8sin8cos87

A.8=11TB.|0M|=#

8

C.tan。<1D.cosO>1

2

【变式5-1】2.（2023•全国•高三专题练习）当x=x0时，函数/0）=sin%-2cos比取得最

大值，则1211（与+町=.

【变式5-1J3.（2023春・江西赣州•高三校联考阶段练习）已知角a/e（0,）,且sin（a+0）

n

+2cos（a-。）=0,sinasin£+2cosacosS=0,则tan（a+£）=（）

A.1B.IC.ZD.-2

323

【变式5-1】4.（2023•四川成都•校联考二模）在锐角△4BC中，角A,B,C的对边分别

为a,b,c,tanXsin71（tanBtanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC,且6sin8+csinC=masin

A,贝按数爪的取值范围为.

【变式5-1]5.（2023•全国高三专题练习）在锐角△4BC中,三内角4,B,C的对边分别为a,6,c,

且a=2bsinC,贝[]tan4+tanB+tanC的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式5-1]6.（2023春•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知△ABC的三个

内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是（）

命题p:对任何锐角A,都存在△48C,使得cosA+cosB=cost;

命题q：对任何锐角A,都存在△48C,使得tan4+tan8=tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题,q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命题，q是假命题

♦类型2与其他知识结合

【例题5-2】（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛,J中a]=d=l,\=tana/tan

an+1(n6N*),则数列｛bj的刖n项和—•

【变式5-2J1.(2022・上海•高三专题练习)已知正三角形4BC的三个顶点均在抛物线刈=y

上，其中一条边所在直线的斜率为则△ABC的三个顶点的横坐标之和

为.

【变式5-2】2.(2022•浙江绍兴模拟预测)在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为

a,b,C,已知角A为最小角且tan2,tanB,tanC均为整数，贝(JcosA=,设B<C,

4B的中点为D,则效=

CB-------------------------

【变式5-2]3.(2023•福建厦门•厦门外国语学校校考模拟预测)已知椭圆C的一个焦点为

F,短轴与鸟的长为2y3P,供JC上异于4,与的两点.设NPqB2=a/PqBi=0,且tan

(a+£)=—3(+a+/),则△PQ用勺周长的最大值为

tantan------------

【变式5-24.(2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试)已知A、B是椭圆理+在

aib2

=1(£1>6>0)与双曲线显—/=1(£1>0/>0)的公共顶点，P是双曲线上一点，PA,PB

U2bi

交椭圆于M,N.若MN过椭圆的焦点F,且tan乙4MB=—3,则双曲线的离心率

为.

题型6正切求角

给值求角问题的解题策略：

(1)讨论所求角的范围.

(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值.

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.

3

（3）由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角

【例题6】（2023春•陕西西安高三西安中学校考阶段练习）已知tana、tan/?是方程比2+30

久+4=0的两个根，且a,06（-勇it）,则a+。等于（）

A.<B.一<

33

Cy吗Dy或-左

【变式6-1】1.（2023•全国•高三专题练习）已知tanSuTEul;，tan（a+0）=『广，若

sincos

Se（o,/，贝蛆=（）

A.nrB.RC.2D.1rt

12643

【变式6-1]2.（2020・全国•高三专题练习）已知等差数列｛aj中，^+^=-2,a?+

+0,=_3,又tan£=a,,tan（0—a）=a”其中a,0e（O,兀），则2a--的值为（）

11227

A.—迎或一2B.32.C.—瓦D.—近

44444

【变式6-1]3.（20122秋•上海普陀•高三曹杨二中校考期末）在/48c中，若67IC•利=2

AB-BC=3BC-CA,贝！]角力的大小为

A.五B.wC.迎D.3ZL

4334

【变式6-1]4.（2022-湖南才翅关考二模）已知在△4BC中，（2BX-3BT）F=0,贝据4

白混大值^.

【变式6-1】5.（2022秋•江苏常州•高三统考期中）已知4、B、C为△AB面内角,若

3tanA+tanB=0,则角C的取值范围为

题型7二倍角公式与升森降氟

4

1.二倍角公式

2.升幕与降幕公式

1+cos2a1-cos2a

1.降幕公式：cos2a=-------------,sir）2a=--------------

22

2.升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a.

注意:倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6a是3a

的2倍，3a是吸的2倍.这里蕴含着换元思想.这就是说，"倍”是相对而言的，是描述两

2

个数量之间的关系的.

【例题7】（2022•甘肃临夏统考一模）已知角a终边上一点M的坐标为（-1,2），则tan2a=

（）

A.-2B.1C.2D.-A

33

【变式7-1】1.（2020北京•高三强基计划）已知Z]=sinz+2i,Z2=l+i-cosr,则

13-a十衿|2的最小值是（）

IZ1-jzJ

A.1B.2C.iD.3

232

【变式7-1]2.（2023秋•江西抚州.高三黎川县第二中学校考开学考试）已知ee区工），

则当tan26-tan。取得最大值时，tan28-

tan6

【变式7-1】3.（2023四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）已知（ta/a—tam）-cos

2a=2,贝=.

【变式7-114.（2023秋•四川成都・高三石室中学校考开学考试）已知倾斜角为a的直线1

与直线m:%—2y+3=0垂直，则cos2a=.

【变式7-1]5.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）若函数f（幻=sin

2x-2cosx,则/（久）的最小值是.

【变式7-1】6.（2023秋河南•高三校联考阶段练习）在△4BC中，tan£=3tand，则工

22/

+工的最小值为（）

.C

sin

A.4B.2/C.4、可D.16

题型8正余弦和差积问题

Sina±cosa的问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决

【例题8】（2023秋•新疆巴音郭楞•高三校考开学考试）已知cosa+cos°=±,sina-sin

5

^=-1,贝!|cos（2a+20）=（）

A.1B.IC.-ID.-1

22

【变式8-1】1.（2022春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知a为象限角，且满

足Sina+2cosa=1,贝!]Sinacosa=（）

2sin2a—cos2a

A.—6B.6C.—12D.12.

2323

【变式8-1]2.（2022秋•吉林・高三吉林省实验阶段练习）已知迪（sin攵—cosa）=近，则sin

2'22）3

a的值为

A.-1B.1C.2i2D.一湛

3333

【变式8-1]3.（2022・陕西・校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分

为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表

示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成"0-07”,478密位写成

“4-78”.若（sina-cosa）2=2sinacosa,则角a可取的值用密位制表示错误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【变式8-1】4.(2023・河南•校联考模拟预测)已知a,/?£(05)，cos(a+/?)=-5,tan

'2)13

a+tanS=3,贝！Jcos(a—£)=()

A.1B.2.C.1D.1

3137

【变式8-1】5.(2021•江西南昌・高三阶段练习)已知cosa—cos2s=±2sina+sin2s=2,

23

贝！|sin2(@+0)=()

A.41B.31c.11D.n

72723636

【变式8-1】6.(2023秋•河南•高三郑州一中校联考阶段练习)若sin2a+5-m

(sina+cosa)Z0在ae|o,