2024年中考数学复习图形的相似与位似过关检测（解析版）

专题19图形的相似与位似过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分,共30分）.

1.婺x10则工■等于（）

y7x-y

A.20C.10D.17

17TT

【答案】c

【解答】解：「Wh10

yT

••.设x=10左，y=7k,

x10k_10k_10

x-y10k-7k3k3

故选：C.

2.如图所示，在△NBC中,DE//BC,若40=2,AB=6,则迪=)

EC

A.2B.111

33~24

【答案】c

【解答】解:■.■DE//BC,

.AD=AE

,DBEC，

AD=2,AB=6,

.'.DB=AB-AD=4,

.AE_-A-D-—=—1，

ECDB2

故选:C.

3.如图,DF//AC,DE//BC,下列各式中正确的是（)

AE=BDAD=AB

CECDDEBC

【答案】£*

【解答】解：“尸〃NC,

.•.延=史，所以/选项错误;

BDBF

■.■DE//BC,

，AE-

一义,所以C选项错误;

ECBD

而AD

丽-

-C-F,

BF

--

-AE-C-F,

CEBF

-：DE//CF,DF//CE,

■.四边形DECF为平行四边形，

：.CF=DE,

.•.岖=迈，即坐=出，所以8选项错误；

CEBFDEBF

■：DE//BC,

.•.岖gpAD=AB,所以。选项正确.

ABBCDEBC

故选：D.

4.如图，△/BC与△。环位似，点O为位似中心.已知。/：0D=\-3,则△/BC与△£>£尸的面积比为

()

o

A.1：3B.2：34：5D.1：9

【答案】。

【解答】解：：AABC与RDEF位似，

••.△ABCs/\DEF,AB//DE,

/\OAB^/\ODE,

：.AB-DE=OA-OD=1：3,

.•.△N5c与△。跖的面积比为1：9,

故选：D.

5.如图，△48。中，乙5=60。，48=6,BC=8.将△48C沿图中的。£剪开.剪下的阴影三角形与原三

角形不相似的是（）

A60°/60

BD

。5c

【答案】。

【解答】解：/、ZC=ZC,乙DEC=LB=60°,

△DEC—dABC,

故/不符合题意;

B、•••ZC=ZC,ACDE=AB,

：./XCDE^/XCBA,

故3不符合题意;

C、由图形可知，BE=AB-AE=6-2=4,

BD=BC-CD=S-5=3,

••巫里普」

'BC短节T

.BE_BD

一而怎，

又AB=AB,

:.△BDE—4BAC,

故C不符合题意；

D、由已知条件无法证明△/£＞、与△/3C相似，

故。符合题意，

故选：D.

6.如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保

持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小明的眼睛离地面高度

为1.6加，同时量得小明与镜子的水平距离为2加，镜子与旗杆的水平距离为12m,则旗杆高度为（）

【答案】C

【解答】解：如图，由题意得，AB=1.6m,BC=2m,CD=12m,

根据镜面反射可知：AACB=AECD,

■.■ABLBD,DELBD,

AABC=AEDC=9Q°,

/XACBs^ECD,

■ABCBRn1.62

EDCDED12

:.ED=9.6(m),

故选：C.

卞

/E

D

BC

7.在三角形A8O中，已知点/（-6,3）,8（-6,-4）,以原点O为位似中心，相似比为上，把△/B。

3

缩小，则点/的对称点，的坐标是（）

A.（-2,1）B.（-8,4）

C.（-8,4）或（8,-4）D.（-2,l）或（2,-1）

【答案】。

【解答】解：：以原点。为位似中心，相似比为工，把a/B。缩小，点/的坐标为（-6,3）,

3

・•・点/的对称点4的坐标为（-6X_1,3X』.）或（6X_1,-3X_1）,即（-2,1）或（2,-1）,

3333

故选：D.

8.如图，在等边三角形A8C中，8c=6,点。是边上一点，且5D=2,点尸是边8C上一动点（。、P

两点均不与端点重合），作乙。?£=60°,PE交边/C于点E.若CE=a,当满足条件的点尸有且只有

一个时，贝人的值为（）

A.4B.HC.旦D.5

32

【答案】C

【解答】解：；^ABC是等边三角形，

Z5=ZC=60°,

ABDP+ABPD=180°-AB=120°,

:乙DPE=60°,

ABPD+ACPE=\20°,

乙BDP=乙CPE,

Z5=ZC=60°,

/\BDP^ACPE;

.BD_BP

"CP"CE'

.2BP

6-BP=a'

：.BP2-6BP+2a=0,

•••满足条件的点P有且只有一个，

•••方程BP2-6BP+2a=0有两个相等的实数根,

=62-4x2a=0,

故选：C

9.如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使。/边落在。C边上，点/落在

点H处,折痕为DE；使C3边落在CD边上，点2落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形A

【答案】C

【解答】解：设HG=x,

,•,四边形/BCD是矩形，

AA=AADH=90°,AD=BC=\,

由折叠得：AA=AAHE=9Q°,AD=DH=\,BC=CG=1,

•••四边形疝》®是矩形，

■：AD=DH,

四边形4DHE是正方形,

：.AD=HE=1,

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，

"ADDC'

•.•x—_―--1---,

11+x+l

解得：x=V2-1或x=-V2-1,

经检验：x=V2-1或工=-V2-1都是原方程的根，

GH=V2-1,

.'.DC=2+x=V^+l,

故选：C.

10.如图，正方形NBC〃的边长为4,点£,尸分别在边DC,8C上，且8尸=CE,/£平分4C4D,连接。

F,分别交/C于点G,M.尸是线段NG上的一个动点，过点尸作尸NL/C,垂足为N,连接尸"有

下列四个结论：

①4E垂直平分。河；

②PM+PN的最小值为3加；

③CF2=GE・AE；

④S/DM=6^2-

其中正确的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】。

【解答】解：①,•・四边形ABCD是正方形，

:.AD=DC=BC,AADC=ADCB=90°,

：BF=CE,

：.BC-BF=DC-CE,

即CF=DE,

在△/£»£1和△/),中，

'AD=DC

«ZADE=ZDCF,

DE=CF

ZXADE经ADCF(SAS),

乙DAE=ACDF,

ACDF+AADG=90°,

ADAE+AADG=90°,

AAGD=90°,

AAGM=90°,

乙AGM=AAGD,

•・・/E平分乙C/D,

乙MAG=ADAG,

又/G为公共边，

AAGM^^AGD(ASA),

：.GM=GD,

XvAAGM=AAGD=90°,

r./E垂直平分。

故①正确；

②如图，连接AD与/C交于点。，交/G于点H,连接

•••四边形/BCO是正方形，

：.ACVBD,

即DOLAM,

•・・/E垂直平分DW,

：.HM=HD,

当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN=HM+HO=HD+HO=D0,即PM+PN的最小

值是。。的长，

•••正方形ABCD的边长为4,

,-.AC=BD=4&,

D0=yBD=2V2>

即PM+PN的最小值为272,

故②错误；

③•.ZE垂直平分DM,

ADGE=90°,

•••AADC=90°,

乙DGE=AADE,

又乙DEG=AAED,

/\DGE^/\ADE,

.DE_GE

"AE"DE'

即DE2=GE-AE,

由①知CF=DE,

CF2=GE'AE,

故③正确；

④•.,/£1垂直平分DM,

.■.AM=AD=4,

又D0=2加，

"△ADM9AM叩0卷X4X2亚=4近，

故④错误；

综上，正确的是：①③，

故选：D.

AD

二、填空题（本题共6题，每小题2分，共12分）。

11.若四条线段。，b,c,d成比例，其中b=3,c=4,d=6,则a=2.

【答案】2.

【解答】解：根据题意得m3=4：6,

所以a=2.

故答案为：2.

12.已知八ABCs4DEF,其相似比为2：3,则它们的周长之比为2：3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•.•△/BCsaOEF,其相似比为2：3,

.,.它们的周长比为2：3,

故答案为2：3.

13.已知线段。=3cm,6=4。〃，那么线段a、6的比例中项等于_2^3_cm.

［答案】见试题解答内容

［解答］解：；线段a=3cm,b=4cm,

••・线段a、b的比例中项=X4=2我°九

故答案为：2Vs.

14.如图，AB//CD//EF,如果/C：CE=2：3,BF=10,那么线段。立的长为6.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

.BD=AC=2_

"DFCEE，

■,BF=10,

；.DF=10x3=6；

5

故答案为：6.

15.如图，在△48。中，点。为3c边上的一点，S.AD=AB=2,ADLAB.过点。作DE_L4D,DE交A

。于点E.若。£=1,则△ABC的面积为4.

【解答】解：■■■ABVAD,AD1DE,

...乙BAD=LADE=90。,

.'.DE//AB,

/_CED=/_CAB,

•:乙C=LC,

:./\CEDsdCAB,

<DE=1,AB=2,BPDE：AB=1：2,

••・S^DEC：S^ACB=1：4,

,,S四边形48DE:S^ACB—3：4,

S四边形4BDE=SLABD+SLADE=-1-X2x2+-Lx2x1=2+1=3,

S^ACB=4,

故答案为：4.

16.如图，四边形A8CD是正方形，点E在C8的延长线上，连接NE,/尸，/£交CD于点个连接跖,

点〃是斯的中点，连接38,则下列结论中：

①BE=DF；

②乙BEH=ABAH；

③里

CF2

④若N2=4；DF=1,则△AE77的面积为3.

2

［答案】①②③.

【解答】解：①四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD,AADC=/_BAD=/LABC=90°,

；.乙ABE=9Q°=LADE,

■.-AE1AF,

AEAF=ABAD=90°,

/_BAE=Z_DAF,

/\ABE^/\ADF(ASA),

:・BE=DF,

故①的结论正确；

②:AABE*ADF,

：.AE=AF,

••・”点跖的中点,

・•.AH工EF,

乙BEH=乙BAH,

故②的结论正确；

③•：乙AGH=LEGB,AAHG=AEBG=90°,

/\AGH^/\EGB,

.AGGH

,/(AGE=乙HGB,

丛AGE—AHGB,

乙AEG=乙HBG,

'：AE=AF,乙EAF=90。,

A/LAEF=45°,

/.AHBG=45°,

乙CBH=45°,

过H作HKLBC于点K,

是好的中点，

，於是△CEF的中位线,

■.CF=2HK,

•.2〃8K=45°,

：.BH=42HK,

.BHV2

,--=---,

CF2

故③的结论正确；

④•••48=4；DF=1,

:.BE=DF=1,CF=4-1=3,

:.HK=1.CF=3.,

22

13

•SABEH=7BE-HK=7，

故④的结论错误；

・•・正确的是：①②③.

故答案为：①②③.

三、解答题（本题共7题，共58分）。

17.（6分）已知：a：b-c=3：4：5.

（1）求代数式3a-b+c的值;

2a+3b-c

（2）如果3a-b+c=10,求匹b、c的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：:a：b：c=3：4：5,

•,•设a=3左，b=4k,c=5k,

（1）3a-b+c=9k-4k+5k=10.

2a+3b-c6k+12k-5k13

(2)3(z-b+c=10,

■■.9k-4k+5k=10,

解得左=1,

-'-a=3,6=4,c=5.

18.（8分）如图，在△48C中，AB=AC,AD_L/C于点D

（1）在边上求作点£,使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接DE,若48=6,DE=2.求。。的长.

(2)A.

3

：.BE=CE,

,.DE=2,

：.BC=4,

•/△ACEs^BCD,

-AC-CEpn6_2

BCCD4CD

解得CD=A.

3

19.(8分)如图，在△48C中，D,E分别是4C,48上的点，AADE=AB,AB=10,AD=8,DE=4.

(1)求证：/\ADE^/\ABC-,

(2)求8C的长.

【答案】（1）见解析；

（2）BC的长为5.

【解答】（1）证明：AADE=AB,又乙4=乙4,

AADE-^AABC；

（2）解：由（1）得：/\ADEs/\ABC,处理，

ABBC

即旦，，

10BC

解得：BC=5,

答：2。的长为5.

20.（8分）如图，在△N3C和△/£>£中，ABAD=ACAE,乙ABD=LACE.求证:

（1）AB-AE=AC-AD.

（2）/\ADE^IXABC.

［答案】见解答.

【解答】证明：(1).:乙BAD=LCAE,乙ABD=LACE,

AABDs△ACE,

.AB=AD

'ACAE'

:.AB，AE=AC・AD；

(2)'：/\ABD^/\ACE,

：.ABAD=ACAE,延=世，

ACAE

乙BAD+乙DAC=ADAC+ACAE,

即48/C=ADAE,

AB-AD

而AE

-AC

ABAE

AD

LADE—AABC.

21.（8分）如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高48=肌灯柱的高。P=。，P'=1,两灯柱之

间的距离。O'=m.

（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子/C的长;

（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（D4+/C）是否是定值？请说明理由;

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由已知：/8〃。尸,

△ABC—AOPC.

.-.-AC=-A-B,

OCOP

*.*OP=/,AB=h,OA=a,

----A--C---=—h，

a+AC1

:•解得：AC矍

1-h

(2)-：AB//OP,

AABC-/XOPC,

.AB=AC=h

OP"OCV

即AC二h,即AC=h

OC-AC1-hOA1-h

同理可得：DA汽・0,A，

1-h

22.(10分)如图，RtA/ISC,4c=90°,AC=12cm,3C=5c%.点尸从点C出发，以2c加/s的速度沿。

/向点/匀速运动，同时点0从点2出发，以lcm/s的速度沿8C向点C匀速运动，当一个点到达终点

时，另一个点随之停止.

(1)求经过几秒后，△PC。的面积等于△NBC面积的看？

(2)经过几秒，APC。与△48C相似？

【答案】(1)经过2秒或3秒后，△PC。的面积等于面积的工；(2)经过世秒或至秒，△PCQ

51129

与△N8C相似.

【解答】解：(1)设经过t秒后，△尸。。的面积等于△NBC面积的工，

5

贝lj,PC=2t,BQ=t,CQ=5-t,

；」x2fx(5-/)=AxAx12x5,

225

整理得户-5/+6=0,

解得n=2,fe=3,

,.-0</<5,

经过2秒或3秒后，△PC。的面积等于△NBC面积的工.

5

(2)①设经过x秒后△PCQs/\ACB,

.AC=PC

'BCCO"

-.--1-2-.--2-x-,

55-x

解得戈=9，

11

②设经过X秒后△尸CQsABCA,

.BC=PC

"ACCO"

•.•—5-―--2-x,

125-x

解得X=生；

29

23.(10分)综合与探究

在矩形ABCD的CD边上取一点E