2024年中考数学复习：圆的概念与性质培优讲义

圆的概念与性质培优讲义

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1.圆的有关概念：

⑴圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.

定点--圆心

⑵确定一个圆的条件：定长一一半径

（3）等圆：能够重合的两个圆叫作等圆（两个全等的圆）.

⑷圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.

（5）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫作圆周角.

（6）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.

⑺等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧.

⑻弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.

⑼圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

2.垂径定理及其推论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

注意：对于一个圆和一条直线，如果具备了下列五个条件中的任何两个，那么一定可以推出其他三个：①过圆心；②垂直弦；③

平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角.

3.圆周角定理

圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半.

推论1：直径（或半圆）所对的圆周角为90°,90。圆周角所对的弦是直径.

总结：同圆或等圆中，①弧相等，则弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等；②圆心角相等，则弧相等，弦相等，所对圆周角

相等；③弦相等，则弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等.（注意：弦所对的圆周角有两种）

4.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角.

W例题精讲

例1如图，四边形ABCD内接于OO,AB=CD,A为防中点,NBDC=60。厕NADB等于

（）BD

A.40°B.50°

C.60°D.70°

举一反三1如图,四边形ABCD是。O的内接四边形，点D是正的中点，点E是BC上的一点，若乙CED=40。,,则NADC=_

_度.

举一反三2已知0O的直径CD=10,AB是0O的弦,AB_LCD,垂足为M,且AB=8,则AC的长为

例2如图,AB是。O的直径弦(CD14B于点E,点G为弧BC上一动点,CG与AB的延长线交于点F,连接OD.

⑴判定/AOD与NCGD的大小关系为—;

(2)求证:GB平分NDGF;

(3)DE=4,BF=4年在G点运动过程中，当(GD=GF时.求。O的半径.

举一反三3如图，四边形ABCD内接于，点E在对角线AC上,EC=BC=DC,连接BE.

(1)若乙CBD=39。,求NB4D的度数；

⑵求证:Zl=Z2.

例3如图,。0的半径为1,A,P,B,C是。0上的四个点，乙4PC=乙CPB=60°.

(1)判断△4BC的形状:.

(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论.

⑶当点P位于防的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积.

举一反三4如图.AB,BC是。0的弦,NB=60。,圆心。在NB内，点D为公上的动点，点M,N,P分别是AD,DC,CB的中点.若。O

的半径为2,则.PN+MN的最大值是()

,4.1+73B.1+2V3

C.2+2V3D.2+V3

举一反三5在△4BC中，已知.BC=4cm,Z.BAC=45。,则△4BC的最大面积是

A.8cm2B.16cm2

C.4（l+V2）cm2D.8（l+V2）cm2

例4如图1,©O中AB是直径,C是。O上一点,N4BC=45°,,等腰直角三角形DCE中.NDCE是直角.点D在线段AC上.

（2）若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点，证明:MN=V2OM.

⑶将&DCE绕点C逆时针旋转a（0。<a<90。）后,记为AD】CEi（如图2）,若如是线段.BE1的中点，刈是线段4Di的中点，

M1N1=是否成立?若是，请证明；若不是，说明理由.

过关检测

1.如图,。0的直径CD过弦EF的中点G,连接CF,ZC=30°,CF=2低则OG的长是()

A.1B.V3C.2D.2V3

2.如图，四边形ABCD内接于。O,连接BD.若前=BC,Z.BDC=50。,贝!!NADC=()

A.125°B.130°C.135°D.140°

3.如图，已知BC是。O的直径，半径OA_LBC,点D在劣弧AC上（不与点A、点C重合）,BD与OA交于点E.设NAED=a,/AOD邛,

则（）

c

A.3a+P=180°B,2a+P=180°

C.3a-P=90°D.2a-0=90°

4.如图，已知四边形ABCD为0O的内接四边形,BD平分ZABC,DH_LAB于点H,DH=W/ABC=120。,则AB+BC的值为（）

D.V5

5.如图,AB,CE是圆O的直径,且AB=4,BD=DC=点M是AB上一动点.有下列结论:①ZCED=：/BOD;②DM_LCE;③CM

+DM的最小值为4;®设OM为*,则SAOMc=V5x.上述结论中,正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6如图，将0O沿弦AB折叠，点C在AmB上，点D在.油上若ZACB=70°,贝［J/ADB三

7.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O,A,B,C在格点（两条网格线的交点叫格点）上,以点O为原点

建立直角坐标系，则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为

8.如图,正方形ABCD的顶点A.B和正方形EFGH的顶点G,H在一个半径为5cm的。0上，点E,F在线段CD上,正方形ABCD

的边长为6cm,则正方形EFGH的边长为cm.

9.如图.AB为。O的直径点C在。O上,连接AC和BC,ZACB的平分线交。0于点D.

(1)求证:AC+BC=V2CD;

(2)已知。O的半径为5,CD=7或若AC<BC,求弦AC的长

能力拓展

10.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为4位,，则a的

A.4B.3+V2

C.3V20.3+V3

11.P是OO内一点,OO的半径为15,P点到圆心的距离为9,通过P点、长度是整数的弦的条数是()

A.5B,7C.10D.12

12.如图，一个半径为1的圆纸片，第一次剪去半径为扣勺圆，得到的图形Pi的面积为Si,第二次剪去半径为热勺圆，得到的图

形P2的面积为S2,第三次剪去半径为色勺圆，得到的图形P3的面积为S3……依此类推，第n次剪完后得到的图形Pn的面积为S

n，则S2009—S2010=.

2P,

P,

13.⑴如图1,多边形ABDEC由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成.0。过A,D,E三点,则OO的半径等于一

⑵如图2,若多边形ABDEC由一个等腰三角形和一个矩形组成，AB=AC=BD=2,G>O过A,D,E三点，则。0的半径是否改变?—.

14.如图1.已知。。的半径为1,PQ是。O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称