2024年上海市长宁区中考数学三模试卷（含解析）

2024年上海市长宁区中考数学三模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列二次根式中，与避是同类二次根式的是（）

A.#B.FC.V12D.国

2.用换元法解方程詈+三=2时，若设妥=%则原方程可化为关于y的方程是（）

A.y2—2y+1=0B.y2—2y—l=0C,y2+y—2-0D.y2—y—2-0

3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显由数据所表现

出来的部分与整体的关系的是（）

A.条形图B.扇形图C折线图D.频数分布直方图

4.如果反比例函数图象经过点（4,-2）,则这个反比例函数的解析式为（）

.-2「2仆-8c8

A.y=^B.y=-C.y=-D.y=-

5.下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6.如图，在中，ZC=9O°,AC=4,BC=7,点。在边BC上，CD=3,04的半径长为3,OD

与02相交，且点B在外，那么。。的半径长r的取值范围是（）

A.1<r<4B.2<r<4C,1<r<8D.2<r<8

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：2a-（3ab）=.

8.已知f（x）=岩，那么f（3）的值是.

9.已知正比例函数y=kx（k是常数，k彳0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而.（

填“增大”或“减小”）

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10.如果关于％的方程4尤+m=0有两个相等的实数根，那么小的值是

11.如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取1个数，那么取到的数恰好是3的倍数的

概率是一

12.如果将抛物线y="向左平移3个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是

13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有170名学生会

游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为

14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从

木杆的顶端。观察井水水岸C,视线DC与井口的直径4B交于点E,如果测得力8=1.6米，BO=1米,

BE=0.2米，那么井深4c为.米

15.如图，AC,8。是平行四边形4BCD的对角线，设丽=Z,CA=b,那么向量丽用

向量五、刃表示为.

16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线。4B反映了小明从家步行到学校所走的路程s（

米）与时间分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需

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17.如图，在△ABC中，AB=8,BC=14,zS=60°,点。在边BC上，CD=6,

联结2D,如果将△4CD沿直线4。翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线

BD的距离为

18.在矩形48CD中，AB=12,BC=16,点。在对角线北上，。。的半径为4,如果。。与矩形48CD的

各边都没有公共点，那么线段4。长的取值范围是

三、计算题：本大题共1小题，共10分。

'2%+1>%

19.解不等式组：‘久+5一久乎］.

2一

四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.（本小题10分）

1I1l

-2

计算：643+^_2-(3)+|3—V^l-

21.（本小题10分）

如图，在直角梯形4BCD中，AB//DC,ADAB=90°,AB=16,CD=10,BC=6而.

（1）求梯形4BCD的面积;

（2）联结BD,求NDBC的正切值.

22.（本小题10分）

某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成

了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这

两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测

量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

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课题测量旗杆的高度

成员组长XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器、皮尺等

测量示意图

说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度

AC=BD=1.5m,测点48与H在同一条水平直线上，A,B之间

的距离可以直接测得，且点G,H,A,B,C,。都在同一竖直平面

内.点C,D,E在同一条直线上，点E在上.

小-------------B~~

K测量项目第一次第二次平均值

NGCE的度数25.6°25.8°25.7°

测量数据NGDE的度数31.2°30.8°31°

A,B之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量，A,8之间的距离的平均值是m.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆G”的高度.

(参考数据：s讥25.7°80.43,cos25.7°-0.90,tan25°«0.48,s讥31。=0.52,cos310®0.86,

tan31°~0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方

案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？

23.(本小题12分)

已知：如图，在菱形ZBCD中，点E、F分别在边力B、AD±,BE=DF,CE的延长线交的延长线于点G,

CF的延长线交B4的延长线于点H.

(1)求证：△BECS^BC”；

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如图，在平面直角坐标系久0丫中，已知点4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3),抛物线y=ax2+©经过4、8两

点.

(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当NPBC="CB时，求点P的坐标；

(3)如果抛物线y=ax2+bx+c的顶点。位于△BOC内，求a的取值范围.

25.(本小题14分)

已知43是。。的一条弦，点C在。。上，联结CO并延长，交弦4B于点D,且CD=CB.

(1)如图1,如果B。平分N4BC,求证：AB=BC：

(2)如图2,如果40108,求40：DB的值；

(3)延长线段40交弦8c于点E,如果aEOB是等腰三角形，且。。的半径长等于2,求弦BC的长.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4水与理的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.F=3与避不是同类二次根式；

C.5=2避,与避被开方数相同，故是同类二次根式；

D8=3也与避被开方数不同，故不是同类二次根式.

故选：C.

根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可.

本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定

义判断解题是求解的关键.

2.【答案】B

【解析】解：妥+三=2，

x—1X2_2

设妥=y，则原方程可化为y-5=2,

方程两边都乘y,得产-1=2y,

即y2—2y—l=0.

故选：B.

设妥=%则原方程可化为y-"=2,整理后即可得出选项•

本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，

故选：B.

根据统计图的特点判定即可.

本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：设反比例函数解析式为y=5(kK0),

函数经过点(4,一2),

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=4x(-2)=-8.

・•・反比例函数解析式为y=-9

故选：C.

设反比例函数解析式为y=±(k手0),把点(4,-2)代入即可求得k的值.

本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4对角线相等的梯形是等腰梯形，故原命题是假命题；

2、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题是假命题；

C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题；；

。、对角线平分一组对角的梯形不一定是直角梯形，故原命题是假命题；

故选：C.

利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d,则当d=r时，点在圆上；当

d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内.

连接力。，根据勾股定理得到4。=5,根据圆与圆的位置关系得到5-3=2,由点B在O。外，于是得

到r<4,即可得到结论.

【解答】

解:连接2D,

•••ZC=4,CD=3,ZC=9O°,

AD=5,

•••Oa的半径长为3,OD与04相交,

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r>5—3=2,

BC=7,

•­•BD=4,

•••点B在O。外，

■,■r<4,

••.O。的半径长r的取值范围是2<r<4,

故选民

7.【答案】6a2b

【解析】解：2a-(3ab)=6a2b.

故答案为：6a2b.

根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的事分别相加，其余字母连同他的指数不

变，作为积的因式，计算即可.

本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键.

8.【答案】1

【解析】解：••"(>)=含，

2

•••八3)=匕=1，

故答案为：L

根据fO)=W，可以求得f(3)的值，本题得以解决.

本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答.

9.【答案】减小

【解析】解：函数y=kx(k力0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，

故答案为：减小.

根据正比例函数的性质进行解答即可.

此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k力0)的图象是一

条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该

直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小.

10.【答案】4

【解析】解：依题意，

"方程+m=。有两个相等的实数根，

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•••△=b2—4ac—(—4)2—4m=0,解得m=4,

故答案为：4.

一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=廿-4四=0,即可求机值.

此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=62—4ac=0时，方程有两个相等的实根，当

△=b2-4ac>,方程有两个不相等的实根，当△=炉一4ac<0时，方程无实数根.

11.【答案】,

【解析】解：,•・从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取1个数，取到的数恰好是3的倍数

有3,6,9,

•••取到的数恰好是3的倍数的概率是：

故答案为：

直接利用概率公式计算得出答案.

此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键.

12.【答案】y=(x+3)2

【解析】解：将抛物线y=N向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y=(x+3)2,

故答案为：y=(x+3)2.

根据“左加右减，上加下减”的规律解题.

主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

13.【答案】3570

【解析】解：8400x^=3570.

4UU

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3570.

故答案为：3570.

用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案.

本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键.

14.【答案】7

【解析】解：--BDIAB,ACLAB,

.■.BD//AC,

•••AACE^ABDE,

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AC_AE

・•,丽=而，

AC1.6-0.2

J—=0.2'

'.AC=7,

即井深AC为7米，

故答案为7.

首先证明得至4编=黑，将相关数值代入，求出/C即可.

DUDC

本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键.

15.【答案】2a+b

【解析】解：，;四边形ABCD是平行四边形，

•••AD=BC,AD//BC,AB=CD,4B//CD,

AD=BC=a,

CD=CA+AD=b+a,

BA=CD-b+a,

VBD=BX+AD,

BD—b+a+a—2a+b,

故答案为：22+6.

利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可.

本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

16.【答案】350

【解析】【分析】

本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌

握待定系数法求一次函数的解析式.

当8<tW20时，设5=心+6,将(8,960)、(20,1800)代入求得$=701+400,求出t=15时s的值，从而

得出答案.

【解答】

解：当8WtM20时，设$=kt+b,

将(8,960)、(20,1800)代入，得：

(8k+b=960

(20/c+b=1800'

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解得：^400)

.・.s=70t+400；

当力=15时，s=1450,

1800-1450=350,

当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米,

故答案为：350.

17.【答案】3邓

【解析】解：如图，过点E作EHLBC于

V=14,CD=6,

・•.BD=BC-CD=8,

AB=8=BD,Z-B=60°,

・•.△ABD是等边三角形，

Z.ADB=60°,

・••乙4DC=44DE=120。，

・•.Z,EDH=60°,

•・•EH1BC,

・•.Z.EHD=90°,

vDE=DC=6,

：.EH=DE-sin60°=3y/3,

到直线BD的距离为3道，

故答案为：34.

如图，过点E作EH1BC于".首先证明△力BD是等边三角形，解直角三角形求出即可.

本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.

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18.【答案】与＜20〈与

【解析】解：••・四边形ABCD是矩形，

.•"=48=12,AD=BC=16,NB=ND=90°,

AC=7AB2+BC2=20,

如图①，当圆与AD相切时，切点是M,

连接。M,

•••OM1AD,

CD1AD,

/.OM//CD,

・••△/OMs

OM：CD=AO：AC,

.-.4：12=AO：20,

•s••AO=20

如图②，

当圆与BC相切于N时，

同理证明：ACONs4CAB,

AOC：AC=ON：AB,

OC：20=4：12,

O“C=20

2040

•A••nAO=20——=—,

线段4。长的取值范围是与＜XO＜y.

故答案为:与＜2。〈与.

当圆与4。相切时，由△AOMs^ac。，推出。M：CD^AO：AC,求出4。=争当圆与BC相切时，由

△CONs&CAB,推出OC：AC=ON：AB,求出2。=冬即可得到线段40长的取值范围.

本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是当圆分别与4D和BC相切

时，由相似三角形的性质求出4。的长.

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'2x+1>x①

19.【答案】解：住1—2I②，

解不等式①得，x>—1；

解不等式②得，%<3；

所以不等式的解集为：—1〈无W3.

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出解集.

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握取解集的方法是解本题的关键.

20.【答案】解：原式=(43)*(/田,++3-祖

=4+-\/5+2—9+3—,\/5

=0.

【解析】先根据幕的乘方，分母有理化，负整数指数幕和绝对值进行计算，再根据实数的加减法法则进行

计算即可.

本题考查了分数指数嘉，分母有理化，负整数指数哥和实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算

法则进行计算是解此题的关键.

21.【答案】解：(1)如图，过点C作CE14B于点E,

AB//DC,/.DAB=90°,

四边形ADCE为矩形，

•••CE=AD,AE=DC=10,

■.■AB=16,

•••BE=AB-AE=16-10=6,

由勾股定理得：CE=^BC2—BE2=12,

■.梯形48C0的面积为:(10+16)x12=156；

(2)如图，连接BD,过点C作CH1BD于点”，

贝此=4DAB=90。，

在RtZkABD中，AD=12,AB=16,

则BD=yjAB2+AB2=20,

■■■AB//DC,

：./.CDH=/.DBA,

•••△CHDs4DAB,

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，史=生，即生=竺，

ADBD11220

解得：CH=6,

由勾股定理得：BH=^BC2-CH2=12,

,-+.tanzDBC^—CH=-6=1

【解析】(1)过点c作CE14B于点E,根据勾股定理求出CE,再根据梯形的面积公式计算，得到答案；

(2)连接BD,过点C作C//1BD于点”，根据勾股定理求出BD,证明△C/WsafMB,根据相似三角形的

性质求出CH,根据勾股定理求出B",再根据正切的定义计算即可.

本题考查的是梯形的性质、相似三角形的判定和性质、正切的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定

理是解题的关键.

22.【答案】5.5

【解析】解：任务一：两次测量，A,B之间的距离的平均值是(54+5.6)+2=11+2=5.5(爪).

故答案为：5.5；

任务二：设EG=汽771,

在中，^GDE=31°f乙DEC=90。,

tan31°=思,

在RtZkCEG中，Z_GCE=25.7。，乙CEG=90。,

FG

•・,tan25.7°=—,

CE

•r/7-x

"M-toi25.7”

CD=AB=5.5,CD=CE-DE,

.X_x

"tan25.7°-tan31°—‘心’

•••x=13.2,

・•.GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7,

即旗杆GH的高度约为14.7米.

任务三：原因可能是没有太阳光，或旗杆底部不可能达到.

任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案;

任务二：设EC=XM,解直角三角形即可得到结论；

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任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等(答案不唯一).

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解

题的关键.

23.【答案】⑴证明：•・・四边形A8CD是菱形，

CD=CB,乙D=,CD//AB,

DP—BE,

••.△CDF义CBE(SAS),

/.z.DCF=乙BCE,

•・•CD//BH,

・,•乙H=(DCF,

•••Z-BCE=Z-H,

Z-B=Z-B,

•••△BECsABCH.

(2)证明：vBE2=AB-AE,

BE_AE

"'AB~丽’

-AG//BC,

AE_AG

"'BE~~BC"

BE_AG

~AB=~BC9

vDF=BE,BC=AB,

BE=AG=DF,

BP/1G=DF.

【解析】本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

(1)想办法证明NBCE=即可解决问题.

(2)利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可.

24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(久一3)(久+1).

将点C的坐标(0,3)代入得：—3a=3,解得：a=—L

抛物线的解析式为y=-/+2%+3；

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(2)如图1,设PB交y轴于点E,

•・・C(0,3),8(3,0),

OB=OC=3,

•・•“。8=90。，

・・・4。。8=乙。8。=45。，

又•••乙ACB=乙PCB,

工乙ACB一乙OCB=乙PBC一乙OBC,^^OCA=乙PBO,

tanZ.OCA=tanZ.PBO,即空=段，

L/CUD

,1_OF

"3-

0E=1,

•・•点p在第三象限，

.'.£(0-1),

设PB的解析式为：y=k%+b(kH0),

把以0,-1)和8(3,0)代入得：［sk+b=O^

7c=」

解得：,3

b=—1

•・.PB的解析式为：y=|x-l,

,3

4

(y=-x2o+2%+3_ox=--

则丫=卜_1，解得：糊力或刈2=_1

.3I,/9

(3)v抛物线y=ax2+bx+c经过4、8两点,

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・•・对称轴是：直线x=T=l,

•••B(3,0)、C(0,3),

同理得2C的解析式为：y=—x+3,

当x=1.时，y=2,

当顶点D(l,2)时，设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),

把顶点。(1,2)代入得：a=-j,

•••抛物线y=ax2+bx+c的顶点D位于△BOC内，a的取值范围是-方<a<0.

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+l),将点C的坐标代入求得a的值，可得抛物线的解析

式；

(2)先根据点B和C的坐标证明△OCB是等腰直角三角形，得NOBC=NOCB=45。，根据等式的性质得：

乙OAC="BO,利用三角函数列式可得。E的长，利用待定系数法求PB的解析式，联立抛物线和直线PB的

解析式组成方程组可得点P的坐标即可；

(3)先确定抛物线的对称轴，计算边界点。的坐标和对应a的值，根据图形可知：符合条件的a一定是负数，

从而得解.

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析

式，三角函数，对称的性质，二次函数的性质等知识，熟知利用方程组的解确定两函数的交点坐标是本题

的关键.

25.【答案】(1)证明：如图1中，

C

••Z.ABO=Z.CBO,

OB=0A=0C,

Z.A=Z.ABO,Z.C=Z.OBC,

•••Z-A=zC,

第17页，共20页

OB=OB,

.*.△OBA^AOBC(AAS^

•••AB=BC.

(2)解：如图2中，作DM10