2024年高考数学模拟试题（七）（新高考Ⅰ卷含答案解析）

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

若集合x

1.M={x|log3x<2},2V={x|l<2<4},则MuN=()

A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<9}

C.{xlx<9}D.{x|0<x<9}

2.已知复数z满足z（2-i）=4,则ZN=

16488048

A.——B.—C.D.——

525~99

3.在平行四边形/BCD中，EB=2AE,BF=FC,记焉=,，诟=B,则定=（

2-11

A.—a——bB.-a+-b

3232

1-1f

C.—a+—bD.%+为

3223

4.2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随

机抽取两名学生参加接待外宾活动.若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是

高二或高一学生的概率为（）

A.3123

B.-C.一D.一

AD.--------C.V2D.2

-I2

6.已知点尸为抛物线C:r=4x上的动点，A,2为圆/:。-2）2+/=1上的两个动点，则

cosN4PB的最小值为（）

13

AB.——C.D.-

-4224

7.设c=tan-,贝(]()

3333

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

试卷第1页，共4页

8.已知cos(2a+2/7)=sin(a-/7)=j则cosasinA=()

1C.一［或7D.；或J

AB.-

-462626

二、多选题

9.已知正方体力BCD-4片G。，则下列说法中正确的是()

A.直线48与4c所成的角为60°

B.直线为8与82所成的角为30°

C.直线48与平面/CQ所成角为90°

D.直线与平面43。所成角为60°

10.设尸为抛物线C:/=2/5>0)的焦点，点/(3,26)在C上，过点8(-3,0)的直线交C

于M,N两点，则下列说法中正确的是()

A.抛物线C的方程为/=2xB.抛物线。的焦点为(1,0)

C.直线N5与C不相切D.|OMHON|>|E4|2

11.已知函数/(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若-x),g(2+x)均

为奇函数，则下列说法中正确的是()

A./(0)=0B.g(0)=0

C.g(2)=g(4)D./(1)=/(-2)

三、填空题

12.某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175,5),随机选择一名

本市高三年级的同学，则P(X<170)+尸(175<X<180)=.

13.已知直线y=foc+6(左<0)与圆C］：x2+y2=4和圆C2：(x-6)2+/=4均相切，则

k=,b=.

14.已知与，耳为椭圆C:三+亡=1的两个焦点，过原点的直线交椭圆C于尸，0两点，且

试卷第2页，共4页

|尸。|=6,则△30的内切圆半径为.

四、解答题

15.设S“为等差数列｛(｝的前〃项和，且4=4,1=50,数列｛b,,｝满足a=4,bn+l=4*”eN*.

⑴求｛%｝和｛2｝的通项公式；

(2)若将数列｛%｝和也｝的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列匕｝,求数列匕｝的前

n项和T„.

16.在平面直角坐标系xQy中，斜率为左的直线/经过抛物线£:必=2/(〃>0)的焦点R

且与抛物线£相交于4,3两点，直线。交抛物线E的准线于点C.

(1)当人=-1,|/切=8时，求抛物线E的方程；

(2)当抛物线E的准线为x=-l时，证明：直线/C//x轴.

17.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AB〃DC,NBAD=NBCF=60°,人万，平面

A8C2N是3C的中点，E是/。的中点，△BCF的面积为3百，四棱锥b-/BCD的体积

为8收

(1)求证：4D_L平面9W;

(2)若尸是线段上一动点，当二面角C-E尸-尸的大小为90。时，求胃的值.

18.电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远

程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗

迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情

况，某校进行了一次抽样调查.若被调查的男女生人数均为20"("eN*),统计得到以下列

联表.经过计算，依据小概率值a=0.025的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了

解与性别有关，但依据小概率值a=0.01的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解

与性别无关.

试卷第3页，共4页

性别不了解了解合计

女生10〃

男生5n

合计

⑴求”的值;

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了

解的人数为X,求X的分布列及数学期望.

(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已

知全校参加本次竞赛的学生分数〃近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足

〃-+则该同学被评为“反诈标兵”;若">〃+2b,则该同学被评为“反诈达人”.

(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”;

(ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数.(四

舍五入后取整)

n(ad-be)2,

附：Z2----：-----------------—，其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

若X〜则

P("-cr<x<jU+cy)=0.6827,P"-2(T<%<//+2r)=0.9545,尸(〃-3cr<x<//+3cr)=0.9973.

19.已知函数/(x)=lnS+x)+q(x-1)抗，曲线/⑸在点(L/⑴)处的切线平行于直线

2x-y=0.

(1)当4=1时，求6的值；

(2)当6=0时,若"X)在区间(0,1),(1,+8)各内有一个零点，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】先化简集合〃,N,再根据集合的并集运算求解.

【详解】由题意得Af={x[0<x<9},N={x|0<x〈2},则MUN={x|0«x<9}.

故选：B.

2.A

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数即可求出Z,由共钝复数的定义求出亍，再由复

数的乘法运算求解即可.

【详解】由题意得2=彳土=空>=9+9],

2-1555

匚匕I、I

所以z-二8二4不.，

故选：A.

3.B

【分析】由向量的线性运算，用刀，而表示正

___k2_kki___

【详解】因为EB=2AE,BF=FC,则有E8=3力=,8C=,40,

故选：B.

4.A

【分析】记事件/为“若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学

生“，再由古典概率公式求解即可.

【详解】记事件/为“若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学

生”,

C；C；9_3

则事件/的概率为尸(/)=

C；+C；C；n~4

故选：A.

答案第1页，共16页

5.D

【分析】求出双曲线的渐近线，根据右焦点到渐近线的距离，结合双曲线。力,c的关系即可

求出双曲线的离心率.

【详解】根据双曲线的几何性质可知，右焦点尸（。,0）,

其到渐近线bx±ay=Q的距离为=b=—c

ylb2+a22

因为所以e=£

故选：D.

6.C

【分析】根据题意要使cos44尸3最小，则当//尸5最大时，此时尸4尸2与圆M相切，则

ZAPB=2ZAPM,禾I」用二倍角公式判断|W|最小时cosNZPB最小，再设尸［了,。），利用

距离公式，结合二次函数最值的求法求得I尸"I最小值，即得结果.

【详解】因为0＜乙4尸3＜兀，要使cos44尸8最小，

则当N4P3最大时，此时尸4抬与圆W相切，则=

所以cosNAPB=cos22ApM=1-2sin2ZAPM,

要求cosNN外的最小值，则需sin//H/=铝*=二/最大，即需1PMi最小.

|PM||PM|

设P则1PM=

所以当。=0时，|尸M%n=2,此时sin//PM=由目=5

即cosZAPB的最小值为l-2x

答案第2页，共16页

故选：c.

7.D

【分析】由sina<a<tana,可证—>1,得结论.

a

【详解】先证明：当时，sina<a<tana.

如图，角。终边为OP其中点?为角。的终边与单位圆的交点，尸“，％轴，交x轴于点

M,

4点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角a终边于点T,

则有向线段为角a的正弦线，有向线段4T为角。的正切线,

设弧PA长/=axl=a，

由图形可知：S40Ap<S扇形。4尸<S^OAT，^-xOAxMP<-xOAxl<-xOAxAT,

222

所以‘义O/xsina<LxCMxa<04xtana,即sina<a<tana.

222

则sin、<tanL,所以6<c.

33

而2=3tanL>3x、=l,所以人。

a33

所以。>6〉〃.

故选：D.

8.C

121

【分析】由cos(2a+20=,利用倍角公式求得sin(a+尸)=±§,又由sin(a-尸)=],利用

两角和与差的正弦公式展开，两式相减可得结论.

【详解】因为cos(2a+2/?)=cos2(a+夕)=1一2sin2(a+/3)=—,

22

所以sin(a+/7)=±—,即sinacosP+cosasin/3-±—.

答案第3页，共16页

因为sin(a-")=sinacos-cosasin=-,

两式相减得COSasin£=，或

62

故选：C.

9.AC

【分析】对于A：可证4C〃4。，可知异面直线4?与BC所成的角是NA4Q,在ABAD

中分析求解即可；对于B：可证在人48口中分析求解即可；对于C：可证42,

与平面/可。。，即可得结果；对于D：直线平面即可得直线与平面A8C所

成角，分析求解即可.

【详解】对于选项A：在正方体中，因为44与平行且相等，

可知四边形44co为平行四边形，则B。//AD,

t

所以异面直线48与8。所成的角是N84。，

因为AB/Q是正三角形，所以/24。=60°,故A正确；

对于选项B：因为4DJ平面48月4，48u平面4844，则42,4台.

在A4B2中，则4牛=1,45=夜,5、=唐,

所以直线4B与BD,所成角的正弦值为sinAAXBDX=条=g,故B错误;

BD,3

答案第4页，共16页

对于选项C：因为平面/G。即为平面/4CQ,

由43,4。〃/。，可得

由ABBXAX为正方形可得AXB±ABX,

因为/。口/耳=/,40,/4(=平面48©。，可知48,与平面/AG。，

所以直线4B与平面ZG。所成角为90。，故C正确；

对于选项D：因为42,平面N844，/耳u平面则40；4，

且/田,/用，AiDl^AxB=Ai,44,43u平面43Cn,

可知Ng_L与平面&BCD[,由BD]u与平面4BCD],可得

同理可得：BD}±AC,

且4耳口/。=/,N4,NCu平面可得直线平面/4C,

设直线3。与平面43c相交于点O,AXB^ABX=M,

所以直线4B与平面AB.C所成的角为ZBMO,为幺吗的余角，

苗1

贝|JcosZBMO=sinZAlBDl='片,，

所以直线4?与平面所成角不为60。，故D错误.

答案第5页，共16页

故选：AC.

10.BD

【分析】根据抛物线过点43,2g)代入可求出抛物线。的方程和焦点坐标可判断A、B；直

线与抛物线联立，利用判别式等于0判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和

两点间的距离公式分别求出然后利用重要不等式，再比较大小即可

【详解】因为点N(3,2g)在抛物线C：/=2px(p>0)上，

所以12=2px3,解得p=2,

所以抛物线C的方程为V=4x,焦点坐标为(1,0),故A错误，B正确.

可求得直线/B:y=[(x+3),又直线与对称轴不平行，

由,广行5+3),得/_4向，+]2=0,

=4x

所以A=(4追『-4x12=0,故C错误.

设过点2的直线方程为歹=后卜+3),与抛物线在第一象限交于M(XQJ,N(X2，%)两点，

y=左。+3）,

联立

/=4x,

消去》并整理可得入2+(6/一4卜+9左2=0,

4—6k2

贝!]x}+x2=,=9,

2222

所以必％=卜2（玉+3）（工+3）=kxxx2+3左（西+x2）+9k=12,

所以IOAfI-ION|=Jv；+M2,《x；+y；2J2X]必•J2/%-2“I%2%%=126>|FA|2=16,故D

正确.

答案第6页，共16页

故选：BD.

【分析】利用，(1-尤)是定义域为R的奇函数，进而可得-x)=/(x+2),求导可得，结

合g(2+x)为奇函数，计算可判断B；进可可得函数g(x)的周期为4,计算可判断C；的

图象关于点(1,0)成中心对称，取/(x)=-cos巨可判断AD.

【详解】因为〃1-尤)是定义域为R的奇函数，

所以/(I-x)=-〃l+x),

即一〃r)=/(x+2),

所以「/(-X)了=((x+2),

即八-x)=/(x+2),

所以g(-x)=g(x+2).

又因为g(2+x)为奇函数，

所以g(2+x)=-g(2-x),

当x=0时，名⑵一名⑵二名⑼，

即g(2)=0,g(0)=0,所以选项B正确.

又因为g(-x)=g(x+2),

所以g(x)=g(-x+2)=-g(2+x),

即函数gS)的周期为4,所以g(4)=g(0)=0.

因为g(2)=0,所以g(2)=g(4),

所以选项C正确.

由/(1-x)为奇函数可知/(l-x)=-/(l+x),

即的图象关于点(1,0)成中心对称，

不妨取〃x)=2cos(x=2)",

712

答案第7页，共16页

则g(x)=-sin在产满足周期为4,关于(2,0)成中心对称的条件，

22

因为〃0)=--,/(1)=0,/(-2)=-,可知选项A,D错误.

兀71

故选：BC.

【点睛】方法点睛：抽象函数的考查，注意合理运用题中的条件，如本题中，由函数为奇函

数，可得函数的对称中心，判断结论不成立，可举反例，是一种有效的方法.

12.0.5

【分析】利用正态分布的性质可计算P(X4170)+尸(175WX<180)的值.

【详解】由题意得，P(X<170)=P(X>180),

所以尸(X<17O)+P(175<X<180)=P(X>180)+P(175<X<180)=0.5.

故答案为：0.5.

,,275675

1J•

55

囚\6k+b\

【分析】由直线V=6+6(左<0)与圆G，Cz都相切可得)『=JTT=2,解方程即可得

出答案.

【详解】由条件得圆£的圆心£(0,0),半径。=2,圆C2的圆心。2(6,0),半径马=2,

因为直线>=辰+6(左<0)与圆C1C都相切，

痂〃，向一2〃-取+6]

故％—I------~―r-----——*，

回也

贝“衍一

故〃=(6左+6)2,整理得©3左+6)=0.

因为左<0,所以3左+6=0,即6=-3左，

代入4=m=2,解得左=-手，贝4方=吁.

故答案为：一巫；述.

55

14.1

【分析】由题意可得知四边形尸鸟。耳为矩形，设|尸耳|=加,闺。|=〃，可得恸=14,再由

}(|尸团+山。|+-0|)=月期2=；加〃结合椭圆的定义，代入解方程即可得出答案.

答案第8页，共16页

【详解】因为椭圆C:三+以=1,所以。=4,c=3,

167

连接。耳,咫,"，由椭圆的对称性知，

PFJ/F2Q,PF2HFXQ.

又I尸。|=6=阳用，所以四边形尸耳洒为矩形.

设|尸耳|=肛|耳。|=〃,

m+n=2a=^,

则/+〃2=心36,得到w"

设△3。的内切圆半径为心圆心为/,

所以SAPF]Q=SAPFJ+S△/耳。+SAP©=;附“+*G”+*尸上

则》（卢国+W0+忸。1）=邑郎。=3加〃,

因为归周司耳。I，|尸°卜6=闺段,所以|尸周+|耳Q|+|PQ|=|「骂［+|尸阊+阳闾,

即rx(8+6)=14,解得r=l.

故答案为：1.

15.⑴%=3〃+1,4=4〃；

4〃+1-4

⑵小二一

【分析】（1）运用等差数列的求和公式和它们的通项公式，就可求出结果；

（2）关键在于证明数列作“｝中的任意一项，都在数列｛%｝中存在公共项，这里用到了二项

式定理进行证明，从而利用等比数列求和公式就可以得到结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,

4—4,

由题意得，,5x4解得d=3,

5%H——-d—50,

答案第9页，共16页

所以由等差数列的通项公式可得：a„=a1+(«-lX=4+(«-l)3=3/7+l.

由。=4/0,bn+i=他得数列佃,｝是首项为4,公比为4的等比数列，

所以由等比数列的通项公式可得：b„=刖7=4x4"T=4"

(2)令则可得34+1=平，

所以〃二芈一1(3+1产一1_C；3"2+C13"与+-+C；；「3+C：；-1

「3一3一3

即对于数列｛b„｝中的任意一项，都在数列｛%｝中存在公共项，

所以数列｛2｝是数列｛%,｝的子数列，从而可得J=4",

所以

"1-43

16.(1)/=4x；

(2)证明见解析

【分析】(1)设直线/：/=-+告与抛物线联立由焦点弦长公式求出。=2即可；

44

(2)设直线08的方程为＞=一％,得外二一一,设直线/的方程为％二磔+1,与抛物线

%歹2

联立由韦达定理得外=%即可证明.

【详解】(1)由题意设直线/:夕=-工+々,4(再,必)净(%2，%)，

_p

底+=_'+7

联乂j2,

y2=2px

则x2-3px+^~=0,

所以再+%=3p,|AB|二再+/+P=4p=8,

解得P=2,

即抛物线E的方程为V=4x.

(2)由题意得，抛物线E的方程为/=4x,

答案第10页，共16页

y4

设直线。8的方程为y=9%,

%2歹2

4

令x=-1,可得生=---，

%

设直线I的方程为％=叩+1，

代入方程/=4x得/一4叼一4=0,

4

所以必外=-4,所以>c=---=%，

>2

所以直线NC//x轴.

17.（1）证明见解析;

（八里总

（，）AB60

【分析】（1）根据题意，可得△3CF是等边三角形，求出3C=26,过点。作。交

AB于点M,可得四边形为平行四边形，可求得/"=2,八4=4,结合四棱锥

尸-/BCD的体积为8力，求得。N,/N利用勾股定理证明进而证明平面

DFN-,

（2）建立空间直角坐标系，求出平面CE77和平面PE户的一个法向量，利用向量法求出点尸

的坐标得解.

【详解】（1）因为平面48cD,所以WBC.

因为N是3C的中点，所以CN=BN,椒CF=BF.

又因为48CF=60。，所以△3CF是等边三角形.

因为△8CF的面积为3百，所以BC=CF=FB=25NF=3.

如图1,过点。作交NB于点四边形/BCD是直角梯形，

旦ABUCD,NBAD=60。，则。C〃,

答案第11页，共16页

故四边形BCDM为平行四边形.

因止匕DM=26,ADMA=90°.

又/B4D=60°,因此NM=2,ZM=4.

因为四棱锥尸-4BCD的体积为8百，

所以8V^=；xg(OC+OC+2)x2^x3,

解得。。=3,/2=5.

连接DN,在Rt^DCN中，DN=243.

连接MV,在Rt448N中，AN=2币.

因为/。2+0解=/解，

则ADVDN.

因为册_L平面/BCD,所以八H_L4D,

而DNCNF=N,DNu平面DFN,NFu平面DFN,

所以J_平面V.

(2)以N为坐标原点，赤，丽，而分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则F(0,0,3),A(5,>/3,0),5(0,50),叫(4,0,0),C(0,-"0).

因为P是线段N8上一动点，

答案第12页，共16页

所以设尸的百,0),其中0V上W5.

故而=(-4,0,3),CE=(4,V3,0),FP=(k,73,-3).

设平面。石尸的一个法向量〃=(%//),

n-EF=-4x+3z=0厂

则〈一L,令x=3,得夕=^^，z=4

ri-CE=4x+y/3y=0

所以［=(3,—46,4).

设平面尸石尸的一个法向量加二(4,6,c),

m•EF=-4a+3c=0

则有＜令a=3,得b=46-瓜c=4f

mFP=ka+43b-3c=0

可取薪=(3,4«-限,4).

因为二面角C-EF-尸的大小为90。,

所以/正=0,即9-4®4XQ-瓜)+16=0,解得左=||,即6,0

因为/(5,6,0),8(0,6,0)，

所以必=空

AB60

18.⑴〃=2；

⑵分布列见解析，3.75；

(3)(i)能；(ii)2198人.

【分析】(1)根据被调查的男女生人数均为20〃(〃eN*),完成列联表，代入/公式计算，

8〃

得出结果解不等式5.0244可＜6.635即可.

(2)由已知X〜根据二项分布得出X的分布列和数学期望；

(3)(i)根据全校参加本次竞赛的学生分数〃近似服从正态分布N(80,25),求出"=80。=5,

即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；(ii)设全校参与本次竞赛的人数为"，

根据正态分布求出“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数.

【详解】(1)由已知，完成列联表，

答案第13页，共16页

性别不了解了解合计

女生10〃10〃20〃

男生5n15〃20〃

合计15〃25〃40〃

40〃x(150/-50〃2)2加

20〃x20〃x25〃xl5〃3

根据条件，可得5.0246.635,解得1.884（〃<2.488,

因为〃EN*,所以〃=2.

3

（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是:,

4

用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，

对“反诈”知识了解的概率为：，则X〜

15

W24

9045

1024512

j_270_135

尸(X=3)=C；

1-1024-512

405

W24

243

1024

则X的分布列为

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

答案第14页，共16页

315

所以E(X)=5X9=下=3.75.

44

(3)(i)〃=80,。=5,