2024年九年级中考数学复习：四边形综合=专项巩固复习(三)

九年级中考数学复习专题-【四边形综合】

专项巩固复习（三）

选择题

1.正方形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线互相垂直

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,若NA0B=60°,BD=6,则AB的长为

（）

3C.6D.2./3

3.如图，在MBCD中，AE平分NBAD,交CD边于E,AD=6,EC=4,则AB的长为（）

A.1B.6C.10D.12

4.如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.若AC^BD,则四

C.菱形D.正方形

5.如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE

的对称点为F,若NDFC=90°,则EF的长为（）

A__ED

0

Bc

A.yB.-2C.2—D.7—-

3510

6.如图,在矩形ABCD中,AE，BD于点E,若NBAE=30°,则tanNDEC的值为（）

;D

产----------—

AVsRV3r101

A.D

232

7.如图，在矩形ABCD中,点A的坐标是（1,0）,点C的坐标是（-2,4）,则BD的长

是（）

4-

A.^/17B.5C.373D.4^2

8.某款正方形地砖如图所示，其中AE=BF=CG=DH,且NAFQ=NBGM=NCHN=ZDEP=

lS1M2

45。，若四边形MNPQ的面积为S,四边形AFQE面积为S,当AF=5V2,且彳二石一时,

12£

AE的长为（）

AE_________D

BGC

A.272B.3C.4D.3>/2

9.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一

副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平

行四边形或矩形,则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）

10.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时，其形状也

会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC，D，.若ND，

AB=30°,则菱形ABC，1的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A.1B.—C.亚D.返

222

11.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=8cm.把纸片ABCD交叉

叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合.当两张纸片交叉所

成的角a最小时，sina等于（）

12.如图，已知AB=8,P为线段AB上的一个动点，分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形

APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上，ZDAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE

的中点.当点P在线段AB上移动时，点M,N之间的距离最短为（）

A.遍B.C.4D.3

填空题

13.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则NACB=度.

14.把nABCD放入平面直角坐标系中，若对角线的交点为原点，且A(3,-2),则点C的

坐标为.

15.平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26,边AD与BC之间的距离为8,则AB与

CD间的距离为.

16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=4,ZB=60°,E是BC的中点，EF±

AB于点F,则ADEF的面积为平方单位.

17.如图，在平行四边形ABCD中，ZB=60",AB=6,BC=4,点E为边AB上的一个动点,

连接ED并延长至点F,使得DE=2DF,以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC,连接EG,

则EG的最小值为.

18.如图，在矩形ABCD中，BC=6,cosNCAB=4菖,P为对角线AC上一动点，过线段BP上

的点M作EF±BP,交AB边于点E,交BC边于点F,点N为线段EF的中点.若四边形BEPF

的面积为18,则线段BN的最大值为

三.解答题

19.如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE,连接BG,DE.

(1)求证：BG=DE；

(2)连接BD,若CG〃BD,BG=BD,求NBDE的度数.

20.综合与实践

(1)问题发现：正方形ABCD和等腰直角4EBF按如图1所示的方式放置，点F在AB上,

连接AE,CF,则AE,CF的数量与位置关系为；

(2)类比探究：如图2,正方形ABCD保持固定，等腰直角4EBF绕点B顺时针旋转，旋

转角为a(0VaW360。)，请问(1)中的结论还成立吗？说明你的理由；

(3)拓展延伸：在(2)的条件下，若AB=2BF=4,在等腰直角4EBF的旋转过程中，

当CF为最大值时，请直接写出DE的长.

EB

21.如图，正方形ABCD中，AB=x/5,在边CD的右侧作等腰三角形DCE,使DC=DE,记N

CDE为a(00<a<90°),连接AE,过点D作DG^AE,垂足为G,交EC的延长线于

点F,连接AF.

(1)求NDEA的大小(用a的代数式表示)；

(2)求证：4AEF为等腰直角三角形；

(3)当CF=近时，求点E到CD的距离.

22.在数学的学习中，有很多典型的基本图形.

(1)如图①，ZiABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线I经过点A,BD,直线I,CE,直

线I,垂足分别为D、E.试说明4ABD之aCAE：

(2)如图②，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D、A、F在同一条直线上，BD±DF,

AD=3,BD=4.则菱形AEFC面积为；

(3)如图③，分别以Rt^ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG,连接

EG,AH是aABC的高，延长HA交EG于点I,若AB=6,AC=8,求Al的长度.

23.我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置

关系和数量关系提供帮助.

重温定理，识别图形

(1)如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延

长DE到点F,使EF=DE,连接CF"，此时DE与DF在同一直线上且DE=》F,又可证

图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是,于是推导出了“DE

〃BC,DE=”BC”.

寻找图形，完成证明

(2)如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，4BEH是等腰直角三角形，ZEBH

=90°,连接CF、CH.求证CF=、/品E.

构造图形，解决问题

(3)如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，ZABC=ZAEF=12O°,连接BE、

CF.直接写出CF与BE的数量关系.

③

参考答案

选择题

1.解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角

线相等，互相平分，

所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直.

故选:D.

2.解：••.四边形ABCD是矩形，

.'.0A=—AC,0B=-^-BD=3,AC=BD=6,

22

.'.OA=OB,

ZAOB=6O°,

「.△AOB是等边三角形，

AB=0B=3,

故选：B.

3.解：,・"四边形ABCD是平行四边形，

/.BA/^CD,AB=CD,

ZDEA=ZEAB,

・・・AE平分NDAB,

ZDAE=ZEAB,

/.ZDAE=ZDEA,

.*.DE=AD=6,

CD=CE+DE=6+4=10,

AB=CD=10.

故选：C.

4.解：•・•点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,

・・.EF是aABC的中位线，GH是4ACD的中位线，FG是4BCD的中位线，EH是4ABD的中

位线，

/.EF//AC,GH〃AC,FG//BD,EH〃BD,

・・・EF〃GH,FG〃EH,

二四边形EFGH是平行四边形，

又,「AC_LBD,

.,.EF±FG,

ZEFG=90°,

四边形EFGH是矩形；

故选：B.

5.解：如图，延长EF交CD于M,连接BM,

•.•四边形ABCD是正方形，

.,.AB=BC,ZA=ZBCD=90°,

...将4ABE沿直线BE对折得到aBEF,

.­.ZBFE=ZBFM=90°,AB=BF=BC

在RtABFM与RtABCM中，

[BF=BC

IBM=BM,

.'.RtABFM^RtABCM(HL),

/.MF=MC,

.\ZMFC=ZMCF,

ZMFG4-ZDFM=90°,ZMCF+ZFDM=90°,

/.ZMFD=ZMDF,

・・.MD=MF=MC,

,「正方形ABCD的边长为2,

,-.MF=MC=DM=1,

设AE=EF=x,

'.'DE2+DM2=EM2,

BP(2-X)2+12=(x+1)2,

2

解得：x号.

故选：B.

6.解：过点C作CF_LBD于点F,设CD=2,

在4ABE与4CDF中，

rZAEB=ZCFD

，ZABE=ZCDF,

,AB=CD

.­.△ABE^ACDF(AAS),

.-.AE=CF,BE=FD,

,/ZBAE=30",

.■,AE=CF=73,BE=FD=1,

,/ZBAE=ZADB=30°,

/.BD=2AB=4,

.1.EF=4-2X1=2,

•Man々EC喘考,

7.解：连接AC,如图：

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.BD=AC,

・・・点A的坐标是(1,0),点C的坐标是(-2,4),

■,-AC=V(-2-l)2+(4-0)2=5>

BD=AC=5,

故选：B.

■.•四边形ABCD是正方形，

ZA=ZB=90°,AB=AD=BC,

■.■AE=BF=CG=DH,

.-.AF=BG,

.,.△AEF^ABFG(SAS),

.1.EF=FG,ZAFE=ZBGF,

ZBGF+ZBFG=90°,

ZAFE+ZBFG=90°,

/.ZEFG=90",

ZEFQ4-ZGFM=9O°,

,/ZDEP=45",

ZAEQ=135°,

,/zA+zAECh-ZAF(kZEQF=360°,

/.ZEQF=90°,

同理NFMG=NHNG=NEPH=9O°,

/.ZPQF=ZQMG=ZMNP=9O°,

四边形QPNM是矩形，

；NMF"/MGF=90°,

ZEFQ=ZFGM,

又・・・EF=FG,ZEQF=ZFMG=90°,

/.△EQF^AFMG(AAS),

/.FQ=MG,EQ=FM,

同理可证：EQ=HP=NG,FQ=EP=NH,

.・.EQ=HP=NG=FM,FQ=EP=MG=NH,

.'.MQ=MN,

J四边形QPNM是正方形，

如图，过点Q作QK^AF于K,过点E作ERLKQ于R,

ZAFQ=ZDEP=45°,

/.ZAFQ=ZKQF=ZREQ=ZRQE=45°,

/.KF=KQ,ER=RQ,

'.■QK±AF,ER±KQ,ZA=90°,

・・.四边形AKRE是矩形，

,,.AK=ER=QR,AE=KR,

0."AF=5V2,

.,.AK+KF=5亚，

・・•四边形AFQE面积为S2=^KF2WXAKX(KF-AK+KF)=-^KF2+AK*KF-^AK2=10>/3(F

-KF2-25,

四边形MNPQ的面积为S|=MQ2=(FQ-FM)2=(扬F—6AK)2=8KF2+100—40&KF,

..£1=32

,s2-4r

,8防2-40泥郎+100二32

lCh/2KF-KF2-25415

.-.KF(不合题意舍去)，KF=N2,

11822

.■.AK=^^,

2

.­.AE=KR=平-乎=2五,

故选:A.

9.解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

用中国的七巧板拼

日本七巧板的拼法

故选:D.

10.解：根据题意可知菱形ABC，D，的高等于AB的一半，

菱形ABC'D，的面积为正方形ABCD的面积为AB。.

菱形ABC'D，的面积与正方形ABCD的面积之比是高.

故选：B.

11.解：如图，..・四边形ABCD和四边形EFGH是矩开九

ZADC=ZHDF=90°,CD=AB=2cm,

.'.ZCDM=ZNDH,且CD=DH,zH=ZC=90°,

/.△CDM^AHDN(ASA),

・・.MD=ND,且四边形DNKM是平行四边形，

二四边形DNKM是菱形，

.*.KM=MD,

■「sina=sinZDMC=-^p-,

MD

当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，

设MD=KM=acm,贝l]CM=8-a(cm),

■/MD2=CD2+MC2,

.'.a2=4+(8-a)2，

-.a=­1r7(cm、),

4

2

rn♦0

.'.sina=sinZDMC="-=17

MD--17

.「四边形APCD,四边形PBFE是菱形，ZDAP=60°,

/.ZAPC=120°,ZEPB=60°,

VM,N分别是对角线AC,BE的中点，

ZCPM-ZAPC=6O°,zEPN=-i-ZEPB=30°,

/.ZMPN=60°+30°=90°,

设PA=2a,贝l]PB=8-2a,PM=a,PN=g(4-a),

MN=Ja2+[«(4-a)]2=j472-24a+48=j4(a-3)2+i2,

.•.a=3时，MN有最小值，最小值为2y”，

故选：B.

填空题(共6小题)

13.解：由图可知：形成的最中间的图形为正六边形，

・•.正六边形的外角和为360°,

ZACB=36O-4-6=60°.

故答案为60.

14.解：••・平行四边形是中心对称图形,

所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称,

,/A(3,-2),

.,.C(-3,2).

故答案为：(-3,2).

15.解：如图，过点A作AELBC于点E、AF^CD于点F.

■."AB=12,BC=26,AE=8,

.,.26X8=12XAF,

R1?

即AB与CD间的距离为壁.

故答案是：等.

16.解：在平行四边形ABCD中,AB〃CD,

/.ZB=ZECG,

YE为BC的中点，

.,.BE=CE=-^-BC=-i-X4=2,

在4BEF和4CEG中，

"NB=ZECG

<BE=CE,

kZBEF=ZCEG

.■,△BEF^ACEG(ASA),

.-.BF=CG,

ZB=60°,

ZFEB=30°,

.-.BF=^BE=1,

EFS

・••平行四边形ABCD的对边CD=AB=3,

「.DG=CD+CG=3+1=4,

'/EF±AB,AB//CD,

.\DG±FG,

.•.S△际/F.DG吾X狙X4=2Vi

故答案为：2日.

17.解：作CH_LAB于点H,

•.,在。ABCD中，ZB=60°,BC=4,

，CH=2代，

■.,四边形ECGF是平行四边形，

.■.EF〃CG,

.'.△EOD^AGOC,

.EO=ED

■'GO-GC'

,.■DE=2DF,

.-.DF=^DE,

2'

,DE=2_

"W~3,

,DE=_2

"CG~3'

''OG"S''

・••当EO取得最小值时，EG即可取得最小值,

当EOLCD时,E0取得最小值，

，CH=EO,

；.E0=2畲,

；.G0=3\/^,

，EG的最小值是56,

故答案为：5M.

.二设AC=5x,AB=4x,

AC2-AB2=BC2,

.'.9x2=36,

.,.x=2（负值舍去），

.,.AB=8,AC=10,

••・四边形BEPF的面积为18,

EFXBP=18,

2

EFXBP=36,

•・・点N为线段EF的中点，ZEBF=900,

.-.BN=—EF,

2

当EF取最大值时，BN有最大值，

，当BP取最小值时，EF取最大值,

当BPLAC时,BP有最小值,

此时，SAABC='XABXBC=3><ACXBP,

.,BP=62£8=24

105'

36需15

■-EF-

□

11515

「•BN的最大值=全片=今，

故答案为：寻.

4

三.解答题(共5小题)

19.(1)证明：..・四边形ABCD和四边形CEFG为正方形,

.,.BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90°,

ZBCG=ZDCE,

/.△BCG^ADCE(SAS),

/.BG=DE；

(2)连接BE,

■：CG//BD,

ZDCG=ZBDC=45°,

ZBCG=ZBCI>ZDCG=90o+45°=135°.

,/ZGCE=90°,

ZBCE=360°-ZBCG-ZGCE=360°-135°-90°=135°

/.NBCG=NBCE.

-."CG=CE,BC=BC,

.-.△BCG^ABCE(SAS),

.­.BG=BE.

■.■由(1)可知BG=DE,

.­.BD=BE=DE,

・•.△BDE为等边三角形，

ZBDE=60°.

20.解：(1)延长CF交AE于G,如图1所示：

•.•四边形ABCD是正方形，

ZABC=90°,AB=CB,

ZABE=ZCBF=90°,

・・.△EBF是等腰直角三角形，

J.ZEBF=90°,BE=BF,

"AB=CB

在AABE和ACBF中，，ZABE=ZCBF,

tBE=BF

.-.△ABE^ACBF(SAS),

.­.AE=CF,ZBAE=ZBCF,

■/ZBCF+ZBFC=90°,ZAFG=ZBFC,

ZBAE+ZAFG=9O°,

ZAGF=9O°,

.-.AE±CF；

故答案为：AE=CF,AE±CF；

(2)(1)中的结论依然成立，理由如下：

延长CF交AE于G,交AB于H,如图2所示：

,/ZEBF=ZABC=90°,

/.ZABE=90°-ZABF,ZCBF=90°-ZABF,

/.ZABE=ZCBF,

"AB=CB

在AABE和ACBF中，＜/ABE=/CBF,

RE=BF

.­.△ABE^ACBF(SAS),

.-.AE=CF,ZBAE=ZBCF,

■.■ZBCF+ZBHC=9O°,ZAHG=ZBHC,

ZBAE+ZAHG=90°,

ZAGH=9O°,

.-.AE±CF；

(3)在等腰直角4EBF的旋转过程中，当CF为最大值时，点F在CB的延长线上，如图

3所示：

则点E在AB的延长线上，

■.•四边形ABCD是正方形，

ZA=90°,AD=AB=4,

,.,AB=2BF=4,

,-.BE=BF=2,

AE=AB+BE=6,

=2

■■-DEVAD+AE2=\l42+62=2V13-

图3

E

图1

21.解：(1)...四边形ABCD为正方形

.,.AD=CD,ZADC=90°,

-.■DC=DE,

.-.AD=DE,

.•.△DAE为等腰三角形，

ZDAE=ZDEA,

ZCDE=a,

ZADE=ZADC4-ZCDE=9O°+a,

.乌

AZDEA=180°-ZADE

221

(2),.-DC=DE,ZCDE=a,

.1.ZDCE=NDEC=、O°-/0DEo—色

22,

.­.ZAEF=ZDEC-ZDEA=45°,

,.•DG±AE,AD=DE,

.,.AG=EG,ZAGF=ZEGF=90°,

\-GF=GF,

.,.△AGF^AEGF,

・・.AF=EF,

ZEAF=ZAEF=45°,

/.ZAFE=180°-ZEAF-ZAEF=90°,

「.△AEF为等腰直角三角形；

(3)过点E作EHLCD于点H,连接AC,

•・・四边形ABCD为正方形，

AB=BC=DC=\/5,ZABC=90°,

22

在RSABC中，AC=VAB+BC=\/T0'

由(2)知，AF=EF,ZAFE=90",

22

在RSAFC中，ftp=VAC-FC=2A/2-

EF=AF=CF+CE=/2+CE=2V2,

",-CE=\,f2,

过点D作DM^CE于点M,

■.■DC=DE,

1J5

.-.CM=EM=—CE=^.,

22'

在RtZiDCM中，DM《三啦,

S&CE*E.DM=1O>EH,

CE»DM亚3r,

二点E至IJCD的距离为-

AD

22.(1)证明：:BD，直线I,CE，直线I,

ZBDA=ZCEA=9O°,

ZBAC=90°,

NBAANCAE=90°

ZBAI>ZABD=90o,

ZCAE=ZABD

rZABD=ZCAE

在4ABD和4CAE中，</BDA=NCEA,

、AB二AC

.,.△ABD^ACAE(AAS)；

(2)解：连接CE,交AF于0,如图②所示：

:四边形AEFC是菱形，

/.CE±AF,

ZC0A=ZADB=90°,

同(1)得：ZiABD2aCAO(AAS),

.'.0C=AD=3,0A=BD=4,

.'.S=-^-OA*OC=—X4X3=6,

△AOC22

.'.S=4S=4X6=24,

菱形AEFCAAOC

故答案为：24；

(3)解：过E作EM^HI的延长线于M,过点G作GNLHI于N,如图③所示:

/.ZEMI=ZGNI=90°,

・・・四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形，

ZCAE=ZBAG=90°,AC=AE=8,AB=AG=6,

同(1)得：ZkACHgZ\EAM(AAS),AABH^AGAN(AAS),

/.EM=AH=GN,

rZEIM=ZGIH

在△EMI和AGNI中，，/EMI=/GNI=90°,

tEM=GN

.­.△EMI^AGNI(AAS),

.-.EI=GI,

.・"是EG的中点，

ZCAE=ZBAG=ZBAC=90°,