2024年30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题

30届全国中學生物理竞赛（复赛）模拟试題（二）第壹題（18分）。19由斯图尔特和道尔曼初次测定了以匀角加速度运動的圆线圈中产生的電流。每壹匝圆线圈電流设為I。在圆中心处产生的磁感应强度為B=μ0I/2r（r為圆半径）第二題（20分）。1個球形肥皂泡，质量為m，其内充有空气（不计空气质量），泡外為真空，平衡時半径為r0，由于受到扰動，肥皂泡做微小的径向振動，求振動周期。（设振動過程中泡内空气温度保持不变；肥皂膜的表面张力系数為α）第三題（20分）假设大气的折射率n与空气密度的关系為：n-1=aρ0e-(r-r0)/b式中a為常数，ρ0為地球表面的大气密度，r0=6400km.b=8772m大气折射率随高度的增長而递減，為使光线能沿著地球表面的圆弧弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率n0=1.0003(取ex=1+x)第四題（20分）。如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小某些的程度上也来自太阳的引力作用。為使問題简化，作如下假设：a）地球和月球构成1個封闭系统；b）月球到地球的距离為1個常量；c）地球完全由海洋覆盖；d）不计地球的自转。1、试求月球在地球上任意位置對單位质量的海水产生的潮汐力。设月球质量為M，地月中心间距离為r，萬有引力常量為G，地球半径為R。2、求地球上任意位置处的水位变化h（θ）第五題（21分）已知停靠在公路边的1辆大卡車全長為5m，设有長度為10m的飞船队從近旁飞過。在地面参照系中观测，飞船前端通過車頭A的同步，飞船的後端刚好通過車尾B，试問：1、在地面参照系K中观测，飞船飞行的速度有多大？2、從飞船参照系K′中观测，A与B相距多遠？3、在K′系观测飞船前、後端与否同步分别通過A、B？4、在K系中测得飞船的長度不是10m，從K′系来看，在K系中的观测有什么問題？应當怎样進行修正？第六題（25分）壹物体质量為m=1.0kg，置于水平面上，物体与水平面间的静摩擦系数和滑動摩擦系数均為μ=0.4，如图所示，在原點有壹完全弹性的墙，且物体壹直受到F=－20x(N)的水平力，x的單位為米（m）。現将物体于x0=1.1m处静止释放，求：1、物体從静止释放到停止运動，共用了多少時间？2、物体最终停在什么位置？3、物体克服摩擦力做了多少功？（g取10m/s2）第七題（26分）用测不准关系估算氢原子：1、玻尔半径；2、基态能量；3、若被激发到高能态的電子在10－8s内就跃回基态過程中发出的光波波長λ0的不确定量。30届全国中學生物理竞赛（复赛）模拟试題（二）参照解答第壹題：現考察1個均匀的细金属导线（單位長度的電阻等于ρ0）做成的1個圆环，围绕其中心進行匀加速转動，角加速度為β。试计算在环中心的磁感应强度B的值（電子電荷為e，质量為m）取与金属环上壹小段孤長壹起做加速运動的坐標系，该坐標系与构成金属晶格的离子相连。在该坐標中，電子受惯性力作用，切向大小為mrβ，法向惯性力對本題無实质意义，不考虑。最终由于電子与晶格的作用，當到达某状态時，電子受力平衡而做稳定的运動，從而在其中发既有電流，虽然在导线中并没加電動势。 電子所有切向惯性力可以用1個假想的電場力做类比，设此電場强度為E，则 eE=mrβ 又由電阻定律R=ρl/s單位長度的電阻ρ0=R/l=ρ/s 因此I=U/R=E/ρ0mrβ/ρ0e 這圆环中心处的磁感应强度為：B=μ0I/2r=μ0mβ/2ρ0e第二題：如图a所示，1個肥皂泡内外气体压强分别為p1、p2，则:p1-p2=4a/r.對本題外界為真空，则泡内压强為p=4a/r。平衡時泡内气压為p0，泡半径為r0，如图b所示，當受到扰動，肥皂泡作径向振動。设振動泡半径為r，r=r0+x(x<<r0)時，泡内气压為p，则有p0=4a/r0由等温变化规律：pv=p0v0因此p=p0v0/v=(r0/r)3p0则整個泡在振動中受到的径向合外力為 因此周期第三題：如图所示，O為地心，r0為地球半径，地表有1個薄环形层為光的圆折射通道，由惠更斯原理，波前与波线处正交，因此波前形状保持径向不变，故有其中，為地表处大气折射率，n為距地心r处的大气折射率。 又由題设 其中是所能发生圆折射的地球表面的空气密度。 取，得 即 而，有 ①對地表大气：②對比①、②两式得 第四題：1.地球壹月球系统绕其质心转動，對连接于地心的转動参照系，分析地球表面上任壹點P处的水粒m运動规律。對于地面上任意壹點P处的水粒m，其受力為月球的萬有引力和惯性离心力，则在x方向的合力為（如图所示）（由于a很小） 因此單位质量物质位于P处受到的潮汐力為（x分量） 同理，得y方向的潮汐力為： 因此 2．如图所示，考察壹水粒（质量為m）被潮汐力從D點带到任意點P的過程中所做的功 由，得第五題：分析：本題属狭义相對论运動學中時空观和時空间隔变换問題。1、设K′系相對于K系的速率為V，已知飞船的本征長度l0=10m，非本征長度為l=5m，根据動杆缩短公式l=l0EQ\r(,1-(v/c)2)可得v=cEQ\r(,1-(l/l0)2)=cEQ\r(,1-(5/10)2)≈0。87c ①2、已知卡車的本征長度為l0=5m，K与k/的相對速率v=0.87c，根据動杆缩短公式可得l/=l0/EQ\r(,1-(v/c)2)=2.5m②3、已知K系中，飞船前端通過A（坐標為x2），後墙通過B（坐標為x1）。這两件事发生于同壹時刻t，根据時空间隔变换式，這两事件在飞船参照系K′中并非同步发生，時间差為：t/2-t/1=-γ（v/c）2(x2-x1)=-EQ\r(,3)/（2c）s③t/2<t/1即K′系中观测的成果是A通過飞船前端早于B通過飞船後端EQ\r(,3)/（2c）换言之，B還需時EQ\r(,3)/（2c）s才能通過飞船後端。4、在K系中测得飞船長度為5m，就K系而言，這是對的的。但從K′系看来，K系中的测量存在两個問題：其壹，大卡車的長度不是5m，而是2.5m；其二，A通過飞船前端早于B通過飞船後端EQ\r(,3)/（2c）s，而不是同步通過！在|t/2-t/1|=EQ\r(,3)/（2c）s時间内，大卡車朝飞船後端移動了距离：v|t/2-t/1|=7.5m ④其車尾B才通過飞船後端，K系的观测遗漏了這段距离，应當补加上。這样，從飞船参照系K′来說，K系對飞船長度的测量值5m，应修正為：2.5+7.5=10（m）⑤這正是飞船的本征長度。评分原则：①、②、③各4分；④6分；⑤4分。第六題：本題中，物体受耗散力的作用，做減幅振動。物体在水平方向仅受弹性力F=-20x和摩擦力、合力為：F合=-20x±μmg物体向左运動時，第二项取正号，向右运動取负号，设弹性力与滑動摩擦力平衡時的位置為a.-20a±μmg=0,a=±0.2m.显然，物体速度為零時的位置在0≤x≤0.2m区间時，静摩擦力能与弹性力平衡，物体将静止。1、開始時，物体從x0向左运動，受力為：F合=-20x±μmg=-20(x-a)由此可知，物体從x0→0是作平衡點為x=a的简谐振動的壹部分，振幅和周期分别為：A1=x0-a=0.9mT=2πEQ\r(,m/k)=1.4s從x0→0运動時间為△t1，如图所示，物体在x=0处反弹，速度大小不变，方向相反。2、物体向右运動受力為：F合=-20x-μmg=-20(x+a)因此物体向右运動可當作是平衡點為x=－a的简谐振動的壹部分，周期不变：T=2πEQ\r(,m/k)=1.4s3、由于在x=0，振動的總能量對于平衡點為a和－a的振動是相等的，因此两振動的振幅同样，即物体從x=0向右运動到x1=A1-a=x0-2a=0.7m处再向左运動，時间為△t2（如图）。显然，△t1+△t2=T/2①同理，物体從x1=0.7m处向左运動（振幅A2=x1-a）經碰撞後向右运動至x2=x1-2a=0.3m時间仍為半個周期②從x2=0.3m再向左运動，其振幅為A3=x2-a=0.1m，以x=a=0.2為平衡點，因此运動至x=0.1m处物体停止，這壹段時间也是半個周期。③因此物体运動的時间為:△t=3×T/2=2.1s ④物体克服摩擦力做功為：A=kx02/2-kx2/2=12J⑤评分原则：成果①、8分；②、4分；③、4分；④、4分；⑤、5分。第七題：1、氢原子由原子核和1個電子构成，電子的總能量E為：E=p2/2me-e2/4πε0r①式中p為電子動量，me為電子本征质量，r氢原子半径。電子在原子内坐標的不确定量可用r估计，電子在原子内動量的不确定量可用p估计，则由不确定关系，得： ②将②代入①，得③式中r是待求的，只有能使E具有极小值的r才能形成稳定的氢原子系统。取E(r)-r曲线斜率為零的r=r1处的E=E1，有也許是E的极小值。考虑總能变化量為： ④由于是小量，在估算中可忽视，因此上式可近似写為：⑤令可得： ⑥2、将⑥代入③可得：⑦這壹成果与玻尔理论得到的壹致。3、原子发出光波的波長由下式决定：⑧即波長的不确定