黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期入学调研考试数学试卷（解析版）

哈三中2024—2025学年度高一学年入学调研考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分120分．考试时间为90分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍．将58000000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接用科学记数法标准形式且为整数表示即可.【详解】直接利用科学记数法表示数的标准形式为，故选：A.2.在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中心对称图形的概念直接判断即可.【详解】A是轴对称，B，D不是轴对称也不是中心对称，C是中心对称．故选：C．3.将分解因式，所得结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】提取公因式，结合平方差公式即可求解.【详解】,故选：D4.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A.三棱柱 B.圆柱 C.六棱柱 D.圆锥【答案】C【解析】【分析】根据三视图，结合棱柱的结构特征即可求解.【详解】由俯视图可知有6条棱，结合正视图和侧视图，可知该几何体为六棱柱，故选：C5.若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数轴可得的范围，即可根据选项逐一求解.【详解】由图可知，故A错误，，B错误，，C错误，，D正确，故选：D6.如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的一个外角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，即可求解外角.【详解】设正多边形的边数为，则，故，故其中一个外角为，故选：B7.空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示.AQI数据301以上AQI类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示.根据以上信息，下列推断不合理的是（）.A.AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月B.AQI数据在之间的天数最少的是2014年1月C.这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大D.2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别【答案】D【解析】【分析】根据统计图作答．【详解】根据统计图AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月，共14天，A正确；优良相加，天数最少的是2014年1月，B正确；这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动达到10天，最大，C正确；2018年1月的AQI数据中，优有14天，良有12天，轻度污染只有4天，中度污染只有一天，月均值不可能达到中度污染程度，D错，故选：D．【点睛】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．8.如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知，的坐标表示线段的长，再通过做辅助线求出的长，根据是等边三角形由建立关于未知数的方程，从而解出结果.【详解】过点作轴于点，轴于点，则四边形是矩形.将线段绕点A按逆时针方向旋转60得到线段，则，因为，所以是等边三角形.因为，，所以.所以，所以.所以，所以整理得，解得：或（舍）故选：C二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．9.若代数式的值为0，则实数的值为______.【答案】1【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程求解即可.【详解】解：由已知可得，则，解得．故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的求解，注意分母不为零，属于基础题.10.化简：______.【答案】【解析】【分析】根据整式的运算即可得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查整式的运算，属于简单题.11.如图，在中，，分别与，交于、两点，若，，则______.【答案】【解析】【分析】根据三角形相似结合条件，可求得的长.详解】，则，，，所以，，可得，，.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，考查计算能力，属于基础题.12.如图，为的直径，为上一点，，，交于点，连接，，那么______.【答案】【解析】【分析】先求出∠DAB=50°，进而得出∠AOD=80°，即可得出结论．【详解】连接OD，∵AD∥OC，∴∠DAB=∠BOC=50°，∵OA=OD，∴∠AOD=180°-2∠DAB=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，故答案为40°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，求出∠AOD是解本题的关键．13.从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用到达，从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快，约用到达.如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，求“杭京高铁复兴号”的运行速度.设“杭京高铁复兴号”的运行速度为，依题意，可列方程为______.【答案】【解析】【分析】根据“复兴号速度×运行时间＝G20速度×G20运行时间”可得的方程．【详解】解：题中设“杭京高铁复兴号”的运行速度为，

依题意，可列方程为：，

故答案为：．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．14.如图，在矩形中，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点时，连接，则的面积为____________；的最大值为____________．【答案】①.10②.【解析】【分析】①根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；②结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．【详解】由题意可得的面积等于矩形的一半，∴的面积为，在中，，∴当最大时，即最大，由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：

由题意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案为：；．15.阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点．求作：过点且与直线垂直的直线，垂足为点．某同学的作图步骤如下：步骤作法推断第一步以点为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于两点；第二步连接作的平分线，交直线于点___________直线即为所求作．请你根据该同学的作图方法完成以下推理：____________，．（依据：____________）【答案】①.②.三角形全等，对应角相等【解析】【分析】根据三角形全等的性质即可求解.【详解】由作图可知，故,故,故，故答案为：；,三角形全等，对应角相等16.将1，2，3，4，5，…，13,这13个连续整数不重不漏地填入13个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…．前12个数的和是第13个数的倍数．若第1个空格填入13，则第2个空格所填入的数为____________，第13个空格所填入的数为____________．【答案】①.1②.7【解析】【分析】根据质数的特征可得第2个空格应该填1，根据前13个数的和为，根据质数和整除即可求解空2.【详解】由于13为质数，所以第2个空格应该填1，前12个数的和是第13个数的倍数，所以前13个数的和是第13个数的倍数，前13个数的和为，而，且13，7均为质数，假设第13个数为，则一定能被整数，由于，而第2个空格是1，故只能为7，故答案为：1，7三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解不等式组并求该不等式组的非负整数解．【答案】【解析】【分析】根据一元一次不等式求解方程组的解为，即可求解.【详解】由可得，由得，因此不等式组的解为，故非负整数解为，18.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，线段的中点在函数的图象上.（1）求，的值；（2）将线段向左平移个单位长度得到线段，，，的对应点分别为，，.①当点落在函数的图象上时，求的值；②当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围.【答案】（1），；（2）①，②.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出m，进而求出点B的坐标，即可得出M的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点D的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；②先确定出MD，MN，建立不等式即可得出结论.【详解】解：（1）如图.∵直线与轴的交点为，∴.∵直线与轴的交点为，∴点的坐标为.∵线段的中点为，可得点的坐标为.∵点在函数的图象上，∴.（2）①由题意得点坐标为.∵点落在函数的图象上，∴.解得.②的取值范围是.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，解不等式，利用待定系数法求出双曲线解析式是解本题的关键.19.如图，的半径为，内接于，，，为延长线上一点，与相切，切点为.（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）；（2）作于点，求的度数及的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍可得，然后在计算的长度即可。（2）连接，先通过计算的度数为，进而得到四边形为矩形，。再证明∽，所以，代入、的长度即可。【详解】解：（1）如图，作于点.∵在的内接中，，∴.在中，，，，∴.∴点到半径的距离为.（2）如图，连接.由，，可得.∵与相切，切点为，∴.∴.∵于点，∴.∵在中，，，∴.∵，∴.∵，∴.∴.∴四边形为矩形，.∴.∵，∴.∵，∴∽.∴.【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，属于中档题。20.某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A.纪念馆志愿讲解员；B.书香社区图书整理；C.学编中国结及义卖；D.家风讲解员；E.校内志愿服务.每位同学都从中选择一个项目参加.为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下.收集数据设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）.B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E.整理、描述数据划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下.请补全统计表和统计图.选择各志愿服务项目的人数统计表志愿服务项目划记人数A纪念馆志愿讲解员8B书香社区图书整理

C学编中国结及义卖12D家风讲解员

E校内志愿服务6合计4040分析数据、推断结论①抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是____________（填A-E的字母代号）②请你任选A-E中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目.【答案】详解见解析【解析】【分析】依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；依据抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，出现的次数最多，可得众数是.依据中的各志愿服务项目在样本中所占的百分比，即可得到全年级大约有多少名同学选择某两个志愿服务项目.【详解】由题可得，项有8人，项有10人，项有4人.选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，占，占.故选择各志愿服务项目的人数统计表如下志愿服务项目划记人数A纪念馆志愿讲解员8B书香社区图书整理10C学编中国结及义卖12D家风讲解员4E校内志愿服务6合计4040①抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，出现的次数最多，故众数是.②（人）.（人）.（人）.（人）.（人）.写出任意两个即可．21.如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，过点作的垂线交于点.已知，设两点间的距离为两点间的距离为．某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究.下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组值，如下表：01

2.533.5454.04.75.04.8

4.13.7

（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为____________cm．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2.4【解析】【分析】（1）连接，，过点作于点，过点作于点，与交于点，利用勾股定理以及相似三角形分别求出，，的表达式，最后利用勾股定理即可求出与的表达式．（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线与图象的交点只有1个，根据交点的横坐标即可求出答案．【小问1详解】连接，，过点作于点，过点作于点，与交于点，由圆周角定理可知：，，，由勾股定理可知：，，，，，，,,，，，，，由勾股定理可知：，，在中，由勾股定理可知：，整理可得：，，,将的数据代入上式可得．011.82.533.5454.04.75.04.84.54.13.73【小问2详解】根据表格，描点，用光滑的曲线连线，如图所示，【小问3详解】由题意可知：，，作出直线，由图象可知直线与图象只有一个交点，该交点的横坐标为大约为2.4．即22.如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）或（3）存在，P点坐标为或或【解析】【分析】（1）先求A、B、C坐标，然后设两根式，代入点C坐标可得；（2）结合图象分析，然后利用判别式求解可得；（3）根据图形分析为直角三角形的各种情况，结合相应条件求解即可.【小问1详解】由翻折可知：.令，解得：，，∴，，设图象W的解析式为，代入，解得，∴对应函数关系式为.【小问2详解】由图象可知，当直线过点B或与相切时，直线与图象W有三个交点.当直线过点B时，可得；当直线与相切时，联立方程组，整理，得：，由得：，综上，当或时，直线与图象W有三个交点；【小问3详解】存在.如图1，当时，，所以，此时，N与C关于直线对称，∴点N的横坐标为1，∴；如图2，当时，，此时，N点纵坐标为2，由，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以；如图3，当时，，此时，直线CN的解析式为，联立方程组：，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以，因此，综上所述：P点坐标为或或.23.在中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；（2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：；（3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．【答案】（1）2（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接，判断出为等腰直角三角形，进而判断出，进而得出，再求出，即可求出答案；（2）过点作交的延长线于，先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；（3）先求出，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，再判断出点在点右侧过点与垂直且等长的线段上，进而得出最大时，最小，即可求出答案．【小问1详解】如图1，连接，由旋转知，，，为等腰直角三角形，点是的中点，，点是的中点，，在中，，，；【小问2详解】证明：如图2，过点作交的延长线于，，由旋转知，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；【小问3详解】点是的中点，，根据勾股定理得，，由折叠知，，点是以点为圆心，为半径的圆上，由旋转知，，点在点右侧过点与垂直且等长的线段上，的最小值为，要最小，则最大，即最大，点在上，点在点或点时，最大，最大值为，线段的长度的最小值.．24.对于平面内的和外一点，给出如下定义：若过点的直线与存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是的“相关依附点”.特别地，当点和点重合时，规定，（或）.已知在平面直角坐标系中，，，的半径为.（1）如图1，当时，①若是的“相关依附点”，则的值为______；②是否为的“2相关依附点”？答：是______（选“是”或“否”）；（2）若上存在“相关依附点”点，①当，直线与相切时，求的值；②当时，求的取值范围；（3）若存在的值使得直线与有公共点，且公共点是的“相关依附点”，直接写出的取值范围.【答案】（1）①，②是；（