人教版高中数学选择性必修第二册 函数的极值 分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册函数的极值分层作业(原卷版)(60分钟90分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1函数极值的概念与求法1．(5分)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是()A．f(x)的极大值为f(eq\r(3))，极小值为f(－eq\r(3))B．f(x)的极大值为f(－eq\r(3))，极小值为f(eq\r(3))C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)2．(5分)下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的有()A．①② B．②③C．③④ D．①③3．(5分)函数y＝x＋eq\f(1,x)(－2<x<0)的极大值为()A．－2 B．2C．－eq\f(5,2) D．不存在4．(5分)函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为()A．1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)5．(5分)设函数f(x)＝x·ex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点知识点2与函数极值有关的参数问题6．(5分)若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－47.(5分)若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.8.(5分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．9.(5分)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．知识点3函数极值的综合问题10.(10分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)．eq\f(能力提升练,能力考点适度提升)11.(5分)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()A．eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln212．(5分)已知三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x13.(5分)若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．14.(5分)函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________．15.(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．①当x＝eq\f(3,2)时，函数取得极小值；②函数有两个极值点；③当x＝2时，函数取得极小值；④当x＝1时，函数取得极大值．16.(10分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册函数的极值分层作业(解析版)(60分钟90分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1函数极值的概念与求法1．(5分)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是()A．f(x)的极大值为f(eq\r(3))，极小值为f(－eq\r(3))B．f(x)的极大值为f(－eq\r(3))，极小值为f(eq\r(3))C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)D解析：当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．2．(5分)下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的有()A．①② B．②③C．③④ D．①③B解析：作出各函数的图象，由极值的定义可知函数y＝x2＋1，y＝|x|在x＝0处取得极小值．3．(5分)函数y＝x＋eq\f(1,x)(－2<x<0)的极大值为()A．－2 B．2C．－eq\f(5,2) D．不存在A解析：y′＝1－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－1,x2).令y′＝0得x＝－1.在(－2，－1)上，y′>0；在(－1,0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2.4．(5分)函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为()A．1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)B解析：f′(x)＝－1＋2x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增当x＝eq\f(1,2)时，f(x)有极小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).故选B．5．(5分)设函数f(x)＝x·ex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D解析：f′(x)＝ex(x＋1)．令f′(x)＝0，则x＝－1，且当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点．知识点2与函数极值有关的参数问题6．(5分)若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－4B解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x＝－2与x＝4，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋4＝－\f(2,3)a，,－2×4＝\f(b,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－24.))7.(5分)若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.3解析：f′(x)＝eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)，由题意得f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意.8.(5分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不同的实根，即(6a)2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.9.(5分)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．－19解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，易知当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.知识点3函数极值的综合问题10.(10分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)．解：函数的定义域为R，其导函数为y′＝3x2－3a.由y′＝0可得x＝±eq\r(a)，列表讨论如下：x(－∞，－eq\r(a))－eq\r(a)(－eq\r(a)，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此可得，函数在x＝－eq\r(a)处取得极大值2＋2aeq\f(3,2)；在x＝eq\r(a)处取得极小值2－2aeq\f(3,2).根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．因为极大值f(－eq\r(a))＝2＋2aeq\f(3,2)>0，故当极小值f(eq\r(a))＝2－2aeq\f(3,2)<0，即a>1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f(eq\r(a))＝2－2aeq\f(3,2)>0，即0<a<1时，方程x3－3ax＋2＝0有唯一的实根．eq\f(能力提升练,能力考点适度提升)11.(5分)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()A．eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln2B解析：f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由已知f′(x0)＝0得2x0(1＋x0ln2)＝0，即1＋x0ln2＝0，∴x0＝－eq\f(1,ln2).12．(5分)已知三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9xB解析：由已知三次函数过原点可设y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′3＝27a＋6b＋c＝0，,f1＝a＋b＋c＝4，,f3＝27a＋9b＋3c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－6，,c＝9.))故函数为y＝x3－6x2＋9x.13.(5分)若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．32解析：f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)·(3x－m)．令f′(x)＝0，则x＝m或x＝eq\f(m,3)，由题设知m＝2或m＝6.当m＝2时，极大值点为x＝eq\f(2,3)，与题意不符；当m＝6时，极大值为f(2)＝32.14.(5分)函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________．(－2,2)解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象得当－2<a<2时恰有三个不同的交点．15.(5分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．①当x＝eq\f(3,2)时，函数取得极小值；②函数有两个极值点；③当x＝2时，函数取得极小值；④当x＝1时，函数取得极大值．①解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时，函数取得极小值；当x＝1时，函数取得极大值．只有①不正确.16.(10分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－eq\r(2)，x2＝eq\r(2).∵当x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)时，f′(x)>0；当－eq\r(2)<x<eq\r(2)时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(2))，(eq\r(2)，＋∞)；单调递减区间为(－eq\r(2)，eq\r(2))．当x＝－eq\