第二十一章 一元二次方程 单元检测题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二十一章一元二次方程单元检测题满分：120分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1．（本题3分）某商品经过两次降价，每件零售价由25元降为16元，则平均每次降价的百分率是（

）A．20% B．25% C．30% D．36%2．（本题3分）若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（）A． B． C． D．3．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且4．（本题3分）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（

）A．B．C．D．5．（本题3分）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（

）A． B．C． D．6．（本题3分）方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（

）A．1，1， B．1，，6 C．1，，2 D．1，3，27．（本题3分）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（

）A． B． C． D．8．（本题3分）以为根的一元二次方程可能是（

）A． B． C． D．9．（本题3分）方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则()A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5 C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝310．（本题3分）受全国生猪产能下降影响，济南市猪肉价格自5月份开启持续上涨通道.济南市物价局官方网站数据显示，某超市9月份价格平均22元/斤，11月份30元/斤，设这两个月该超市猪肉价格的月平均增长率为，则可列方程（

）A．B． C． D．二、填空题（共18分）11．（本题3分）若关于x的一元二次方程mx2−3x+5=0有两个实数根，则m的取值范围是．12．（本题3分）如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则，根据题意可列方程为．13．（本题3分）读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为．14．（本题3分）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，若使这两个正方形的面积之和等于，则这段铁丝剪成两段后的长度分别为．15．（本题3分）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则．16．（本题3分）我国的《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高是多少（1丈=10尺）？设高为xm，依题意可列方程为．三、解答题（共72分）17．（本题10分）已知关于x的方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大负整数时，求方程的两个根．18．（本题10分）（1）计算：．（2）已知，求的值．（3）解方程：．19．（本题10分）国庆节期间，两位同学参加社会实践，到某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是他们的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题∶超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？这样每天可销售水果多少千克20．（本题10分）如图，某校一面长的墙前有一块空地，校方准备用长的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃（除围墙外，实线部分均为栅栏，且不浪费栅栏，栅栏厚度忽略不计），矩形中种植矮牵牛，矩形中种植千日红，矩形作为水池给两块矩形花圃浇灌．已知，，花圃的种植总面积（除水池外）为，则的长为多少？

21．（本题8分）用合适的方法解下列方程．（1）（2）（3）（4）22．（本题10分）国庆节期间，某烧饼店平均每天可卖出个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降元，平均每天可多卖出个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（）元．(1)零售单价下降m元后，每个烧饼的利润为元，该店平均每天可卖出个烧饼（用含m的代数式表示，需化简）；(2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是元，并且卖出的烧饼更多？23．（本题14分）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．(1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】设平均每次降价的百分率为，则，由此进行求解．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则，解得或（舍去）平均每次降价的百分率为．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系．2．A【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，，∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，∴，，∴，，化简，得：，，整理可得，，故选：A．3．C【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义和一元二次方程的定义列解不等式组求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：且，故选：C．4．D【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据题意得：．故选：D．5．A【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．6．B【分析】首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．【详解】解：方程化成一般形式是，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键是注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．B【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可．【详解】解：设点的运动时间为，则，，，，的面积为，，解得：或（舍），即使的面积为，则点P运动的时间是，故选：B．8．C【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：A．，∴，故该选项不正确，不符合题意；B．，∴，故该选项不正确，不符合题意；C．，∴，故该选项正确，符合题意；D．，∴，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．9．A【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案．【详解】x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，（x+1）2＝5，∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5，故选A．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．10．C【分析】根据等量关系：9月份猪肉价格×（1+增长率）2=11月份猪肉价格列方程即可.【详解】设两个月该超市猪肉价格的月平均增长率为x，∵9月份价格平均22元/斤，11月份30元/斤，∴可列方程，故选C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用——平均增长率问题．若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．11．m≤且m≠0【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2-4ac=（-3）2-20m≥0，然后解不等式即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个实数根，∴Δ=（-3）2-20m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．12．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由菱形两条对角线长的和是可得，再根据菱形的面积为可得，即可列出方程，掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】解：∵菱形两条对角线长的和是，∴，∵，∴，∴，∵四边形是菱形，面积是，∴，∴故答案为：，．13．【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可．【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得：．故答案为：．14．和【分析】设其中一个正方形的边长为，根据将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，可列方程求解．【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得：，解得：，∴这段铁丝剪成两段后的长度分别为和．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是设出一个正方形的边长，表示出另一个，以面积相等做为等量关系列方程求解．15．或2【分析】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．正确理解题意是解题的关键．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，当时，，解得，或，∵时，，∴，不符合要求，舍去；∵时，，∴符合要求；当时，，解得，或，∵时，，∴符合要求；∵时，，∴，不符合要求，舍去；综上所述，或，故答案为：或2．16．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．设高为x尺，则宽为尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解．【详解】解：设高为x尺，则宽为尺，依题意，得故答案为：17．（1）；（2），．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大负整数为-1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【详解】解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，∴Δ=b2-4ac=[-（2m-2）]2-4×1×m2=4-8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大负整数时，m=-1．当m=-1时，原方程为x2+4x+1=0，解得：，．∴当m取最大负整数时，方程的两个根分别为，．【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．18．（1）；（2）；（3），【分析】本题考查了比例的性质，特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式，然后进行实数的运算即可；（2）令（也可直接等于），则，，，再把它们分别代入所求的代数式，然后进行分式的化简计算；（3）利用配方法进行求解方程即可．【详解】解：；（2）令（也可直接等于），则，，，；（3），，，，，所以，．19．水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．【详解】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，，整理得，或．要尽可能让顾客得到实惠，，售价为元千克．答：水果的销售价为每千克29元，超市每天可获得销售利润3640元．20．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则，，，根据“花圃的种植总面积（除水池外）为”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：设的长为，则，，，由题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），答：的长为．21．（1）x1=12，x2=-12；（2）x1=0，x2=-1；（3）原方程无实数根；（4）x1=1+，x2=1-；【详解】试题分析：（1）直接开平方法；（2）因式分解法；（3）、（4）公